Feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Feuille d’exercices no6
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
Soit G un groupe. Démontrer que les ensembles suivantes sont des sous-groupes de G :
1. C(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx} - usuellement, C(G) est appelé le centre de G ;
2. aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H} où a ∈ G et H est un sous-groupe de G.
3. On suppose que G est commutatif. Un élément x ∈ G est dit de torsion s’il existe n ∈ N
tel que xn = e. Démontrer que l’ensemble des éléments de torsion de G est un sous-groupe
de G.
Exercice 2.
Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Démontrer que H ∪ K est un sous-groupe
de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 3.
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le
domaine de validité a volontairement été omis) :
Exemple : ln(xy) = ln(x) + ln(y) ⇝ ln est un morphisme de groupes de (R∗+ , ×) dans (R, +).
1. |zz ′ | = |z||z ′ | ;
2. ei(x+y) = eix eiy ;
√ √
√
3. xy = x y ;
4. det(M M ′ ) = det(M ) det(M ′ ).
Pour chacun des exemples précédents, déterminer le noyau et l’image du morphisme correspondant. Lesquels de ces morphismes sont des isomorphismes ?
Exercice 4.
Montrer que f : x 7→ x1 est un morphisme de (R∗ , ×) dans lui-même et déterminer son noyau et
son image. De même pour f : x 7→ x12 .
Exercice 5.
1. Soit n, m ∈ Z. Montrer que m|n (m divise n) si, et seulement si nZ ⊂ mZ.
2. a) Décrire les ensembles 3Z ∩ 4Z, 6Z ∩ 9Z, 4Z ∩ 8Z ;
b) Plus généralement, caractériser le sous-groupe nZ ∩ mZ pour n, m ∈ N.
1
3. Soit n, m ∈ Z.
a) Montrer que
nZ + mZ = {mu + nv | u, v ∈ Z}
est un sous-groupe de Z ;
b) Caractériser ce sous-groupe.
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 6.
gImportant: :Caractérisation
Important
Caractérisationdes
dessous-groupes
sous-groupesengendrés
engendrés
Soit G un groupe et A ⊂ G. On note
{
}
E(A) = a1 ...an | n ∈ N∗ , a1 , ..., an ∈ A ∪ A−1 .
1. a) Montrer que A ⊂ E(A).
b) Montrer que E(A) est un sous-groupe de G.
c) En déduire que ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x ∈ E(A). Montrer que pour tout sous-groupe H de G contenant A, x ∈ H.
b) En déduire que E(A) ⊂ ⟨A⟩.
3. Conclure.
Exercice 7.
On note GLn (Z) l’ensemble des matrices de Mn (R), à coefficients dans Z, qui sont inversibles
et dont l’inverse est à coefficients dans Z.
1. Démontrer que si M est à coefficients dans Z, alors M ∈ GLn (Z) si et seulement si
det(M ) = ±1.
2. En déduire que GLn (Z) est un sous-groupe de GLn (R).
Exercice 8.
Déterminer tous les morphismes de (Z, +) dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? surjectifs ?
Exercice 9.
Démontrer que les groupes multiplicatifs (R∗ , ·) et (C∗ , ·) ne sont pas isomorphes.
Exercice 10.
Soit G un groupe cyclique engendré par un élément x d’ordre n, H un groupe et y ∈ H.
1. Montrer que :
2
il existe φ : G → H tel que φ(x) = y si, et seulement si, y est d’ordre fini divisant n.
2. Soit n ∈ N. En déduire tous les morphismes de groupes entre :
a) Z/nZ → Z ;
b) Z/nZ → Z/pZ (avec p ∈ N) ;
c) Z/nZ → C∗ .
3. Exercices d’approfondissement
Exercice 11.
Soit H un sous-groupe strict d’un groupe (G, ·). Déterminer le sous-groupe engendré par le
complémentaire de H.
Exercice 12.
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G.
1. Montrer que pour tout a ∈ G, H et aH = {ah; h ∈ H} ont le même nombre d’éléments.
2. Soient a, b ∈ G. Démontrer que aH = bH ou aH ∩ bH = ∅.
3. En déduire que le cardinal de H divise le cardinal de G.
Exercice 13.
On note V l’ensemble des matrices du type

a
d

c
b
b c
a b
d a
c d

d
c

b
a
avec a, b, c, d ∈ Z et G l’ensemble des matrices M ∈ V inversibles dans M4 (R) et dont l’inverse
est dans V .
1. Montrer que G est un sous-groupe de GL4 (R).
2. Soit M ∈ V . Montrer que M ∈ G si, et seulement si, det M = ±1.
3. Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit.
3