Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale
Probabilités et statistiques
I. Un guide pour l'année
II. La loi uniforme : une introduction
III. La loi exponentielle
IV. De la loi binomiale à la loi normale
V. Échantillonnage
Ressources en ligne
Nouveaux programmes de terminale – Probabilités et statistiques
Octobre 2012
I. Un guide pour l'année
Ω est l'univers d'une expérience aléatoire, muni d'une probabilité p.
X est une variable aléatoire sur Ω, à valeurs dans un intervalle I.
f est la fonction de densité associée :
- f est continue et positive sur I ;
- son intégrale sur I vaut 1.
Alors :
p({X ∈J })
est l'aire de
{M (x ; y) ; x ∈J et 0≤ y≤ f ( x)}
Problème : comment introduire la fonction de densité ?
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II. La loi uniforme : une introduction
a) de la simulation à la fonction de densité
Un nombre est tiré au hasard dans un intervalle [a;b].
Pour [c;d] inclus dans [a;b], comment mesurer p( X ∈[c ; d ])?
Simulation : n tirages au hasard dans [0;10], avec histogramme des fréquences.
L'aire cumulée des rectangles entre c et d donne la fréquence de l'événement X ∈[c ; d ]
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II. La loi uniforme : une introduction
a) de la simulation à la fonction de densité
On augmente n et le nombre de classes
L'aire à calculer s'approche de celle d'un rectangle
La surface à considérer est délimitée par :
- les droites d'équations x=c et x=d
- l'axe des abscisses
- une courbe d'équation y=f(x) : f est la fonction de densité de la variable aléatoire.
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II. La loi uniforme : une introduction
b) Bilan
La loi uniforme sur [a;b] admet pour fonction de densité :
f (x )=
1
b−a
Pour [c;d] inclus dans [a;b] :
d
p( X ∈[c ; d ])=∫c
d−c
f ( x)dx=
b−a
L'espérance de la loi uniforme sur [a;b] :
∫a x f ( x)dx= a+b
2
b
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Commentaires
Pas de prérequis :
les considérations
d'aires suffisent
Introduction de
l'intégrale possible
Approche possible par
analogie avec une
variable aléatoire discrète
Prérequis (suivant
l'approche) : suites
arithmétiques ou
intégration
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III. La loi exponentielle (séries S, STI2D, STL)
a) Une simulation
Un atome radioactif a pour probabilité de désintégration a dans une unité de temps.
On considère n atomes indépendants à l'instant 0.
Une simulation mène à l'histogramme
des fréquences de désintégration par
unité de temps.
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III. La loi exponentielle
b) Avec la fonction de densité
X suit une loi exponentielle de
paramètre λ si sa densité est :
−λ x
f (x)= λ e
, x∈[0 ;+∞[
Alors :
d
p( X ∈[c ; d ])=∫c f (x)dx=e−λ c−e−λ d
Propriété de durée de vie sans vieillissement :
p X ≥t ( X≥t +h)= p( X ≥h)
Prérequis : fonction exponentielle, intégration, comportement asymptotique
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III. La loi exponentielle
c) Espérance
x
−λ t
E ( X )=lim x →+∞ ∫0 t λ e
dt =
1
λ
La primitive :
- est à donner directement
- ou à rechercher sous la forme (at+b)e−λ t
- ou à trouver en passant par le principe de l'intégration par parties
(hors programme)
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
a) Centrer et réduire la loi binomiale
Variable aléatoire :
Espérance : 0
Écart-type : 1
Z n=
X n −np
√ np(1− p)
E (Z n )=0
σ (Z n)=1
X −µ
σ
Variable aléatoire: X
Espérance : µ
Écart-type : σ
Avantage
espérance et écart-type de Z
ne dépendent plus de X.
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Cas de la loi binomiale
X n suit B(n ; p)
E( X n )=n p
σ ( X n )= √ np(1− p)
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
b) Le théorème de Moivre-Laplace
Z n=
X n −np
X n suit B (n ; p)
n entier non nul
p∈]0 ;1[
√ np(1− p)
Pour tout x réel, soit : f ( x )=
Théorème
Pour tous réels a et b (a < b) :
lim n →+∞ p( Z n ∈[a ; b])=
1
e
∫
a
√2 π
b
−x 2
2
dx
1
e
√2 π
−x 2
2
La variable aléatoire sur ℝ admettant f pour
fonction de densité est la loi normale centrée
réduite N(0;1).
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
c) Les lois normales
Définition
2
Une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ ; σ ) d'espérance µ et d'écart-type σ
lorsque
X −µ suit la loi normale centrée réduite N(0;1).
σ
Remarque
2
La fonction de densité associée à N (µ ; σ ) n'est pas un objectif du programme.
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
d) Lois normales et probabilités
1
f ( x )=
e
2
π
√
−x 2
2
Z suit N(0;1)
f est paire donc : p(Z ∈[−t ;t ]) = 2 p (Z ∈[ 0 ; t ])
Espérance et écart-type
0
t
E (Z ) = limt →−∞ ∫t x f ( x)dx + lim t →+∞ ∫0 x f ( x)dx
E (Z ) = 0
σ ( Z ) = 1 (admis)
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
d) Lois normales et probabilités
Théorème (démonstration exigible en TS)
Z suit la loi normale N(0;1).
Soit α ∈]0 ; 1[ .
Il existe un unique réel positif uα tel que :
p(Z ∈[−u α ; u α ])=1−α
Démonstration
1
f ( x )=
e
√2 π
−x 2
2
∫0
Soit F définie sur [0 ;+∞[ par : F ( x)=
F est dérivable, donc continue
x
f (t) dt
Il existe un unique uα>0 tel que :
F (u α )=
f > 0 donc F est strictement croissante
1− α
2
F prend ses valeurs dans [0;1/2]
0 < α < 1 donc 0<
1− α 1
<
2
2
p(Z ∈[−u α ; u α ])=2 F (u α )=1−α
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IV. De la loi binomiale à la loi normale
e) Valeurs à connaître
Z suit N(0;1)
p(Z ∈[−1 ;1 ]) ≈ 0,68
X −µ
Z= σ
2
X suit N (µ ; σ )
p( X ∈[ µ−σ ; µ+ σ ]) ≈ 0,68
p( Z ∈[−1,96 ;1,96 ]) ≈ 0,95
p( X ∈[ µ−2 σ ; µ+2 σ ]) ≈ 0,95
p(Z ∈[−2,58 ; 2,58]) ≈ 0,99
p( X ∈[ µ−3 σ ; µ+3 σ ]) ≈ 0,99
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V. Fluctuation et prise de décision
a) La statistique inférentielle
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V. Fluctuation et prise de décision
b) Intervalle de fluctuation asymptotique
Soit Xn la variable aléatoire
suivant la loi binomiale B(n,p) :
E
1-p
p
Soit : Z n =
S
X n −np
√ np(1− p)
Soit α entre 0 et 1.
Il existe un unique uα>0 tel que :
Par le théorème de Moivre-Laplace :
lim n →+∞
u
1
p (−u α ⩽Z n ⩽u α )=
e
∫
−u
√2 π
α
−x
2
2
dx
α
Comment revenir alors à la loi binomiale ?
p(Z ∈[−u α ; u α ])=1−α
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V. Fluctuation et prise de décision
b) Intervalle de fluctuation asymptotique
−uα ⩽ Z n ⩽ uα
Z n=
X n −np
√ np(1− p)
−u α √ np (1− p) ⩽ X n −np ⩽ u α √ np(1− p)
p−u α
[ √
I n= p−u α
√
p (1− p)
p(1− p)
; p+u α
n
n
Avec α = 0,05 et uα =1,96 :
[
]
I n= p−1,96
√
lim n →+∞
√
√
Xn
p(1− p)
p(1− p)
⩽
⩽ p+u α
n
n
n
Xn
p
∈ I n = 1−α
n
(
)
p(1− p)
; p+1,96
n
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√
p(1− p)
n
]
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V. Fluctuation et prise de décision
c) Intervalle de fluctuation asymptotique : utilisation pratique
Avec α = 0,05 et uα =1,96
n=100
n⩾30 , np⩾5 , n(1− p)⩾5
Dans un échantillon de taille n,
la fréquence des nombres de réussites de
la loi binomiale appartient avec une
probabilité 0,95 à l'intervalle :
[
√
p(1− p)
I n= p−1,96
; p+1,96
n
√
p(1− p)
n
I 100≈ [ 0,3 ; 0,5 ]
]
p=0,4
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V. Fluctuation et prise de décision
d) Un exemple de prise de décision
Une machine fabrique des condensateurs.
Probabilité qu'un condensateur soit défectueux : p=0,07.
Sur un lot de 400 condensateurs, 41 sont défectueux.
Cela est-il dû au seul hasard ?
Traitement en seconde : n=400⩾25 mais p n'est pas dans [0,2;0,8].
Traitement en terminale : n⩾30, np=28⩾5, n(1− p)=372⩾5
p−1,96
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :
p+1,96
Fréquence des condensateurs défectueux dans l'échantillon : f =
√
√
p (1− p)
≈ 0,045
n
p (1− p)
≈ 0,095
n
41
≈0,103
400
Conclusion : 0,103 n'est pas dans [0,045;0,095].
L'échantillon observé n'est donc pas « normal »,
au seuil 0,95.
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V. Fluctuation et prise de décision
e) Fluctuation et confiance
Intervalle de fluctuation
p connue
Intervalle de confiance
p inconnue
Seconde
Seuil de 95%
n⩾25
0,2⩽ p⩽0,8
1
1
p− ; p+
√n
√n
Première
Avec la loi binomiale
-
Asymptotique au seuil de 1−α
Au niveau de confiance 95%
[
Sensibilisation
]
n⩾30 np⩾5 n(1− p)⩾5
Terminale
[ √
I n = p−u α
√
p (1− p)
p(1− p)
; p+u α
n
n
[
]
[
Remarque : pour α=0,05, In est inclus dans : p−
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f−
1
1
;f+
√n
√n
1
1
; p+
√n
√n
]
]
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V. Fluctuation et prise de décision
f) Intervalle de confiance, estimation et niveau de confiance
Contexte : on cherche la probabilité p d'occurrence d'un certain caractère dans une population.
Pour un échantillon de taille n, la fréquence d'apparition f de ce caractère est connue.
[
]
1
1 contient p
;f+
√n
√n
avec un niveau de confiance de 95%.
Alors
f−
Conditions d'application :
n⩾30 , np⩾5 , n(1− p)⩾5
Exemple
p=0,5
20 échantillons de taille 100
Une simulation sur 20 ne comprend pas
p dans son intervalle de confiance :
la probabilité porte sur f, pas sur p.
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Ressources en ligne
1. Documents ressources sur Eduscol : lycée et collège
2. Documents ressources math-physique au lycée professionnel sur Eduscol
3. Les documents de la formation sur le Site académique de mathématiques
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