30/03/2017 DS : Suites 1S

30/03/2017
DS : Suites
Calculatrice autorisée
NOM : . . . . . . . . .
1S
Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 points
1. Soit la suite (Vn ) définie par
2. Soit
an =
3n − 5
2
3. Soit
xn =
72n+1
5
V1 = 2, V2 = 4
pour tout n ∈ N.
pour tout n ∈ N.
et
Vn+2 =
Vn+1 + 2Vn
.
3n
Calculer V3 .
Démontrer que (an ) est arithmétique.
Démontrer que (xn ) est géométrique.
Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,5 points
Soit (Un ) la suite définie par
U0 = 1
et pour tout nombre entier naturel n,
Un+1 =
1
Un + 3
2
1. Calculer U1 et U2 , puis démontrer que la suite (Un ) n’est pas arithmétique et n’est pas géométrique.
2. Soit (Vn ) la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par Vn = Un − 6.
Démontrer que la suite (Vn ) est géométrique.
Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 points
Etudier les variations des suites (An ), (Bn ) et (Un ) définies ci-dessous pour n > 0 :
n
1
2n
An =
−5
Bn = n+4
Un = 2n2 − 11n + 24
3
7
Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,5 points
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la
masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel
suivant :
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries.
Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve.
Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus. L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un ) définie de la façon suivante :
u0 = 1 000
et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1, 2un − 100.
1. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé.
u et n sont des nombres
u prend la valeur 1 000
On précisera en particulier ce que représente un .
2. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de
n prend la valeur 0
Tant que ................ faire
bactéries dépassera 30 kg.
u prend la valeur ..........
À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
n prend la valeur ..........
3. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Compléter cet algorithme.
Fin Tant que
Afficher ..........
Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 points
Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation
un+1 = aun + b
(a et b réels non nuls tels que a 6= 1 )
On pose, pour tout entier naturel n,
Vn = un −
b
.
1−a
Démontrer que, la suite (Vn ) est géométrique.