Université de Lorraine-Metz Master 1 de Mathématiques Année

Université de Lorraine-Metz
Master 1 de Mathématiques
Année 2012/2013
TD n◦ 2. Groupes et géométrie
Sous-groupes de Sylow- Classification
Exercice 1.
Soit G = Z/1620Z.
1) Déterminer, pour tout diviseur premier p de o(G), tous les p-sous-groupes de Sylow de G.
2) Montrer que G est produit direct des ses sous-goupes de Sylow.
3) Mêmes questions avec G = (Z/63Z × Z/15Z).
Exercice 2.
Soit G un groupe d’ordre 15.
1) Déterminer, pour tout diviseur m de l’ordre de G le nombre d’éléments d’ordre m.
2) Déterminer le plus petit entier n tel que Sn contienne un sous-groupe d’ordre 15.
Exercice 3.
On dit qu’un groupe G est simple si ses seuls sous-groupes normaux sont {e} et G.
1) Déterminer tous les groupes abéliens simples.
2) Soient p un nombre premier et r un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer qu’un groupe
d’ordre pr n’est jamais simple.
3) Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre p2 .
4) Un sous-groupe d’un groupe simple est-il simple?
5) Montrer qu’un groupe d’ordre 56 n’est pas simple.
Exercice 4.
Soit G un groupe fini.
αs
1
a. Soit x ∈ G d’ordre pα
1 . . . ps (avec αi > 0 et p1 , . . . , ps premiers tous distincts). Démontrer
i
qu’il existe x1 , . . . , xs dans G tels que x = x1 . . . xs , o(xi ) = pα
i et xi xj = xj xi pour tout (i, j).
b. Montrer que G est produit direct de ses sous-groupes de Sylow si et seulement si tout sousgroupe de Sylow est normal dans G.
c. Si c’est le cas, montrer que le centre de G n’est pas trivial et que tout diviseur premier de l’ordre
de G divise l’ordre de son centre.
Exercice 5. (Extrait de Janvier 2012)
Soit G un groupe d’ordre 2pq où p et q sont premiers et 2 < p < q. I) Montrer que si q + 1 6= 2p,
alors un q-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G.
II) On suppose par la suite que q + 1 = 2p. Soit H un p-sous-groupe de Sylow de G et K un
q-sous-groupe de Sylow de G.
(a) Montrer qu’au moins l’un entre eux est distingué dans G.
(b) Montrer que HK est un sous-groupe de G. Déterminer son ordre.
(c) Montrer que HK est un sous-groupe cyclique de G.
(d) Déduire de ce qui précède que HK est un sous-groupe distingué de G.
Exercice 6. (Extrait de Novembre 2011)
Soit G un groupe d’ordre 99.
1) Déterminer n3 et n11 .
2) Montrer que G est produit direct de ses sous-groupes de Sylow et que G est abélien.
3) Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 99.
4) Montrer que G est cyclique si et seulement s’il contient un sous-groupe cyclique d’ordre 9.
5) Montrer que tout groupe d’ordre 99 contient un sous groupe cyclique d’ordre 33.
6) Déduire de ce qui précède que si H est un groupe quelconque d’ordre 9 et K un groupe quelconque
d’ordre 11, le seul morphisme de groupe de K à valeurs dans Aut(H) est le morphisme trivial.
Exercice 7.(Extrait de Septembre 2000).
Soit G un groupe. Si x, y ∈ G, on appelle commutateur de x et y l’élément noté [x, y] = xyx−1 y −1 .
On appelle sous-groupe des commutateurs ou sous-groupe dérivé, et on note [G, G] le sous-groupe
de G engendré par les commutateurs [x, y] pour x, y ∈ G.
1) Montrer que [G, G] est un sous-groupe distingué de G et que c’est le plus petit sous-groupe
distingué H de G tel que G/H soit abélien.
Soit G = A4 , le sous-groupe de S4 des permutations de signature 1.
2) Montrer directement que [G, G] contient au moins 3 éléments.
3) Déterminer deux 3-sous-groupes de Sylow de A4 . En déduire leur nombre total.
4) Déterminer le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de A4 .
5) Montrer que l’ordre de [G, G] est 4.(Utiliser 1))
6) En déduire que A4 ne contient pas de sous-groupe d’ordre 6.
7) Déterminer tous les sous-groupes de A4 . Lesquels sont-distingués?
8) Montrer que A4 est produit semi-direct de deux sous-groupes de Sylow. En est-il le produit
direct?
Exercice 8. Extrait de Avril 2002).
Tous les groupes d’ordre 255 sont cycliques.
1) Montrer, en regardant les sous-groupes de Sylow, que tous les groupes d’ordre 15, 51 et 85 sont
cycliques.
2) Soit G un groupe d’ordre 255.
a) Montrer que le 17-sous-groupe de Sylow de G est normal. On le note H17 .
b) Montrer que G admet un sous-groupe d’ordre 3, noté, H3 et un sous-groupe d’ordre 5, noté, H5 .
Montrer que l’un d’eux est un sous-groupe normal de G.
c) En déduire que H3 H5 , H3 H17 et H5 H17 sont des sous-groupes de G et qu’ils sont cycliques.
d) Montrer H3 H5 H17 est un sous-groupe de G. Quel est son ordre?
e) Montrer que H3 H5 H17 est abélien, puis conclure.
Exercice 9.
Soit G un groupe d’ordre 48. On veut montrer que G n’est pas simple. Pour tout diviseur premier
p de |G|, on appelle np le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G.
1) Montrer que si n3 = 1 ou 16, G n’est pas simple.
2) On suppose que n3 = 4 et soit X = {H1 , H2 , H3 , H4 } l’ensemble des 3-sous-groupes de Sylow
de G. On fait opérer G sur X par conjugaison c’est à dire g.Hi = gHi g −1 .
a) Montrer que cette action induit un homomorphisme de groupes de G dans Bij(X).
b) Conclure.
Exercice 10.
1) Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 1225.
2) Soit G un groupe d’ordre 30.
a) Montrer que n3 = 1 ou n5 = 1. En déduire que G contient un sous-groupe cyclique d’ordre 15.
b) Montrer que G est produit semi-direct de deux sous-groupes cycliques.