Les équations de Maxwell

PSI Brizeux
Ch. E3 Les équations de Maxwell
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CHAPITRE E3
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
1.
LES EQUATIONS DE MAXWELL
1.1.
Insuffisance des équations locales des régimes stationnaires
Dans le cadre des régimes stationnaires, précédemment étudiés, les champs E et B sont
totalement découplés .
ρ
E est déterminé par la résolution des équations : rot E = 0
et div E = ε0
!
!
B est déterminé par la résolution des équations : rot B =µ0 j et div B = 0
!
!
! l’électromagnétisme
! !
! ne peuvent être décrits à l’aide de
Plusieurs phénomènes fondamentaux de
ces équations, ce qui ne remet pas en cause leur validité, mais limite leur champ d’étude : tous ces
! !
!
phénomènes correspondent en effet à des régimes! variables pour lesquels ces équations sont
incomplètes. C’est pourquoi nous avons bien précisé que les équations locales écrites ci-dessus
s’appliquent aux régimes stationnaires.
Nous cherchons à présent des équations plus générales, valides dans un régime quelconque, et
dont les équations précédentes représentent un cas particulier quand la dépendance vis à vis de la
variable temps disparaît.
Remarquons par exemple qu’un champ électrique à circulation conservative ne peut expliquer
l’apparition d’une force électromotrice (c’est à dire d’une tension) dans un circuit fermé, phénomène
pourtant fondamental que l’on rencontre quand on déplace un circuit dans un champ magnétique ou
qu’on le soumet à un champ magnétique variable.
Le caractère ondulatoire du champ électromagnétique, associé en fait à des phénomènes de
propagation est également « absent » des équations ci-dessus.
Plus concrètement enfin, l’équation de conservation de la charge, directement établie au chapitre
1, n’est pas vérifiée par ces équations puisqu’elles n’impliquent que div j = 0. Nous avons d’ailleurs
précisé la compatibilité de toutes ces équations dans le cadre restreint des régimes stationnaires...
Historiquement enfin, il faut savoir que les 4 équations que nous allons en quelque sorte affirmer
comme les postulats de base de l’électromagnétisme ne!se sont pas bâties en un jour, mais
progressivement construites et enrichies séparément par les études de nombreux physiciens. Il
revient en fait à Maxwell le mérite de les avoir définitivement regroupées pour en faire les
fondements de l’électromagnétisme.
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1.2.
41
Les 4 équations de Maxwell
1.2.1. Expression et interprétation physique
Quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base de
l'électromagnétisme :
- Equation du flux magnétique M1 : div B = 0
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant :
!
!!
S
B . dS = 0
précise sa signification : Le flux de B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété
!!
intrinsèque de B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de
l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Nous retrouvons là en fait la même
équation qu’en régime stationnaire...
!
!
- Equation de Maxwell-Faraday M2: rot E = -
"B
"t
! !intégrale est:
Cette équation est indépendante des sources. Sa forme
!
"" rotE.dS = !
S
E . dl = - "
C
d
dt
( ## B.dS) = S
dφ
dt
Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique
!!
variable peut créer un champ électrique
à circulation non nulle.
!
!
ρ
- Equation de Maxwell-Gauss M3 : div E = ε 0
! Sa forme intégrale est :
Cette équation relie le champ électrique à ses sources.
∫∫∫τ div E dτ
=
!!
S
E . dS =
∫∫∫τ ερ0
dτ
=
Qint
ε0
!
! !
Ce résultat qui exprime que le flux du champ électrique à travers toute surface fermée est égal à
la somme des charges intérieures sur ε0 est connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que
le champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le
« théorème de Gauss » est donc vrai en régime variable.
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- Equation de Maxwell-Ampère M4 : rot B = µ 0 ( j + ε 0
42
"E
)
"t
! à!ses sources
!
Cette équation relie le champ magnétique
et!au champ électrique. Sa forme
intégrale est :
"E
. dS
s rot B . dS = !C B . dl = µ0
s j . dS + µ0ε0
s
"t
∫∫
∫∫
∫∫
En régime stationnaire, nous retrouvons le théorème d’Ampère qui montre que le champ B
! !!
!!
! !
"E !
tourne autour des courants. Le terme supplémentaire en ! indique qu’un champ électrique
"t
variable est source de champ magnétique.
!
Rq.1 Ces équations couplent bien E et B qui ne peuvent être, dans le cas général, calculés
!
indépendamment l'un de l'autre.
! obtient
! div j + ε0 div( "E ) = 0 soit, en intervertissant les dérivations
Rq.2 En prenant divM4, on
"t
∂ρ
par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M3 : div j + ∂t = 0. L’équation de conservation
de la charge est bien satisfaite ! !
!
1.2.2. Linéarité des équations
!
La linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet d’affirmer que si une
distribution de charges et de courants D1 crée le champ ( E 1, B 1) et une distribution D2 le champ ( E 2,
B 2), la superposition des distributions D1 et D2 crée le champ ( E 1+ E 2, B 1 + B 2).
! !
!
!
2.
!
! !
!
CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des
discontinuités des champs E et B à la traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell
permettent de déterminer ces discontinuités :
n12
&
#
1 = !n12
( E 2 " E!
$0
'
(
) B 2 " B1 = µ 0 js % n12
€
!
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43
Ces relations font apparaître la possibilité d'une discontinuité de la composante normale de E
et la continuité de la composante tangentielle de E .
Elles font également apparaître la possible discontinuité des composantes tangentielles
!
B
de B et la continuité de la composante normale
de
.
!
Il est important de bien comprendre que les discontinuités des champs disparaissent pour des
distributions volumiques de charges et de courants : c’est le modèle surfacique qui les provoque.
!
!
3.
CHAMPS ET POTENTIELS
3.1.
Existence de potentiels associés aux champs
M1 implique qu'il existe un vecteur A , appelé potentiel-vecteur, tel que B = rot A, puisque tout
champ de vecteurs à divergence nulle dérive d'un rotationnel. En reprenant M2, on a alors :
!
D'où
! !
rot E = -
!
"
"A
rotA = - rot
"t
"t
(
)
rot ( E !
+
!
! !
"A
)= 0
"t
!
Or, tout champ de vecteurs à rotationnel nul dérivant d'un gradient, il existe donc un scalaire V,
! ! puisse s'écrire
!
appelé potentiel, tel que la parenthèse
:
!
E+
"A
= - grad V
"t
le signe - étant ici purement conventionnel.
!
!
!
Au couple ( E , B ), on vient donc d'associer un couple ( A,V) de potentiels reliés aux champs par :
E = - grad V -
!!
"A
!"t
;
B = rot A
Nous retrouvons évidemment les potentiels précédemment définis en régime stationnaire :
!
! ! !
comme nous l’avions prévu,! les expressions
de E et B vis à vis des potentiels prennent alors la
!
forme simplifiée :
E =!
- grad!V
B = rot A
Notons dès à présent que le lien entre B et A ne change pas en régime stationnaire et en régime
variable, ce qui n’est pas le
plus loin cette remarque.
! cas de
! exploiterons
! !
! E . Nous
!
!
!
44
Remarque : Pour un couple ( E , B ) donné, on a en fait une infinité de couples ( A,V) possibles.
Supposons en effet qu'on en ait trouvé un noté ( A0,V0) et soit φ(M,t) une fonction scalaire
quelconque. Si l'on écrit A = A 0 + grad φ, on a encore B = rot A. Pour obtenir le même E , il suffit
!!
!
de définir un nouveau potentiel
V tel que :
!
"A ! ! !
"A
! !
!
!
- grad V = - grad V0 - 0
"t
"t
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∂φ
ce qui donne V = V0!+ ∂t . On peut construire
ainsi une infinité de couples de potentiels donnant
!
!
!
les mêmes champs.
Ceci n'est pas forcément ennuyeux : les potentiels ne sont qu'un intermédiaire de calcul et cette
indétermination peut être mise à profit en imposant une condition supplémentaire sur ces potentiels
qui simplifie les calculs intermédiaires. Cette condition est appelée choix de jauge.
∂V
Ainsi, l’équation : µ0ε0 ∂t + div A = 0
qu'on appelle jauge de Lorentz et qui ne fait que restreindre le choix de tous les couples ( A,V)
possibles permet d’obtenir, pour les potentiels, les équations
appelées équations de Poisson :
!
ρ
∂2 V
ΔV - µ0ε0 ∂t2 + ε0 = 0
et
" A - µ0ε0
"2 A
+ µ0 j = 0
"t 2
!
Une fois encore, en régime stationnaire, nous retrouvons les équations de Poisson des potentiels
! !la forme particulière
! la jauge de Lorentz en régime
introduites au chapitre précédent. De même
! de
!
stationnaire n’est autre que la jauge de Coulomb ! Il y a donc parfaite compatibilité entre les équations
des régimes variables et celles des régimes stationnaires.
∂2
La différence fondamentale entre les deux régimes est l’apparition de termes en ∂t2 qui, nous le
verrons, impliquent la notion de propagation du champ électromagnétique. Remarquons d’ailleurs
qu’une analyse dimensionnelle des équations de Poisson montre que le produit µ0ε0 a les dimensions
de l’inverse du carré d’une vitesse.
On peut donc écrire :
µ 0ε 0c2 = 1
La vitesse c, appelée célérité des ondes électromagnétiques dans le vide, a vu sa valeur fixée par la
définition du mètre comme la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1/299792458
seconde.
La valeur de c est donc exactement fixée. Nous retiendrons que cette valeur est proche de
3.108 m.s-1.
Les valeurs de ε0 et µ0 sont alors respectivement fixées à :
1
ε 0 = 36π.109 F.m-1 et
µ 0 = 4π. 10-7 H.m-1
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4.
ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
4.1.
Énergie du champ électromagnétique
45
Nous avons déjà vu qu'à des champs E et B on pouvait associer des énergies décrites par des
ε0 E 2
B2
densités volumiques de la forme 2 et 2µ0 .
!
!
Nous admettrons à présent cette propriété pour un régime quelconque dépendant du temps et
appellerons densité d'énergie électromagnétique la quantité :
w =
ε 0 E2
B2
+
2
2µ 0
L’énergie totale associée à un champ électromagnétique établi dans tout l’espace est donc
calculable par :
EE,B =
4.2.
∫∫∫espace [
ε 0 E2
B2
+ 2µ 0
2
]
dτ
Equation de conservation de l’énergie électromagnétique
Cependant, nous savons maintenant qu'un champ électromagnétique peut se propager : il doit
donc en être de même de l'énergie qui lui est associée. En outre nous avons vu que lorsque des
charges étaient mobiles, il existait une relation locale entre la densité volumique de charges et le
vecteur courant de charges, exprimant la conservation de la charge. Il doit exister une telle relation
entre w et un vecteur non encore défini relié à un "courant d'énergie". Ce problème est cependant
plus complexe que celui de la charge : nous avons vu en effet qu'il pouvait y avoir échange d'énergie
entre un champ électromagnétique et des charges mobiles et une relation de conservation de
l'énergie doit tenir compte de cet échange.
Rappelons tout d'abord cet échange : tout élément de volume dτ où existent les densités ρ et j ,
placé dans un champ électromagnétique subit la force :
δ F = ( ρ E + j ∧ B ) δτ
Les charges mobiles de cet élément subissent la force :
!
! ! !
δ F m = ( ρm E + j ∧ B ) δτ
La puissance de cette force est : δP = δ F m . v δτ = j . E δτ
!
! ! !
!
!
!!
!
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46
Ce terme représente donc la puissance échangée entre le champ électromagnétique et les
courants de l'élément dτ. Cette puissance est envisagée du point de vue des courants : on l’a calculée
à partir de la force subie par ceux-ci et si cette puissance est positive, elle correspond à une énergie
transférée du champ vers les courants : nous appellerons puissance volumique cédée aux
courants le terme j .E .
Revenons à présent à l'idée d'une équation locale de conservation de l'énergie qui doit être
contenue dans les équations de Maxwell. Essayons de la dégager en faisant apparaître le terme
!
précédent. Il suffit de multiplier M4 scalairement par E :
"E
E . rotB = µ0 ( j . E + ε0 E .
)
"t
!
1
∂ ε0 E 2
E
rotB
E
.
=
.
+
j
µ0
∂t ( 2 )
! !
!
!!
!
1
En outre, multipliant scalairement
M2 !
par µ0 B , il vient :
! !
!
1
1
∂B
∂ B2
B
rot
E
B
.
=
.
=
µ0
∂t
∂t (2µ0 )
! µ0
Enfin, en effectuant!la différence
des
! !
! deux équations, on obtient :
∂ ε0 E 2
B2
1
E.rotB " B.rotE = j . E + ∂t ( 2 + 2µ0 )
µ0
(
)
1
∂ ε0 E 2
B2
− div (µ0 E ∧!B!) = j . E + ∂t ( 2 + 2µ0 )
!
∂w
1
div
! R!+ ∂t +!j!. E = 0 avec R = µ 0 E ∧ B
4.3.
!
!
!
! !
Vecteur de Poynting et puissance rayonnée
!
Le vecteur ainsi introduit est appelé vecteur de Poynting et cette équation représente l'équation
locale de conservation de l'énergie que l'on peut interpréter sous sa forme intégrale. En intégrant sur
un volume fini τ, on obtient :
∫∫∫τ div R
!
dτ +
∫∫∫τ
∂w
∂t dτ +
∫∫∫τ
j .E dτ = 0
!
dEE,B
= - Pcédée - Prayonnée
dt
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Cette dernière équation représente la forme intégrale de conservation de l'énergie. Elle montre
que la variation par unité de temps de l'énergie électromagnétique contenue dans un volume τ se
compose en général de deux termes. Le premier terme est la puissance cédée par le champ
électromagnétique aux charges mobiles du volume τ.
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Nous appellerons puissance rayonnée le deuxième terme qui peut encore s'écrire :
Prayonnée =
!!
S
R . dS
! !à travers la surface limitant le volume τ du vecteur
La puissance rayonnée représente alors le flux
de Poynting. Elle s'interprète comme la puissance associée à l'énergie qui traverse la paroi du
volume τ, comptée positivement pour une énergie sortante. Le vecteur R apparaît alors comme
un vecteur "densité de courant de puissance" analogue au vecteur j .
Rq. Le vecteur de Poynting est défini à partir de sa divergence.
Il n'est donc défini qu'à un
!
rotationnel additif près. Dans un bilan énergétique où l'on calcule son flux à travers une surface
!pour la puissance rayonnée...
fermée, on retrouvera par contre toujours la même valeur
5.
L’APPROXIMATION DES REGIMES
QUASI-STATIONNAIRES (ARQS)
Les équations de Maxwell et les champs qui en découlent pourront être étudiés dans 3 grands
types de circonstances: le cas le plus général dans lequel on s'est placé ici, le cas des régimes
stationnaires précédemment étudiés et celui des régimes quasi-stationnaires que nous allons définir à
présent.
Contrairement aux régimes stationnaires, les régimes quasi-stationnaires ne constituent pas un
cas particulier exact mais une approximation du cas général.
Cette approximation consiste en fait à négliger le retard dû à la propagation dont nous
avons parlé précédemment devant la période de variation des signaux sources
(car les variations des phénomènes que nous étudierons seront toujours ramenées à des variations
sinusoïdales ). Ce retard pourra être d'autant mieux négligé que la distance aux sources et la
fréquence des sources seront faibles.
Plus concrètement, dans le vide, le retard dû à la propagation est proportionnel à la distance à
λ
r
parcourir τ = c . La période de variation des signaux sources peut s’écrire T = c
Donc
τ << T => r << λ.
Ainsi, au courant industriel de fréquence 50 Hz est associée la longueur d’onde λ = 6000 km.
Nous pourrons donc négliger ce retard si les dimensions du système d’étude sont petites devant cette
distance... En fait jusqu’à des fréquences de 10 MHz (λ = 30 m), pour des circuits dont les
dimensions n’excèdent pas le mètre, cette approximation restera valable !
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48
Comment se manifeste cette approximation au niveau des équations de Maxwell ?
!
!
Négliger le retard dû à la propagation revient donc à adopter pour les potentiels la même
expression qu’en régime stationnaire.
Nous l’avons vu, B est alors lui-même calculable de la même façon puisqu’on a toujours
B = rot A.
"A
En revanche E est lui différent puisqu’on écrit E = - grad V et non simplement
!
"t
! ! E = - grad V.
!
!
!
! être identiques en régime stationnaire et
Les équations de Maxwell relatives à B doivent donc
!
"E
dans l’ARQS, ce qui implique que le terme ε0
soit négligeable devant j .
"t
!
!
Les équations
! de Maxwell de l’ARQS sont :
"B
"t
rot B = µ 0 j
rot E = -
ρ
div E = ε 0
div B = 0
! !
!
En outre, dans l'ARQS, on !
aura encore div j = 0 (on le voit facilement en prenant divM4), c'est à
!
!
dire que l'intensité du!courant,
dans
par exemple, pourra cette fois dépendre du
! un circuit filiforme
temps (régime non permanent) mais aura encore même valeur à chaque instant en tout point du
circuit.
!
Le champ électrique par contre sera différent de celui des régimes stationnaires, l'ARQS
permettant en résumé de traiter tous les problèmes liés au phénomène d'induction électromagnétique
sans faire intervenir ceux liés à la propagation, ce qui est tout à fait justifié, au sens des ordres de
grandeur, dans le domaine de l'électromagnétisme envisagé.