Partie A 1. L`algorithme n° 1 calcule tous les termes de v0 à vn mais

Terminale S
Correction de l’exercice type bac (liban 2013)
Partie A
1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v0 à vn mais n’affiche que le dernier vn .
L’algorithme no 2 calcule n fois de suite v1 à partir de v0 : il ne calcule pas les termes de v0 à vn .
L’algorithme no 3 calcule tous les termes de v0 à vn et les affiche tous.
C’est donc l’algorithme no 3 qui convient.
2. Il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3.
3. (a) Initialisation : v0 = 1 donc 0 < v0 < 3.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel k tel que 0 < vk < 3.
Alors : 0 > −vk > −3
6 > 6 − vk > 3
1
1
1
<
<
car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
6
6 − vk
3
9
3
<
<3
2
6 − vk
3
1 < < vk+1 < 3
2
Si la propriété est vraie au rang k, alors elle est vraie au rang k + 1.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.
(b) Pour tout entier naturel n :
9
9 − vn (6 − vn )
(vn − 3)2
vn+1 − vn =
− vn =
=
.
6 − vn
6 − vn
6 − vn
Or, d’après la question précédente, 0 < vn < 3 pour tout n entier naturel, donc 6 − vn > 0 et
(vn − 3)2
> 0.
(3 − vn )2 > 0, et donc vn+1 − vn =
6 − vn
Ainsi la suite (vn ) est strictement croissante.
(c) Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle converge.
Partie B
1. Pour tout entier naturel n :
1
1
wn+1 − wn =
−
=
vn+1 − 3 vn − 3
1
1
6 − vn
1
6 − vn − 3
−
=
−
=
9
3vn − 9 vn − 3
3vn − 9
− 3 vn − 3
6 − vn
−vn + 3
vn − 3
1
=
=−
=− .
3vn − 9
3 (vn − 3)
3
1
La suite (wn ) est donc arithmétique de raison r = − .
3
1
1
1 1
2. wn = w0 + nr =
− n = − − n.
1−3 3
2 3
1
6
1
+ 3.
+3=
+3=
vn =
1 1
wn
−3
−
2n
− − n
2 3
3.
lim
n→+∞
6
= 0, donc lim vn = 3.
n→+∞
−3 − 2n
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