Fonctions de transfert Échantillonnées

PARTIE 5
Fonctions de transfert
Echantillonnée
Modélisation d’un axe numérique
A) Fonction de transfert échantillonnée.
1) Commande d’un système continu par un signal échantillonné
a) Principe de la commande
Un signal échantillonné est constitué d’un peigne d’impulsions de Dirac modulées en amplitude. On
suppose que le système à commander est continu et linéaire : que l’on connaît sa réponse impulsionnelle et sa
fonction de transfert G(p).
La réponse du système à une entrée échantillonnée est donc la superposition des réponses impulsionnelles
modulées par l’amplitude de chaque Dirac et décalées dans le temps de k.Te.
x(t)
y(t)
X(p)
Y(p)
G(p)
δ (t)
g(t)
Réponse à une impulsion
0
t/Te
t
y(t)
x(t)
Réponse à une suite d'impulsions
0
1
2
3
t/Te
0
1
2
3
t/Te
b) Calcul de la réponse temporelle
Si on pose “h(t)” la réponse impulsionnelle du système continu on peut écrire :
∞
∞
x( k. Te ) . δ t
x( t )
k . Te
x( k. Te ) . h t
y( t )
k= 0
k . Te
k= 0
h(t - k.Te) = 0 pour t < k.Te
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2) Transformée en “z” du signal de sortie
a) Echantillonnage du signal de sortie
Le schéma fonctionnel ci-dessous représente un système continu commandé par un signal
échantillonné. La sortie du système continu est échantillonnée.
x(k.Te)
Te
x*(t)
y(t)
y(k.Te)
H(p)
Echantillonneur à impulsion Système Continu
Echantillonneur Parfait
x(k.Te)
x*(t)
y(t)
y(k.Te)
t
t
t
t
La fonction de transfert échantillonnée doit relier les signaux discrets y(k.Te) et x(k.Te).
b) Transformée en “z” du signal de sortie
Par définition on a :
∞
∞
y( j ) . z
Y( z )
j
∞
x( k. Te ) . h( ( j
Y( z )
j= 0
j= 0
k ) . Te ) . z
j
k= 0
Si on pose m=j - k la formule ci-dessus devient :
∞
∞
k
x( k. Te ) . h( m. Te ) . z . z
Y( z )
m= k
m
k= 0
∞
∞
h( m. Te ) . z
Y( z )
m
.
m= k
x( k. Te ) . z
k
k= 0
Comme la réponse impulsionnelle h(m.Te) est nulle pour toute valeur de “m < 0” on a :
∞
∞
h( m. Te ) . z
Y( z)
m= 0
m
.
x( k. Te ) . z
k
k= 0
On peut écrire :
Y(z) = H(z) . X(z)
H(z) est la transformée en “z” de la réponse impulsionnelle échantillonnée h*(t)
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3) Exemples
a) Système du premier ordre
Soit un système du premier ordre de la forme :
t
H0
1 τ .p
H( p )
H0 . τ
e
τ
h( t )
H0 .
H( z )
z
τ
Te
z
τ
e
b) Système du second ordre avec un intégrateur et une constante de temps
Soit un système du second ordre de la forme :
t
H0
H( p )
p.( 1
H( z )
τ .p )
z
H0
H0. 1
h( t )
e
τ
z
z
1
Te
z
τ
e
Te
H0 . z. 1
H( z )
τ
e
Te
1) . z
(z
τ
e
c) Système du second ordre avec deux constantes de temps
Soit un système du second ordre de la forme :
H( p )
(1
H0
τ 1. p ) . ( 1
exp
h( t )
H0. τ 1.
H0.
H ( z) =
1.
τ1
τ 2. τ 1
exp
h( t )
τ 2. p )
1.
t
exp
τ 2. H0.
2
τ1
t
exp
(τ 2
τ 1)
τ1
− e
− Te
2
τ2
1.
τ2
τ2
(τ 2 − τ 1)( z − e
τ2
t
τ 2. τ 1
t
+ e
− Te
1.
τ1
− Te
τ1
)( z − e
− Te
τ2
)
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d) Système du troisième ordre avec une constante de temps et deux intégrateurs
Soit un système du troisième ordre de la forme :
H( p )
h( t )
H( z)
H0
2.
p (1
τ .p )
H0. τ
t
Te
τ . z. exp
τ
H0. z.
τ .z
(z
τ . exp
τ . exp
2
1) . z
1.
τ
t
Te
z
τ
Te
exp
τ
τ
Te
exp
τ
3) Mise en série de fonctions de transfert continues.
Tous les exemples ci dessus peuvent être considérés comme la mise en série de fonctions de transfert
continues. Considérons le système constitué d’un intégrateur et d’un système du premier ordre.
x*(t)
Te
x'(t)
y(t)
y*(t)
H(p)
Echantillonneur à impulsion Système Continu
Echantillonneur Parfait
H0/(1 + τ p)
1/p
La transformée en “z” de l’ensemble des deux fonctions mise en cascade a été calculée ci-dessus et vaut :
H( z )
H0
z
z
z
1
Te
z
e
τ
DANGER : La transformée en « z » d’un produit de fonctions continues, N’EST PAS EGALE au
produit des transformée en « z » de chaque terme.
CONCLUSION :
Si on a un produit de deux fonctions continues Y(p)=H1(p)*H2(p), pour calculer la transformée en
« z » de ce produit il faut :
a)
b)
Calculer la réponse impulsionnelle y(t) du PRODUIT des ces deux fonctions.
Echantillonner cette réponse par un peigne de Diracs pour obtenir y*(t).
c)
Y(z) est la transformée en « z » de la suite des échantillons y(k) de la réponse
impulsionnelle du produit. Cela revient à calculer la transformée en « z » DU PRODUIT des deux
fonctions.
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4) Commande d’un système continu par un CNA
a) Modélisation d’un CNA
Un convertisseur Numérique Analogique maintient la valeur de la grandeur de sortie constante
pendant toute la période d’échantillonnage. Il se comporte comme un bloqueur d’ordre zéro.
On a donc le schéma suivant :
x*(t)
x(k.Te)
cna(t)
y(k.Te)
y(t)
H(p)
x(k.Te)
x*(t)
cna(t)
Te
y(t)
y(k.Te)
b) Fonction de transfert échantillonnée
Calculons la fonction de transfert B0(p) d’un bloqueur d’ordre zéro. Pour cela il est possible de
considérer que cette fonction est la somme de deux échelons décalés d’une période d’échantillonnage.
1
1
0
Te
t
0
Te
t
-1
1.
B0( p )
p
b0(t) = u(t) - u(t - Te)
1
e
T e. p
Pour calculer la fonction de transfert d’un système continu commandé par un CNA, il faut
calculer la transformée en “z” de la réponse impulsionnelle du système :
T(p) = B0(p).H(p)
1.
T( p )
1
e
T e. p
. H( p )
T( p )
p
En appliquant le théorème du retard on a :
H( z )
Z
1.
p
H( p )
1.
p
e
H( z )
Te . p.
H( p )
z
z
H( z )
1.
p
1.
H( p )
1
z
p
1
e
Te. p.
H( p )
. Z H( p )
p
1 . H( p )
Z
p
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B) Application : Modélisation d’un axe numérique
1) Caractéristiques générales
a) Description générale
Un axe numérique est constitué d’un chariot mobile qui se déplace à l’aide d’un moteur à courant
continu.
La régulation de position et de vitesse est réalisée par un système électronique organisé autour
d’un processeur spécialisé le HCTL1000. Ce processeur reçoit les consignes, mesure la vitesse et la
position, puis élabore la commande sur un convertisseur numérique analogique.
La position et la vitesse du chariot sont obtenues par comptage des impulsions issues d’un codeur
incrémental
Le moteur est commandé par un variateur de vitesse de type hacheur. Ce variateur reçoit la
commande en tension du CNA et pilote le moteur à courant continu.
Le correcteur numérique peut être soit de type polynomial en “z” soit de type PID. La période
d’échantillonnage est réglable.
Un micro ordinateur permet le dialogue entre l’opérateur et le boîtier de commande. Le logiciel
saisie les demandes de l’opérateur et envoie les ordres au HCTL1000 via une liaison série. En retour on
peut visualiser sur un écran ou une imprimante la réponse du système.
b) Caractéristiques mécaniques
•
•
•
•
•
Poulie
Réducteur
->
Codeur
Constante de temps
Vitesse maximale
->
1/70
->
->
->
180 mm/tour
->
->
->
->
30 Volts
+/- 10 Volts
8 bits
2.048 ms
500 pts/tour
30 ms
5000 tr/mn
c) Caractéristiques électriques
•
•
•
•
Tension Hacheur
Tension CNA
Nombre de bits du CNA
Période d’échantillonnage
2) Schéma fonctionnel.
a) Schéma de principe général
Toutes les caractéristiques du système conduisent au schéma de principe suivant :
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P6/9
HCTL1000
CNA
Hacheur
Moteur
Codeur
Réducteur
Charge :Couple Résistant
Γr
J/f
-
Correcteur
D(z)
+
Oscillateur : Te
Consigne
b) Schéma fonctionnel général
L’entrée du CNA est une suite de valeurs numérique Ncna(k). On peut considérer qu’il s’agit d’un
signal échantillonné qui commande un bloqueur d’ordre zéro muni d’un gain Kcna.
Kcna = 20 / 256 (Amplitude de 20 Volts pour 8 bits)
L’ensemble hacheur/moteur/charge peut être considéré comme un système décrit par une fonction
de transfert du premier ordre en vitesse. Une consigne de 10 volts correspond à 5000 tours/mn
H(p) = H0 / (1 + τ.p)
avec
H0 = 2.π.5000/60/10
τ=0.03 s
Entre la vitesse et la position il y a un intégrateur 1/p.
Le codeur est une constante de gain Kcod. Si N est le nombre de points par tours :
Kcod = 4.N/(2.π)avec N=500
Le réducteur est aussi une constante de gain Kred.
Kred = 1/70
Entre la position du chariot mesurée en “mm” et la position de l’axe secondaire du moteur
mesurée en radians et il faut tenir compte du diamètre de la poulie.
Kpoulie = 180 / (2.π)
( 180 mm/tours )
La consigne est donnée dans le logiciel en “mm”. Le régulateur HCTL1000 reçoit une consigne
sous forme de nombre de points à compter. Pour plus de précision le codeur est placé sur l’axe primaire
du réducteur. Il existe donc un gain d’entrée Kin qui transforme des “mm” en nombre.
Kin = Kcod/(Kpoulie.Kred)
On arrive donc au schéma fonctionnel suivant :
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P7/9
C ons igne (N B )
x (mm)
C ommande (N B )
Vcna(Volts)
Ω 1 (Rd/s)
+
D (z)
Kin
Hacheur
Moteur
Kcna
HCTL1000
Kcod
θ 1 (Rd)
1/p
M es ure (N B )
Kred
θ 2 (Rd)
y (mm)
Ω 2 (Rd/s)
Kpoulie
1/p
La partie discrète se situe à l’intérieur du cadre en pointillé. Les grandeurs Consigne, Commande
et Mesure sont des nombres, donc une suite de valeurs discrètes.
Tout ce qui se trouve à l’extérieur de cette zone peut être considéré comme continu. On y trouve
des constantes et la fonction de transfert du bloc Hacheur Moteur.
La sortie du HCTL1000 est une suite de valeurs échantillonnées.
c) Gain statique de la boucle de régulation
Dans ce qui suit on calcule le gain statique de l’ensemble qui se trouve à l’extérieur du régulateur
numérique.
•
Gain numérique : Hn = Mesure(NB) / Commande(NB).
Hn = Kcna.H0.Kcod
•
Gain en position : Hp = y(mm) / x(mm)
Hp = Kcna.H0.Kred.Kpoulie.Kin
avec Kin = Kcod/(Kpoulie.Kred)
Hp = Kcna.H0.Kcod
CONCLUSION :
Le gain statique de la boucle de régulation est le même aussi bien pour la boucle en
position mesurée en “mm” que pour la boucle de position mesurée en valeurs
numérique sous forme discrète.
d) Schéma fonctionnel
C ommande (N B )
C ons igne (N B )
Vcna(Volts)
Ω 1 (Rd/s)
+
D (z)
-
Hacheur
Moteur
Kcna
HCTL1000
Kcod
θ 1 (Rd)
1/p
M es ure (N B )
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P8/9
3) Fonctions de transfert
a) Fonction de transfert Analogique
La fonction de transfert de la partie analogique en vitesse est donc :
H( p )
B0( p ) .
Kcna . H0. Kcod
( 1 τ .p )
La fonction de transfert de la partie analogique en position est donc :
H( p )
B0( p ) .
Kcna . H0. Kcod
p.( 1 τ .p )
b) Fonction de transfert échantillonnée
Pour calculer la fonction de transfert échantillonnée il faut appliquer dans chaque cas la formule :
z 1 . H( p )
H( z )
Z
z
p
La fonction de transfert échantillonnée en vitesse est donc :
Z
H( p )
p
1
Kcna. H0. Kcod. z.
z
H( z )
Te
exp
exp
τ
Te
τ
1
exp
z
exp
Kcna. H0. Kcod.
.( z
1)
Te
τ
Te
τ
La fonction de transfert échantillonnée en position est donc :
Te
H( z )
τ
τ . exp
Te
1
exp
Kcna . H0. Kcod .
2
z
τ
.z
Te
τ
τ
( Te
.z
τ ) . exp
exp
Te
τ
Te
τ
Remarque :
La transformée en “z” conserve l’ordre du système.
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