Activité 2 : étude de de certaines divisibilité de a²-1 Objectifs : 1 Définir la parité d'un entier Aborder plusieurs méthodes de démonstration d'équivalences Définition : Un nombre n ∈ℤ est pair lorsqu'il existe p ∈ℤ tel que n=2 p Un nombre n ∈ℤ est impair lorsqu'il existe p ∈ℤ tel que n=2 p +1 Exemple : 8 est pair car 8=2×4 et 4∈ℤ . -13 est impair car −13=2×(−7 )+1 et −7∈ℤ Vocabulaire : étudier la parité d'un nombre c'est déterminer s'il est pair ou impaire. Travail préparatoire aux activités Soient a et b deux nombres non nuls dont on connaît la parité. Quelle est celle de ab ? 1. Emettre une conjecture (lister les différents cas) 2. Démontrer cette conjecture Activité 1 Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 2 ? 1. Emettre une conjecture 2. Démontrer la conjecture Activité 2 Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 4 ? 1. Emettre une conjecture 2. Démontrer la conjecture Activité 3 Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 8 ? 1. Emettre une conjecture 2. Démontrer la conjecture 1 Notes Travail préparatoire La classe formalise pas à pas une propriété : rédaction complète et démonstration. Il est possible de constituer un tableau double entrée. Formalisation dense : Soient a et b deux entiers non nuls, ab est impair si et seulement si a et b sont impairs. Discussion sur l'équivalence, sa terminologie et ses notations. équivaut à, si et seulement si, ⇔ comme fusion de ⇒ et ⇐ Activité 1 Recherche : utiliser la calculatrice (mode table ou suite) et un tableur. Conjecture : les impairs, c'est à dire a 2 −1 pair ⇔ a est impair Démonstrations : trois possibilités pour démontrer une équivalence 1. Raisonnement : disjonction de cas • Si a est impair, a 2 aussi, et donc a 2 −1 est pair, donc 2 divise a 2 −1 . • Si a est pair, a 2 aussi, et donc a 2 −1 est impair, donc 2 ne divise pas a 2 −1 . 2. Raisonnement : ⇒ puis ⇐ En français : ⇒ Soit a tel que a 2 −1 . On a alors a 2 impair et donc a aussi. ⇐ Soit a impair. a 2 est aussi impair, et donc a 2 −1 est pair. En symbolique : a 2 −1 pair ⇒ a 2 est impair ⇒ a est impair a est impair ⇒ a 2 est impair ⇒ a 2 −1 est pair 3. Raisonnement : équivalence (directement) En français : a est impair si et seulement si a 2 aussi, ce qui équivaut à a 2 −1 est pair. En symbolique : a est impair ⇔ a 2 aussi ⇔ a 2 −1 est pair 2 Activité 2 Même conjecture Démonstration possible : par disjonction de cas. Pour tout a, on a : a 2 −1=( a−1 )( a+1 ) • Si a est impair, alors a−1 et a+1 sont pairs. Donc il existe p et q dans ℤ tels que (a −1 )(a +1 )=2 p 2q =4 p q . 4 divise bien a 2 −1 . • Si a est pair, 2 ne divise pas a 2 −1 , donc 4 non plus. Activité 3 Même conjecture Démonstration possible : disjonction de cas. • Si a est impair, alors a=2 k +1 , et donc a 2 −1=…=4 k 2+4 k =4 k ( k +1 ) • k ou k +1 est pair, donc 2 divise k (k +1 ) . On peut écrire a 2 −1=4×2q =8q , ce qui prouve le résultat. • Si a est pair, 2 ne divise pas a 2 −1 , donc 4 non plus et encore moins 8. 3