Les systèmes d`unités du champ électromagnétique

Les systèmes d’unités du champ électromagnétique
C. LONGUEMARE - séminaire d’analyse
∗
13 novembre 2007
Version 13/02/2008
Abstract
Ces notes accompagnent un travail sur l’électromagnétisme de Maxwell et les monopoles,
elles ont été rédigées au département de mathématiques de l’U-Caen à la demande de Jean
Parizet.
∗
UNIVERSITE DE CAEN année 2007-2008
1
SOMMAIRE
2
Sommaire
1
Les équations classiques dans tout sytsème d’unités
1.1 Les charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les équations du champ électromagnétique induit par les charges
1.3 Les interactions des charges et du champ . . . . . . . . . . . . . .
1.4 L’énergie associée au champ électromagnétique . . . . . . . . . . .
1.5 Les potentiels et la propagation des potentiels . . . . . . . . . . .
1.6 Le langrangien du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . .
1.7 Les solutions statiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
3
4
4
4
2
Les choix possibles
2.1 Le système international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le système de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Le système de Gauss des hautes énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
3
Les monopoles magnétiques
3.1 Les équations avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le lagrangien avec des monopoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
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1
LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS
1
Les équations classiques dans tout sytsème d’unités
1.1
Les charges électriques
3
Le courant de charge qui est la source du champ est noté :
j µ = (ρ, ⃗j) avec ⃗j = ρ ⃗v et µ = 0, 1, 2, 3
1.2
Les équations du champ électromagnétique induit par les charges
div(D) = ρ
∂D
rot(H) = K−1 (⃗j +
)}
∂t
div(B) = 0
∂B
rot(E) = − K−1
∂t
avec
⃗ = ϵ0 E
⃗ + P
⃗
D
⃗ = µ0 {H
⃗ + I}
B
Avec dans la matière on tient compte de la polarisation P et de l’aimantation I car la matière
contient des charges électriques atomiques. Polarisation et aimantation ont des actions de "déformation" du champ électromagnétique par exemple l’aimantation induit le champ magnétique au
voisinage d’un aimant.
Dans le vide classique , ces vecteurs sont nuls et l’on a :
P = 0
1.3
Les interactions des charges et du champ
La force de Lorentz s’écrit
La densité de force :
1.4
I = 0
⃗ + K−1 q⃗v ∧ B
⃗
F⃗Lorentz = q E
⃗ Lorentz = ρE
⃗ + K−1⃗j ∧ B
⃗
F
L’énergie associée au champ électromagnétique
La Densité d’énergie et le vecteur de Poynting ou courant d’énergie électromagnétique (propagation
des ondes ...) :
ω =
1 ⃗ ⃗
⃗ B)
⃗
(D.E + H.
2
⃗ = K(E
⃗ ∧ H)
⃗
P
1
LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D’UNITÉS
1.5
Les potentiels et la propagation des potentiels
Définition des potentiels
⃗
⃗ = −grad(V ) − K−1 ∂ A
E
∂t
⃗ = rot(A)
⃗
B
La condition de Lorentz
⃗ +
div(A)
ϵ0 µ0 ∂V
= 0
K ∂t
Les potentiels retardés de Liénard.
ϵ0 µ0 ∂ 2 V
ρ
=
−
K2 ∂t2
ϵ0
2⃗
⃗
⃗ − ϵ0 µ0 ∂ A = − µ0 j
∆A
K2 ∂t2
K
∆V −
La vitesse de propagation
c2 =
1.6
K2
ϵ0 µ0
Le langrangien du champ électromagnétique
La densité hamiltonienne H
H =
1 K2 ⃗ 2 ⃗ 2
( E +B )
2µ0 c2
L =
1 K2 ⃗ 2 ⃗ 2
( E −B )
2µ0 c2
La densité lagrangienne L
1.7
Les solutions statiques :
∫
ρ
d3 x
4πϵ0 r
∫
µ0⃗j 3
⃗
A0 ∼
dx
4πKr
V0 ∼
La constante de structure fine α sans dimension s’écrit :
α=
e2
1
∼
4πϵ0 ℏc
137, 0
où e est la charge élémentaire de l’électron.
4
2
2
LES CHOIX POSSIBLES
5
Les choix possibles
En résumé voir la table ci dessous.
µ0
K
ϵ−1
0
c
ℏ
Energie
2.1
SI
Gauss
HE physics
−7
4π 10
4π
1
1
c
1
2
−7
4π c 10
4π
1
6
8
299, 792458 10 m/s 299, 792458 10 cm/s
1
−34
−27
1.0546 10
J.s
1.0546 10
erg.s
1
Joule
erg
MeV
Le système international
Le système international des unités qui conduit à l’unité de charge appelée coulomb impose les
valeurs de µ0 , K et c :
µ0 = 4π 10−7
et K = 1
6
c = 299, 792458 10 m/s exact
L’ampère est le coulomb par seconde, de plus
{4π ϵ0 }−1
c−2 = ϵ0 µ0
= c2 10−7 = 9, ..109
En conséquence la force qui s’exerce entre deux charges de 1 coulomb à 1 m de distance est de
9, ..9, 109 newtons (9,81 newtons est le poids d’un kg).
Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent (P⃗ = I⃗ = 0)
ρ
ϵ0
∂E
rot(B) = µ0 j + ϵ0 µ0
∂t
div(B) = 0
∂B
rot(E) = −
∂t
div(E) =
2.2
Le système de Gauss
Le système de Gauss impose les valeurs de µ0 , K et c :
µ0 = 4π
et K = c
c = 299, 79... 106 m/s
ϵ0 µ0 = 1 ⇒ ϵ−1
= 4π
0
L’énergie électrostatique s’écrit :
qq ′
U =
r
2
LES CHOIX POSSIBLES
6
La force qui agit entre deux charges unité du système de Gauss
√ situées à 1m l’une de l’autre est
de 1 newton. Donc dans ce système l’unité de charge vaut c−1 107 coulombs.
Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent avec x0 = ct :
div(E) =
4π
rot(B) =
j +
c
div(B)
4πρ
∂E
∂x0
= 0
∂B
rot(E) = −
∂x0
2.3
Le système de Gauss des hautes énergies
Le système utilisé par les physiciens des particules impose deux conditions supplémentaires ce qui
permet d’exprimer toute grandeur physique dans une seule unité d’énergie dérivée de l’électronvolt. On peut encore simplifier c’est le système de la microphysique en particulier celui utilisé en
physique des hautes énergies.
Les grandeurs physiques s’expriment comme des puissances de l’énergie, éventuellement la puissance 0 :
ℏ = 1.
µ0 = 1
c = 1.
K = 1.
ϵ0 = 1.
Le potentiel coulombien statique entre deux charges e et e’ s’écrit :
U =
ee′
4πr
enfin les charges, les vitesses sont sans dimension et les champs E et B sont des forces. les vitesses
sont des fractions de la vitesse de la lumière et la charge élémentaire e vaut
e=
√
4πα avec α =
1
137, 0...
Dans ce système, longueurs, temps et masses s’expriment en termes d’énergie comme l’indique le
tableau ci-dessous
m
sec−1
kg
197.326 10−15 MeV−1
6, 582118 10−22 MeV
0.560959 1030 MeV
Dans le vide les équations de Maxwell s’écrivent :
div(E) = ρ
∂E
rot(B) = j +
∂t
div(B) = 0
∂B
rot(E) = −
∂t
3
LES MONOPOLES MAGNÉTIQUES
3
3.1
7
Les monopoles magnétiques
Les équations avec des monopoles...
Quand le vide comporte aussi des monopoles magnétiques en mouvement, les équations de Maxwell
deviennent
µ
jm
= (ρm , ⃗jm ) avec ⃗jm = ρm ⃗v et µ = 0, 1, 2, 3
div(D) = ρ
∂D
rot(H) = K−1 (j +
)
∂t
div(B) = ρm
∂B
rot(E) = − K−1 (jm +
)
∂t
La force de Lorentz par unité de volume s’écrit (à voir) :
⃗ + K−1⃗j ∧ B
⃗ + ρm B
⃗ − K−1⃗jm ∧ D
⃗
f⃗ = ρE
Le passage de l’électrique au magnétique se fait de la manière suivante : avec ϵ0 = µ0 = 1



E
0
 B 
 −1



 ρ ⇒ 0
ρm
0
1 0
0 0
0 0
0 −1

0

0 

1 
0


E
B


B 
−E
= 
 ρm
ρ 
ρm
−ρ
Dans cette transformation, l’électrique et le magnétique s’échangent
f⃗e ↔ f⃗m
3.2
à voir
Le lagrangien avec des monopoles...



