Activité 2 : étude de de certaines divisibilité de a²

Activité 2 : étude de de certaines divisibilité de a²-1
Objectifs :
1
Définir la parité d'un entier
Aborder plusieurs méthodes de démonstration d'équivalences
Définition :
Un nombre n ∈ℤ est pair lorsqu'il existe p ∈ℤ tel que n=2 p
Un nombre n ∈ℤ est impair lorsqu'il existe p ∈ℤ tel que n=2 p +1
Exemple : 8 est pair car 8=2×4 et 4∈ℤ . -13 est impair car −13=2×(−7 )+1 et −7∈ℤ
Vocabulaire : étudier la parité d'un nombre c'est déterminer s'il est pair ou impaire.
Travail préparatoire aux activités
Soient a et b deux nombres non nuls dont on connaît la parité. Quelle est celle de ab ?
1. Emettre une conjecture (lister les différents cas)
2. Démontrer cette conjecture
Activité 1
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 2 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
Activité 2
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 4 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
Activité 3
Pour quels entiers relatifs non nuls a le nombre a 2 −1 est-il divisible par 8 ?
1. Emettre une conjecture
2. Démontrer la conjecture
1
Notes
Travail préparatoire
La classe formalise pas à pas une propriété : rédaction complète et démonstration.
Il est possible de constituer un tableau double entrée.
Formalisation dense :
Soient a et b deux entiers non nuls,
ab est impair si et seulement si a et b sont impairs.
Discussion sur l'équivalence, sa terminologie et ses notations.
équivaut à, si et seulement si, ⇔ comme fusion de ⇒ et ⇐
Activité 1
Recherche : utiliser la calculatrice (mode table ou suite) et un tableur.
Conjecture : les impairs, c'est à dire a 2 −1 pair ⇔ a est impair
Démonstrations : trois possibilités pour démontrer une équivalence
1. Raisonnement : disjonction de cas
•
Si a est impair, a 2 aussi, et donc a 2 −1 est pair, donc 2 divise a 2 −1 .
•
Si a est pair, a 2 aussi, et donc a 2 −1 est impair, donc 2 ne divise pas a 2 −1 .
2. Raisonnement : ⇒ puis ⇐
En français :
⇒
Soit a tel que a 2 −1 . On a alors a 2 impair et donc a aussi.
⇐
Soit a impair. a 2 est aussi impair, et donc a 2 −1 est pair.
En symbolique :
a 2 −1 pair ⇒ a 2 est impair ⇒ a est impair
a est impair ⇒ a 2 est impair ⇒ a 2 −1 est pair
3. Raisonnement : équivalence (directement)
En français :
a est impair si et seulement si a 2 aussi, ce qui équivaut à a 2 −1 est pair.
En symbolique :
a est impair ⇔ a 2 aussi ⇔ a 2 −1 est pair
2
Activité 2
Même conjecture
Démonstration possible : par disjonction de cas.
Pour tout a, on a : a 2 −1=( a−1 )( a+1 )
•
Si a est impair, alors a−1 et a+1 sont pairs.
Donc il existe p et q dans ℤ tels que (a −1 )(a +1 )=2 p 2q =4 p q . 4 divise bien
a 2 −1 .
•
Si a est pair, 2 ne divise pas a 2 −1 , donc 4 non plus.
Activité 3
Même conjecture
Démonstration possible : disjonction de cas.
•
Si a est impair, alors a=2 k +1 , et donc a 2 −1=…=4 k 2+4 k =4 k ( k +1 )
•
k ou k +1 est pair, donc 2 divise k (k +1 ) . On peut écrire a 2 −1=4×2q =8q , ce
qui prouve le résultat.
•
Si a est pair, 2 ne divise pas a 2 −1 , donc 4 non plus et encore moins 8.
3