Notion de fonction

2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
1
Notion de fonction
Exemple. Un banquier propose un livret d’épargne qui rapporte 3% d’intérêts par an. À la fin de l’année
chaque titulaire d’un tel livret reçoit en plus des intérêts la somme de 10 €.
1. Calculer la somme disponible après un an si on place 100 € en début d’année.
2. Même question pour un placement de 250 €.
3. Le banquier a 150 clients possédant un tel livret. S’il note x le montant placé en début d’année par un
client, exprimer le montant S(x) disponible après un an.
Réponses :
1. La somme disponible après un an est :
S = 100 +
3
× 100 + 10 = 113€
100
2. La somme disponible après un an est :
S = 250 +
3
× 250 + 10 = 267,50€
100
3. La somme disponible est :
S(x) = x +
3
× x + 10 = 1, 03x + 10
100
La somme disponible après un an S(x) dépend de la valeur de x on dit que S est une fonction de x.
Remarque. Dans un tableur, le banquier peut compléter une feuille de calculs comme ceci :
Dans la cellule B3 on a écrit A3+0,03*A3+10 ; puis on a recopié cette formule vers le bas.
Exemple. On a tracé ci-dessous un rectangle ABCD tel que AD = 3 cm et AB = 5 cm. M est un point
du segment [BC]. N est le point de [BA] tel que BN = BM .
D
C
M
A
N
B
1. Calculer l’aire délimitée par le pentagone AN M CD lorsque BM = 1 cm.
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2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
2. Même question lorsque BM = 2 cm.
3. On pose maintenant BM = x. Exprimer l’aire A (x) de AN M CD en fonction de x.
Réponses :
1. L’aire de AN M CD est égale à l’aire de ABCD moins l’aire de BM N . Donc :
A =5×3−
1×1
= 14,5 cm2
2
2. De même :
A0 =5×3−
2×2
= 13 cm2
2
3. Si BM = x, l’aire de BN M vaut
A (x) = 5 × 3 −
x×x
2 .
Donc :
1
x×x
= 15 − x2
2
2
L’aire A (x) dépend de la valeur de x on dit que A est une fonction de x.
Exemple. Sur la figure ci-dessous, on a tracé une courbe dans un repère.
A
C
C
J
I x
B
yM
M
On note A, B et C les points de la courbe d’abscisses respectives −2, 3 et 29 .
Lire l’ordonnée de chacun des points A, B et C.
On a : yA = 3, yB = −1 et yC = 2.
De même, pour tout point M d’abscisse x de la courbe, on peut lire son ordonnée yM .
L’ordonnée de M dépend de x. On dit que c’est une fonction de x.
9
2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
2
Généralisation : notion de fonction
2 1 Définition
Définition 1 :
Si à chaque valeur de x d’un ensemble D on associe un autre nombre noté f (x) déterminé par une
relation algébrique, géométrique, . . . on dit qu’on définit une fonction numérique f .
On dit que f est la fonction définie par f (x) = . . . . On note :
f : x 7−→ f (x)
Quelques points de vocabulaire :
– pour chaque x de D, le nombre f (x) est appelé image de x par la fonction f .
L’image d’un nombre x est unique ;
– le nombre x est appelé un antécédent de f (x) par la fonction f .
2 2 Exemples
Exemple. La fonction f est définie pour tous les x compris entre −5 et 7 par f (x) = x2 − 2x − 1. Cela
signifie que si on se donne une valeur de x comprise entre −5 et 7, on peut calculer son image par la fonction
f grâce à l’expression donnée :
– on a : f (−3) = (−3)2 − 2 × (−3) − 1 = 9 + 6 − 1 = 14 ;
– on peut dire aussi que l’image par f de 0 est −1 (car f (0) = 02 − 2 × 0 − 1 = −1) ;
– on dit aussi 5 est un antécédent de 14 car f (5) = 52 − 2 × 5 − 1 = 14.
Attention !
Soit f une fonction numérique définie sur un ensemble D :
– pour chaque x ∈ D, il n’existe qu’une seule image de x par f ;
– par contre un nombre y peut avoir plusieurs antécédents par la fonction f .
Exemple. Soit f la fonction définie pour tous les nombres x par f (x) = (x + 1)2 + 2.
Pour tout nombre x, il existe une seule image de x par f : c’est le nombre qu’on obtient en calculant
(x + 1)2 + 2.
Par contre on a :
d’une part f (2) = (2 + 1)2 + 2 = 32 + 2 = 11 ;
d’autre part f (−4) = (−4 + 1)2 + 2 = (−3)2 + 2 = 9 + 2 = 11
Ainsi 2 et −4 sont deux antécédents de 11.
On peut remarquer aussi que certains nombres n’ont pas d’antécédent. En reprenant la fonction f , le
nombre 0 n’a pas d’antécédent.
En effet, (x + 1)2 est toujours positif ou nul donc (x + 1)2 + 2 est toujours supérieur ou égal à 2 : il ne
peut pas valoir 0.
2 3 Algorithmes
Exemple. On souhaite écrire un algorithme décrivant la façon de calculer l’image d’un nombre par la
fonction f : x 7→ 2x − 7.
Exemple. On souhaite déterminer si un nombre x est un antécédent d’un nombre y par la fonction f définie
par f (x) = 2x2 − 5.
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2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
1
2
3
4
5
6
Entrées :
Saisir x;
début
Calculer le double de x;
Retirer 7;
Afficher le résultat;
Algorithme 1: Calcul d’une image
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Entrées :
Demander le nombre x;
Demander le nombre y;
début
Calculer le carré de x;
Multiplier par 2;
Retirer 5;
Nommer z ce dernier résultat;
si y = z alors
Afficher « Oui x est un antécédent de y » ;
sinon
Afficher « Non x n’est pas un antécédent de y » ;
11
12
Algorithme 2: x est un antécédent de y ?
3
Ensemble de définition. Valeurs interdites
On a vu dans l’exemple 1.2.2 que la fonction f était définie pour tous les x compris entre −5 et 7. Cette
expression « tous les x compris entre −5 et 7 » est longue à écrire, aussi, les mathématiciens ont inventé une
notation permettant de simplifier son écriture : tous les x compris entre −5 et 7 s’écrit [−5 ; 7] on parle de
l’ intervalle fermé de bornes −5 et 7 ou plus simplement de l’intervalle fermé −5, 7.
De même, l’ensemble de tous les nombres compris entre 0 et 1 s’écrit [0 ; 1].
Attention : 0 et 1 appartiennent à l’intervalle [0 ; 1] ; si on souhaite écrire l’ensemble de tous les nombres
strictement positifs et strictement inférieurs à 1, on écrit ]0 ; 1[ (crochets vers l’extérieur). On dit que cet
intervalle est ouvert .
On peut aussi définir des intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) comme par exemple [0 ; 1[ qui
contient tous les nombres positifs ou nuls strictement inférieurs à 1. Voir la notion d’intervalle ici : Ex 7
Le plus grand ensemble de nombres que nous utiliserons en classe de seconde est appelé ensemble des
réels ; on le note . Cet ensemble peut être partagé :
– on note + l’ensemble de tous les réels positifs (ou nuls) ;
– on note − l’ensemble de tous les réels négatifs (ou nuls) ;
– on note ∗ l’ensemble de tous les réels non nuls (tous les réels sauf 0) ;
– on note ∗+ l’ensemble de tous les réels strictement positifs ;
– on note ∗− l’ensemble de tous les réels strictement négatifs .
Enfin, en utilisant le symbole « ∞ » qui signifie infini 1 , on peut donc écrire :
R
R
R
R
R
R+ =
R
[0 ; +∞[;
R− = ] − ∞ ; 0];
R∗+ = ]0 ; +∞[;
R∗− = ] − ∞ ; 0[;
1. Ce symbole a été inventé par Wallis mathématicien anglais du xviie siècle.
11
2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
Définition 2 : Ensemble de définition
Soit f une fonction numérique. L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f (x) est
appelé ensemble de définition de la fonction f . On le note généralement Df .
Les valeurs pour lesquelles on ne peut pas calculer f (x) sont appelées valeurs interdites de la fonction
f.
à retenir !
x+3
– Soit f la fonction définie par f (x) = x−3
. On ne peut calculer f (x) si x − 3 = 0 : la division par 0
n’existe pas. Ainsi x = 3 est une valeur interdite et l’ensemble de définition de la fonction f est :
Df =] − ∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[= \ {3}. √
– Soit g la fonction définie par g(x) = x + 2. On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre
strictement négatif. Donc pour pouvoir calculer g(x) il faut que x + 2 > 0, c’est à dire que x > −2.
Donc l’ensemble de définition de g est Dg = [−2 ; +∞[.
– Soit h la fonction définie par h(x) = 2x2 − 3x + 1. Quelque soit la valeur de x on peut calculer
2x2 − 3x + 1. Donc l’ensemble de définition de h est Dh = .
R
R
Remarque. Parfois, l’énoncé restreint l’ensemble de définition d’une fonction. Dans l’exemple 1.2.2, la
fonction f n’était définie, d’après l’énoncé, que sur [−5 ; 7] : c’est son ensemble de définition. Pourtant sans
cette précision dans l’énoncé, on aurait pu calculer f (x) pour n’importe quelle valeur réelle de x.
4
Représentation graphique
Dans cette partie, nous utiliserons un repère orthogonal du plan. Vous en avez déjà entendu parler depuis
la cinquième 2 , nous reviendrons un peu plus en détail sur le repérage au cours du chapitre 2 : géométrie
plane repérée.
On a vu dans l’exemple 1.1 qu’on peut définir une fonction à partir d’un graphique : à chaque abscisse x,
on associe le nombre f (x) qui est l’ordonnée du point d’abscisse x de la courbe.
Réciproquement, si on a une fonction f définie sur Df , à chaque nombre x ∈ Df on associe un deuxième
nombre f (x). Ainsi, chaque couple (x; f (x)) forme les coordonnées d’un point M dans un repère. L’ensemble
de tous les points M lorsque x varie dans Df est appelé représentation graphique de la fonction f dans le
repère. On la note généralement Cf .
Cf
J
I x
f (x)
M
2. Du moins, je l’espère !
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2nde. Cours - Généralités sur les fonctions
5
Au fil du temps
Le concept de fonction a mis des siècles à s’établir en mathématiques. La notion intuitive comme relation
entre deux objets est assez ancienne, mais il faut attendre le XV II e siècle pour qu’elle soit formalisée.
– C’est le français Pierre de Fermat (1601-1665) qui met en place la notion fondamentale d’équation
d’une courbe, associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s’intéresse aux extrema de
fonctions.
Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand
théorème, qu’il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut
trouvée qu’en 1994.
– En 1673, l’allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et mathématicien, utilise
pour la première fois le mot « fonction » et introduit le vocabulaire.
Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir découvert conjointement avec Newton le calcul
infinitésimal, c’est-à-dire dans l’infiniment petit.
– En 1698, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. Il
proposa alors la notation f (x).
Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités.
– Euler, mathématicien formé par Bernoulli, adopte cette notation en 1734 et définit en 1748 une fonction
d’une variable comme combinaison d’opérations à partir de cette variable et de nombres constants.
Euler travailla essentiellement sur le calcul infinitésimal lui aussi et sur la théorie des graphes (utiliser
pour les GPS)
En fait, le lien entre l’expression d’une fonction et sa courbe représentative en permet une étude plus
approfondie. Le concept de fonction et l’étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique.
Compte tenu du nombre incroyable d’applications en physique, en économie et dans quasiment tous les
domaines, l’étude des fonctions est un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques.
13
2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
6
QCM « bilan »
Pour chacune des questions posées ci-après, il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses.
Questions
Réponses
2
1. Soit f la fonction définie par f (x) = 2x − 5x − 1.
Alors :
−1 est un antécédent de 6 par f
f (−1) = 6
6 est un antécédent de −1 par f
2. Soit f la fonction définie par f (x) = −2x2 + 1. Alors :
l’image de −2 par f est 9
0 a deux antécédents par f
l’équation f (x) = 4 a deux solutions
f (4) = −31
x
x2 +x−2 .
3. Soit f la fonction définie par f (x) =
sont les points qui appartiennent à Cf courbe
représentative de f ?
Quels
A(0; − 12 )
B(−1; − 12 )
C(2; 21 )
D(0; 0)
4. M (4; −1) est un point de la courbe représentative Cf
d’une fonction f . Alors :
f (−1) = 4
4 est un antécédent de −1 par f
f (4) = −1
N (−1; 4) appartient aussi à Cf
5. L’ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs
à 4 mais supérieurs ou égaux à −5 est noté :
]4 ; −5]
[−5 ; 4[
] − 5 ; 4[
6. Si x appartient à l’intervalle ] − 2 ; 3], alors :
x=0
x peut être nul
x peut être égal à −2
7. Soit g la fonction définie par g(x) =
√
x peut être égal à 3
2x − 3. Alors :
3
2
est une valeur interdite pour g
Dg = [ 32 ; +∞[
g( 32 ) = 0
8. Soit h la fonction définie par h(x) =
x+3
x−2 .
Alors :
x = −3 est valeur interdite pour h
x = 2 est valeur interdite pour h
h(5) = 2,67
9. Au cours d’une journée, on mesure la température à
chaque heure « pile ». On note T la fonction qui, à une
heure « pile » associe la température correspondante.
T est définie sur [0 ; 24]
T est déf. pour x entier entre 0 et 23
T n’est pas une fonction
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2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
7
Exercices et problèmes
On considère un triangle équilatéral ABC et H le pied de la hauteur issue de A.
√
1. Calculer AH lorsque AB = 3. Même question avec AB = 2.
2. On pose maintenant x la longueur du côté [AB]. Exprimer en fonction de x la longueur AH.
√
3. Remplacer dans l’expression trouvée à la question précédente x par 3 puis par 2 et calculer.
1
\
2 On considère P RC un triangle vérifiant P R = 5, RC = 4 et P
RC = 30°. On note O le milieu de [P R].
A est un point du segment [RC] et B est le point de [P C] tel que (AB) est parallèle à (RO). On note H
l’intersection entre (RP ) et la perpendiculaire à (RP ) passant par A. Si vous êtes en salle informatique (ou
chez vous), vous pouvez faire la construction avec le logiciel GeoGebra 3
1. Dans cette question, on se place dans le cas où AR = 32 .
(a) Faire une figure.
(b) Calculer AB puis AH. En déduire l’aire du trapèze RABO.
2. Dans cette question on pose x = RA (qui n’est plus nécessairement égal à 32 !).
(a) Exprimer AB puis AH en fonction de x.
(b) En déduire l’expression A (x) de l’aire de RABO en fonction de x.
3. À quelle condition le trapèze RABO est-il un parallélogramme ? Justifier.
4. À quelle condition les points H et O sont-ils confondus ? Justifier.
3 Soit f la fonction définie par f (x) = 2x2 − x − 1.
1. Calculer les images de −3, de 5, de −2 et de 10.
2. Déterminer tous les antécédents de −1.
4
Reprendre les questions de l’exercice précédent pour la fonction f : x 7→
5
On donne f : x 7→
√
x2 + 7.
√
x+3
et g : x 7→ x + 2.
2x − 10
Rappel
Parfois, pour certaines valeurs de x, il n’est pas possible de calculer l’image de x par une fonction f .
Dans ce cas on dit que ces valeurs de x sont des valeurs interdites pour la fonction. L’ensemble des valeurs
de x pour lesquelles on peut calculer f (x) est appelé l’ensemble de définition de la fonction. On le note
généralement Df .
1. Peut-on calculer l’image de −3 par f ? et par g ? Expliquer.
2. Même question pour l’image de 5 par f puis par g.
3. Résoudre l’équation 2x − 10 = 0. En déduire toutes les valeurs interdites de f , puis l’ensemble de
définition de f .
4. Résoudre l’inéquation x + 2 > 0. En déduire l’ensemble de définition de g.
À savoir
Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction f ,
– on regarde s’il y a un quotient dans l’expression de f (x) : les valeurs de x solutions de l’équation
« dénominateur = 0 » sont alors des valeurs interdites pour f .
– on regarde s’il y a des racines carrées dans l’expression de f (x). L’ensemble de définition de f est alors
contenu dans l’ensemble des solutions de l’inéquation « expression sous la racine > 0 ».
– l’ensemble de définition peut aussi être restreint par des contraintes de l’énoncé : si f (x) est la longueur
d’un segment, il faut que f (x) soit positif ou nul. . ..
3. GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique téléchargeable gratuitement
à l’adresse http://www.geogebra.org.
15
2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
6
Résoudre l’inéquation 3x + 2 6 5x − 3 et représenter la solution sur un axe gradué.
7
Compléter le tableau ci-dessous :
Notation de l’intervalle
Inégalité vérifiée par les
éléments x de l’intervalle
[a ; b]
a≤x6b
Représentation graphique
a<x<b
[a ; b[
a
[a; +∞[
b
a6x
]a; +∞[
a
x<a
8
Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :
f : x 7→ 3x2 − 5x + 2;
n : x 7→
√
3x + 2;
g : x 7→
p : s : x 7→
3x + 2
;
2x − 3
2x + 1
;
x2 − 4
h : x 7→
q : x 7→
2x − 5
;
(x − 3)(2x + 5)
4x2
m : x 7→
√
x
2
− 12x + 9
9 On donne ci-dessous l’algorithme 3 qui calcule l’image d’un nombre par une fonction f . Déterminer
cette fonction.
1
2
3
4
5
6
7
16
Entrées : Saisir x;
début
Calculer le double de x;
Retirer 7;
Élever le résultat au carré;
Ajouter 1;
Résultat : Afficher « l’image de x est » le résultat du dernier calcul;
Algorithme 3: Calcul d’une image
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2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
10 On donne ci-après l’algorithme 4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Entrées : Saisir x;
début
si x ≥ 0 alors
si x 6= 1 alors
1
Calculer x−1
;
sinon
Calculer x2 + 1;
Prendre l’inverse du résultat précédent;
sinon
Calculer −2x + 1;
Calculer l’opposé du carré du résultat précédent;
Résultat : Afficher le résultat du dernier calcul;
Algorithme 4: Par morceaux. . .
1. Appliquer cet algorithme aux nombres suivants : x = −3, x = −1, x = 0, x = 1 puis x = 3.
2. Compléter les phrases suivantes :
– si x ∈ ] − ∞ ; 0[ alors f (x) =
– si x = 1 alors f (x) =
– si x ≥ 0 avec x 6= 1 alors f (x) =
11 Pour chacune des figures ci-dessous, indiquer si la courbe tracée peut être la courbe représentative d’une
fonction (voir le rappel de la page suivante. Si c’est le cas, donner l’ensemble de définition de la fonction et
les images des bornes de l’ensemble de définition.
J
O
J
I
Figure 1
J
O
O
J
I
Figure 2
J
I
Figure 4
O
O
I
Figure 3
J
I
Figure 5
O
I
Figure 6
Exemple : sur la figure 1, la courbe est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [−2 ; 3].
Et graphiquement, on lit : f (−2) = 1 et f (3) = 3.
17
2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
Rappel
Soit f une fonction. Pour chaque valeur x de l’ensemble de définition, on peut calculer f (x). Si on appelle
y le nombre f (x), on obtient alors un couple (x; y) qui peut être les coordonnées d’un point M dans
un repère. L’ensemble des points M qui ont des coordonnées du type (x; y) où x ∈ Df et y = f (x) est
appelé courbe représentative de la fonction f dans le repère.
12 Sur le graphique ci-contre, on a tracé la représentation
graphique d’une fonction f . Répondre aux questions
ci-dessous en utilisant le graphique.
J
1. Déterminer Df .
2. Déterminer l’image de 1 et de -2.
O
3. Résoudre f (x) = −2.
I
4. Déterminer f (0).
5. Déterminer la valeur minimale de f (x). Pour
quelle valeur de x ce minimum est-il atteint ?
13 On considère la fonction f définie par : f : x 7−→ x2 − 6x + 2.
La fonction g est définie par la représentation graphique ci-dessous :
4 y
3
Cg
2
J
-5 -4
-3
-2
-1 0
-1
-2
I
2
3
4
5
6
8
7 x
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte ;
citer la réponse exacte.
1. L’image de 1 par la fonction f est :
a. 1
b. 0
c.
−1
d.
−3
d.
1; 2
d.
2. L’ensemble des antécédents de −7 par f est :
a.
3
b.
2
c.
−2 ; 3
3. L’ensemble de définition de la fonction g est :
a.
− 1 ; −3
b.
−1 ; 3
c.
−4 ; 7
−4 ; 7
4. L’image de 0 par la fonction g vaut :
a. 1
b. −1
c.
7
d.
0
5. Quel point appartient à Cg ?
a. (−3 ; 1)
b. (−2 ; −0, 5)
c.
(−4 ; 1)
d.
(6 ; 2)
7
d.
3
6. Quelle est la valeur maximale atteinte par g ?
a. −3
b. 4
c.
18
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14 Soit la fonction f définie qui
R
2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
6
tout réel x associe le réel f (x) = x2 − quand il existe.
x
1. Calculer f (−2).
2. Calculer l’image de 3.
3. Pourquoi l’image de 0 par f n’existe-t-elle pas ? En déduire l’ensemble de définition de f .
15 Soit f la fonction définie sur
R par :
f (x) = x2 − 2x + 3
1. La fonction f admet-elle des valeurs interdites ? En déduire sont ensemble de définition Df .
√
3
2. Déterminer l’image par f des réels 0 ; − et 2.
2
3. Déterminer les éventuels antécédents de 3 par f .
4. Montrer que pour tout x ∈
R on a f (x) = (x − 1)2 + 2.
5. En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de 2 et de −4 par f .
16 On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on élève le résultat au carré, on retranche 16 et on divise le tout
par le nombre de départ.
Quelle est la fonction blop décrite par cet algorithme ? Quelle est l’image de 4 ? Que vaut blop(0) ?
17 Soit la fonction g qui à tout réel x associe le réel g(x) = 2x2 − 3
Décrire l’algorithme correspondant à la fonction g.
Déterminer l’image de 3, puis celle de −1 par la fonction g.
Déterminer les antécédents éventuels de 7, de −3 et de −4 par la fonction g.
18 Décrire la fonction associée à l’algorithme cicontre :
1
2
3
4
5
6
7
8
VARIABLES
x EST_DU_TYPE NOMBRE
y EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE x
y PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5
AFFICHER y
FIN_ALGORITHME
19 Écrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n’importe quel nombre réel y par la
fonction f définie sur
par f (x) = 3x + 1
R
1
2
3
4
5
6
7
8
19
2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
20 On considère les trois fonctions f , g et h définissant l’image du nombre x de la manière suivante :
2
f (x) = 3x − 2 ; g(x) = x2 ; h(x) =
x
1, 5
1
− 13
3x − 1
f (x)
1. Remplissez le tableau de valeurs ci-contre :
g(x)
2. (a) Résoudre les trois équations suivantes :
h(x)
1
2
; (F ) : x2 = 2 ; (G) :
= −1
2
3x − 1
(b) En vous servant de la question précédente, déterminer les ensembles ci-dessous :
(E) : 3x − 2 =
– L’ensemble des antécédents de
1
2
pour la fonction f ;
– L’ensemble des antécédents de 2 pour la fonction g ;
– L’ensemble des antécédents de −1 pour la fonction h.
3. (a) Quelle est l’équation vérifiée par un nombre x qui a pour image lui même par la fonction f ? Trouver
ce nombre x.
(b) Répondre à la même question avec la fonction g ?
21 Dans le repère orthonormé (O , I , J) représenté ci-dessous, on considère la courbe représentative C de
la fonction f :
1. Placer le point A(−2 ; 1).
y
2. On considère les points suivantes du plan :
5
B(−2 ; 3)
D(−1, 5 ; 5)
C(1 ; 1)
E(0, 25 ; 0, 5)
C
4
3
(a) Placer ces points sur le repère.
2
(b) Parmi ces points, lesquels appartiennent, de
manière certaine, à la courbe C .
3. Placer le point F appartenant à la courbe C et
ayant −1 pour abscisse. Donner ses coordonnées.
4. Combien de points de la courbe C ont pour ordonnée la valeur 1 ?
1 J
I
−3
−2
−1
O
1
2
3
x
−1
−2
Donner leurs coordonnées.
−3
20
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2nde. exercices - Généralités sur les fonctions
22 Définition du petit Larousse :
Un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiple) est un questionnaire proposant, pour chaque question posée,
plusieurs réponses entre lesquelles il s’agit de choisir la bonne.
Pour chaque question, cocher la case associée à la réponse correcte :
1. Soit f une fonction vérifiant f (4) = 2, on dit :
un
√ antécédent de 4 est 2
2 est une solution de l’équation f (x) = 2
4 a pour image 2 par la fonction f
la courbe passe par le point de coordonnées (2 ; 4)
2. La courbe représentative de la fonction g passe par le point (−1 ; 2), alors :
l’équation g(x) = −1, admet 2 comme solution.
−1 est un antécédent de 2 par g.
2 a pour image −1 par g.
2 n’a pas d’image.
√
1
3. Soit h une fonction. L’équation h(x) = −1 admet comme solutions 3, et 2 alors :
5
3 est l’unique antécédent du nombre −1 par la fonction h.
√
l’image du nombre −1 vaut 2.
√
la courbe représentative passe par le point de coordonnées
2 ; −1 .
√
la fonction h vérifie h(3) = 2.
4. Soit j une fonction tel que le nombre 3 ait pour image −5 :
j vérifie j(−5) = 3.
3 est un antécédent du nombre −5 par la fonction j.
la courbe de j passe par le point de coordonnée (−5 ; 3).
l’équation j(x) = −5 n’admet aucune solution.
23 Dans le repère (O , I , J) ci-dessous est représentée la courbe représentative de la fonction f
3
2
Cf
J
-5
-4
-3
-2
-1
O
I
2
3
4
5
-1
Cf
-2
-3
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f .
2. Déterminer les images des nombres 1 , 0 , −2 par la fonction f :
3. Déterminer l’ensemble des antécédents de 2 et −2 par cette fonction.
4. Donner, sous forme d’intervalle, l’ensemble des abscisses des points de Cf possédant une ordonnée
supérieure ou égale à 1, 5.
21
Exercices du livre Déclic 2de
Lire un graphique
1
Savoir faire
5 Lire « Savoir faire » et « Points méthode »
pages 17 et 19
Exercices 1 et 2 page 14 ;
QCM page 27 et exercices 38 à 41 page 31
Notion d’intervalle
2
Exercices 17 à 19 et 23 page 28
Notion de fonction
3
Exercices 27 à 30 page 29
Courbe représentative
4
Exercices 38 à 41 page 31
22