Asie 2016. Enseignement spécifique

Asie 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les candidats)
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié,
la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La société met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on
remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A : premier modèle - avec une suite
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un ) définie de la façon suivante :
u0 = 1 000 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1, 2un − 100.
1) a) Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
On précisera en particulier ce que représente un .
b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg.
À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
c) On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.
Recopier et compléter cet algorithme.
Variables
Traitement
Sortie
u et n sont des nombres
u prend la valeur 1 000
n prend la valeur 0
Tant que ................ faire
u prend la valeur ..........
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher ..........
2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ! 1 000.
b) Démontrer que la suite (un ) est croissante.
3) On définit la suite (vn ) par : pour tout entier naturel n, vn = un − 500.
a) Démontrer que la suite (vn ) est une suite géométrique.
b) Exprimer vn , puis un , en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
Partie B : second modèle - avec une fonction
On constate qu’en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50 kg. Cela conduit à étudier un
second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f (t) =
50
1 + 49e−0,2t
où t représente le temps exprimé en jours et où f (t) représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps t.
1) a) Calculer f (0).
b) Démontrer que, pour tout réel t ! 0, f (t) < 50.
c) Étudier le sens de variation de la fonction f .
d) Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2) Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
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3) En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg.
Résoudre l’inéquation d’inconnue t : f (t) > 30.
En déduire la réponse au problème.
Partie C : un contrôle de qualité
Les bactéries peuvent être de deux types : le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l’industrie, et le
type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d’un point de vue commercial.
L’entreprise affirme que 80 % des bactéries produites sont de type A.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production.
L’analyse montre que 146 d’entre elles sont de type A.
L’affirmation de l’entreprise doit-elle être remise en cause ?
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EXERCICE 3 : corrigé
Partie A : Premier modèle - avec une suite
1) a) Pour tout entier naturel n, notons un la masse, exprimée en grammes, de bactéries dans la cuve le n-ème jour.
Puisqu’initialement, la cuve contient 1 kg ou encore 1000 g de bactéries, on a effectivement u0 = 1 000.
Soit n ! 0. La masse de bactéries l’année n + 1 est obtenue en rajoutant à la masse de bactéries l’année n, c’est-à-dire
un , 0,2 fois cette masse puis en soustrayant 100 g. Donc
un+1 = un + 0, 2un − 100 = 1, 2un − 100.
b) 30 kg sont encore 30 000 g. La calculatrice fournit les valeurs suivantes :
n
un
0
1 000
1
1 100
2
1 220
3
1 364
4
1 536, 8
5
1 744, 2 . . .
6
1 993, 0 . . .
7
2 291, 6 . . .
8
2 649, 9 . . .
9
3 079, 9 . . .
10
3 595, 9 . . .
11
4 215, 0 . . .
12
4 958, 1 . . .
13
5 849, 7 . . .
14
6 919, 6 . . .
15
8 203, 5 . . .
16
9 744, 2 . . .
17
11 593, . . .
18
13 812, . . .
19
16 474, . . .
20
19 669, . . .
21
23 503, . . .
22
28 103, . . .
23
33 624, . . .
Le jour no 23 ou encore au bout de 23 jours, la masse de bactéries dépasse 30 kg.
c) Algorithme complété.
Variables
u et n sont des nombres
Traitement
u prend la valeur 1000
n prend la valeur 0
Tant que u < 30 000 faire
u prend la valeur 1, 2u − 100
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
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2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un ! 1000.
• u0 = 1000 et en particulier u0 ! 1000. L’inégalité est vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un ! 1000. Alors 1, 2un − 100 ! 1, 2 × 1000 − 100 ou encore un+1 ! 1100 et en
particulier, un+1 ! 1000.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un ! 1000.
b) Soit n un entier naturel.
un+1 − un = 1, 2un − 100 − un = 0, 2un − 100.
Puisque un ! 1000, on en déduit que un+1 − un ! 0, 22 × 1000 − 100 ou encore un+1 − un ! 1900 et en particulier
un+1 − un ! 0.
On a montré que pour tout entier naturel n, un " un+1 et donc la suite (un )n∈N est croissante.
3) a) Soit n un entier naturel.
vn+1 = un+1 − 500 = 1, 2un − 100 − 500 = 1, 2un − 600 = 1, 2 (un − 500) = 1, 2vn .
Donc, la suite (vn )n∈N est une suite géométrique de raison q = 1, 2.
b) La suite (vn )n∈N est une suite géométrique de raison q = 1, 2 et de premier terme v0 = u0 − 500 = 1000 − 500 = 500.
On en déduit que pour tout entier naturel n,
vn = v0 × q n = 500 × 1, 2n ,
puis que
un = vn + 500 = 500 × 1, 2n + 500.
Pour tout entier naturel n, un = 500 × 1, 2n + 500.
c) Puisque 1, 2 > 1, on sait que lim 1, 2n = +∞ et on en déduit que
n→+∞
lim un = +∞.
n→+∞
Partie B : second modèle - avec une fonction
1) a) f (0) =
50
50
=
= 1.
1 + 49e0
1 + 49
b) Soit t un réel positif. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur R, 1 + 49e−0,2t > 1 puis
1
1
50
< 1 puis 50 ×
< 50 × 1 et donc
< 50.
1 + 49e−0,2t
1 + 49e−0,2t
1 + 49e−0,2t
On a montré que pour tout réel t ! 0, f (t) < 50.
c) La fonction f est dérivable sur [0, +∞[ en tant qu’inverse d’une fonction dérivable sur [0, +∞[ et ne s’annulant pas
sur [0, +∞[. De plus, pour t ! 0,
!
"
!
"′
− 1 + 49e−0,2t
−49 × −0, 2e−0,2t
490e−0,2t
′
f (t) = 50 ×
=
50
×
=
2
2
2.
(1 + 49e−0,2t )
(1 + 49e−0,2t )
(1 + 49e−0,2t )
La fonction f ′ est strictement positive sur R et donc la fonction f est strictement croissante sur R.
d) lim e−0,2t =
t→+∞
lim eX = 0. Donc, lim f (t) =
X→−∞
t→+∞
50
= 50.
1 + 49 × 0
2) La masse de bactéries est initialement de 1kg. Cette masse croît avec le temps, reste strictement inférieure à 50 kg
et vaut environ 50 kg au bout d’une longue durée.
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3) Soit t ! 0.
50
> 30
1 + 49e−0,2t
1 + 49e−0,2t
1
1
⇔
<
(par stricte décroissance de la fonction x %→ sur ]0, +∞[)
50
30
x
5
2
2
⇔ 1 + 49e−0,2t < ⇔ 49e−0,2t < ⇔ e−0,2t <
3
3
147
#
$
2
⇔ −0, 2t < ln
(par stricte croissance de la fonction x %→ ln(x) sur ]0, +∞[)
147
$
#
$
#
147
2
1
⇔ t > 5 ln
ln
⇔t>−
0, 2
147
2
f (t) > 30 ⇔
⇔ t > 21, 4 . . . .
La masse de bactéries dépassera 30 kg au bout de 22 jours.
Partie C : un contrôle de qualité
Ici, n = 200 et on suppose que p = 0, 8. On note que n ! 30, np = 160 et n(1 − p) = 40 et donc np ! 5 et n(1 − p) ! 5.
Un intervalle de fluctuation au seuil 95% est
' (
&
&
)
√
√
p(1 − p)
p(1 − p)
0, 8 × 0, 2
0, 8 × 0, 2
√
√
p − 1, 96
= 0, 8 − 1, 96 √
; 0, 8 + 1, 96 √
, p + 1, 96
n
n
200
200
%
= [0, 744; 0, 856]
146
en arrondissant de manière à élargir un peu l’intervalle. La fréquence observée est f =
= 0, 73. f n’appartient pas
200
à l’intervalle de fluctuation et donc l’affirmation de l’entreprise doit être remise en cause au risque de se tromper de
5%.
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