le calcul fonctionnel dans l`espace de besov critique

PROCEEDINGSof the
AMERICAN MATHEMATICALSOCIETY
Volume 116, Number 4, December 1992
LE CALCUL FONCTIONNEL
DANS L'ESPACE DE BESOV CRITIQUE
G. BOURDAUD
(Communicated
by Palle E. T. Jorgensen)
Résumé. Si F une fonction de la variable complexe qui opère, par composition
à gauche, sur l'espace de Besov B5p'q(R") ou sur l'espace de Triebel-Lizorkin
F/,?(R"), où 0 < s < 1 , 5 = n/p , 1 < q < +oo (q > 1 , dans le cas de
l'espace de Besov), alors F est globalement lipschitzienne. Ce résultat achève
la description du calcul fonctionnel dans ¿^''(R")
et dans Fp,q(R"), pour
0<s<
1.
Abstract.
Let F be a complex variable function which acts, via left composition, on the Besov space ßp?(R")
or the Triebel-Lizorkin space /"/''(R"),
where 0 < 5 < 1 , í = n/p , 1 < q < +oo (q > 1 , in the Besov case); then F
is globally lipschitz. This theorem—added to previous results on the noncritical case—provides a complete characterization of the functional calculus on
BSP'"(W) and Fsp-q(R"), for 0 < 5 < 1 .
Dans un travail récent, en collaboration avec Dalila Kateb [BK.2], nous avons
décrit le calcul fonctionnel dans les espaces de Besov Bsp'q(W) et de TriebelLizorkin Fp'q(W), pour 0 < 5 < 1 et s ^ n/p. Nous présentons ici l'extension
de ces résultats au cas critique s = n/p.
Théorème 1. Soient n < p < +00 et 1 < q < +00. Pour une fonction F de C,
dans C, les propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) F opère, par composition à gauche, sur Bp'p'q(Rn) ;
(ii) il existe un r £ ]1, q] tel que, pour tout f £ Bp/p'r(R"),
on ait F of £
b;^/p'°°(W),
(iii) F est globalement lipschitzienne et F(0) = 0.
Théorème 2. Soient n < p < +oc et 1 < q < +oc. Pour une fonction
dans C, les propriétés suivantes sont équivalentes:
F de C
(i) F opère, par composition à gauche, sur Fp'q(W)
;
(ii) pourtout f£Fp"lp'\W),
ona Fof £ B^P-°°(R") ;
(iii) F est globalement lipschitzienne et F(0) = 0.
Received by the editors February 22, 1991.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 46E35, 47H30, Secondary 67HGG.
©1992 American Mathematical Society
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G. BOURDAUD
Notons que les implications
(i) => (ii) résultent aussitôt des plongements
Bnp'p'r(Rn) c Bnp,p'q(Rn) c Bnp/p'°°(Rn)
Fp"/p'\r")
(r<q),
c Fpn/p'q(R") c B^p'co(Rn)
(voir, par exemple, [T]); quant aux implications (iii) => (i), ce sont des conséquences immédiates des caractérisations des espaces de Besov et de TriebelLizorkin à l'aide de divers "modules de continuité" [T].
Lemme. Il existe une suite (dv)v>\ de fonctions C°° sur R" , portées par le cube
unité Q = [-1/2, +1/2]" , telles que:
(i) 0j,(x) = 1 sur le cube 2~VQ;
(ii) pour
vers
(iii) pour
vers
tout p £ [1,
0 en norme
tout p £ ]1,
0 en norme
+oo[ et tout q £ ]l, +co], la suite (0„)¡,>i converge
Bplp'q(Rn);
+co[ et tout q £ [1, +oo], la suite (0„)„>i converge
Fp/p'q(R").
Preuve du lemme. Nous utiliserons la décomposition atomique des espaces de
Besov et de Triebel-Lizorkin, telle qu'elle est développée par Frazier et Jawerth.
Donnons-nous une fonction tp £ D(R") telle que <p(x) = 1 sur Q et <p(x) —
0 hors de 2Q et posons
ev(x) = v-' Y, f&*y>
on a aussitôt 0„(x) = 0 hors de Q et 6„(x) - 1 sur 2~"Q.
Pour estimer les normes des 0„ , on observe que, pour une certaine constante e = e(tp, n,p, q) > 0, les fonctions x —>etp(2Jx) sont des atomes,
normalisés dans BplP'q(R") et dans Fp/p'q(R"), portés respectivement par les
cubes dyadiques 2~J+XQ; on applique alors le Théorème 3.1 de [FJ1] et le
Théorème 5.3 de [FJ2]; on obtient
\\0„\\R»/p-«<C(n,p,q,e)vWqï-x;
de même
1101/Il
r-»/*.!<C(n,p,
1 p
E 2iH,pxj
e)i/_1
l£j<"
lip
où Xj désigne la fonction caractéristique du cube 2~JQ. Pour estimer la norme
LP qui apparaît au second membre, on pose
Sm = 2-mQ\2-m-xQ
(m = 1, ... ,v-l),
Su = 2~"Q;
la fonction
tient
2^\<j<v2jnlpXj
valant constamment
J2x<j<m^"^P
sur ^m , on ob-
||0,/||f;/,..<CV-' ( J2 \sm\2m") <&pWri-} (CQFD).
Venons-en à la preuve des Théorèmes 1 et 2. Soit F une fonction telle que,
£ Fpn/p'1), on ait Fof £ Bp/p'°° ; on sait [BK1]
pour tout f £ Bp/P'r(resp.f
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qu'il existe alors des constantes ô > 0 et M > 0 telles que, pour toute fonction
/ portée par Q, l'inégalité ||/|| < ô entraîne ||Fo/||
„/„,«, < M (ici et dans
la suite || - || désigne la norme dans Bnp'p'r ou dans Fpn'p'1).
Il s'agit de trouver des constantes K > 0 et ct > 0 telles que
\F(b)-F(a)\<K\b-a\,
pour tous nombres complexes a et b tels que 0 < \a - b\ < o ; pour cela, on
introduit la fonction
f(x) = (b-a)
Y
<P(3((x/X)-k)) + a0u(x)
\kj\<N
(la somme £\fc ,<JV... est étendue aux k £ Z" tels que \kj\ < N, pour tout
j £ {l, ... , n}; le nombre X £ ]0, 1] et les entiers positifs N et v seront
fixés dans un instant). Le lemme nous autorise à choisir v tel que
M110,11
< S/2.
On a par ailleurs (voir le Lemme 1 de [BK2])
Y f(3((-/X)-k)) < AN"lp,
\k,\<N
où la constante A dépend de n, r, p, et tp ; on est donc conduit à choisir
l'entier N > 1 tel que
-i
ô(3A\b - a\)~x < Nn/P < ô(2A\b - a\
encadrement réalisable si ô/\b - a\ est assez grand, autrement dit dès que
\b-a\ < o(n, r,p, tp, ô).
Enfin, il convient que les cubes X(Q + k) soient tous inclus dans le cube
2~"Q; pour cela, il suffit de choisir X de telle façon que XN soit petit devant
2"" .
Ainsi la fonction / est portée par le cube unité et l'on a ||/]| < S.
Désignons par Q+ le cube [0, 1/2]" et posons h = (1/3, 0,... , 0) ; pour
tout xe(l/3)Q+,
ona x+h £ Q alors que x+/z n'appartient pas à l'intérieur
de (2/3)Q ; cela entraine
F(f(x + Xh))- F(f(x)) = F (a) - F(b)
sur le cube X((1/3)Q+ + k) ; on a donc
Mp>{\\Fof\\
up
„.„y
>3"X~"Y I
\F(f(x+ Xh))-F(f(x))\pdx
\kA<NJH(mQ++k)
> 3"X-n(2N+ l)n\F(b) - F(a)\p vol{X((l/3)Q+ + k)}
> CN"\F(b)-F(a)\p,
avec C —C(n) > 0; d'où enfin
\F(b)-F(a)\
<MC-x'pN-nlp
< 3AMC-Xlpô~x\b - a\ (CQFD).
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g. bourdaud
Bibliographie
[BKl]
G. Bourdaud et D. Kateb, Fonctions qui opèrent sur certains espaces de Besov, Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 40 (1990), 153-162.
[BK2] _,
Fonctions qui opèrent sur les espaces de Besov, Proc. Amer. Math. Soc. 112 (1991),
1067-1076.
[FJ1]
M. Frazier et B. Jawerth, Decomposition of Besov spaces, Indiana Univ. Math. J. 84 (1985),
[FJ2]
_,
777-799.
A discrete transform and applications to distribution spaces, J. Funct. Anal. 93 (1990),
34-170.
[T]
H. Triebel, Theory of function spaces, Birkhauser, Basel, Boston, and Stuttgart, 1983.
Université Paris VII, C.N.R.S. U. A. 212, Tour 45-55-5 ° étage, 2, place Jussieu, 75251
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