LES NOMBRES PREMIERS Contenus : Exemples de problèmes : Nombres premiers : ● Nombres premiers. Questionnement sur les nombres premiers : infinitude, ● Existence et unicité de la décomposition répartition, tests de primalité, nombres premiers particuliers (Fermat, Mersenne, Carmichaël). en produit de facteurs premiers. Sensibilisation au système cryptographique RSA. I. Nombres premiers : 1°) Définition : Définition : Un nombre p ∈ ℕ est premier s'il possède exactement 2 diviseurs positifs : 1 et lui-même. Exemples : 0 n'est pas un nombre premier car il possède une infinité de diviseurs. 1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un seul diviseur dans ℕ, lui-même. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 65537 sont des nombres premiers. Propriétés : (i) Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 possède au moins un diviseur premier. (ii) Le plus petit diviseur premier p d'un nombre entier naturel n non premier est tel que p⩽√ n . Preuve : (i) Si n est premier, il possède n comme diviseur, qui est premier. Si n n'est pas premier, il possède des diviseurs différents de n (on les appelle des diviseurs propres de n) et de 1. Appelons E l'ensemble des diviseurs propres de n différents de 1. Cet ensemble possède forcément un plus petit élément p. Si p n'était pas premier, il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p. d serait alors un diviseur de n (par transitivité de la divisibilité), ce qui n'est pas possible puisque p est le plus petit diviseur différent de 1 de n. Donc p est premier. (ii) Soit p le plus petit diviseur de n. On a alors p = n × k où k est aussi un diviseur propre de n et on a forcément p k donc p2 pk = n, soit p⩽√ n . Cette dernière propriété nous fournit un critère de primalité : 2°) Critère de primalité : Propriété : Soit n un entier naturel. Si n n'est divisible par aucun nombre premier p tel que p⩽√ n , alors n est premier. Preuve : C'est la contraposée de la propriété (ii) précédente. Exemple : 167 est-il un nombre premier ? √ 167≈12 , 9 , il faut donc vérifier si 167 est divisible par 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 et 11 (les nombres premiers inférieurs ou égaux à 12). 167 n'est divisible par aucun de ces nombres (on peut utiliser les critères de divisibilité pour la plupart d'entre eux), il est donc premier. 3°) L'ensemble des nombres premiers : Propriété : Il existe une infinité de nombres premiers. (Euclide) Preuve : Supposons que l'ensemble E des nombres premiers soit fini, c'est à dire qu'il existe k nombres premiers : k p1 ; p2 ; p3 ; … ; pk. Considérons le nombre n = p1p2p3 … pk + 1 = ∏ pi + 1. i=1 Cas 1 : n est premier, et on a donc trouvé un nouveau nombre premier. Cas 2 : n n'est pas premier, et il possède donc un diviseur propre différent de 1 et qui n'appartient pas à E. k En effet, s'il appartient à E, il divise donc ∏ i=1 k pi , et comme il divise aussi n = ∏ pi + 1, il divise leur i=1 différence 1, ce qui n'est pas possible. Dans chacun des cas, nous avons montré qu'il existait un autre nombre premier n'appartenant pas à E. L'ensemble des nombres premiers est donc infini. II. Décomposition en facteurs premiers : 1°) Existence et unicité : Propriété : Tout nombre n 2 s'écrit comme produit unique, à l'ordre des facteurs près, de nombres premiers. C'est-à-dire qu'il existe k nombres premiers p1, p2, p3, … pk et k entiers non nuls 1, 2, 3, … k tels que : n= p α1 p α2 p α3 … pαk 1 2 3 k Remarque : Dans le cas où n est premier, le produit n'a qu'un seul facteur. Preuve : Existence : Soit un entier n 2. On a vu plus haut qu'il existe p1 premier tel que p1 | n. On peut donc écrire n = n1p1 avec 1 n1 < n, car p1 > 1. Si n est premier, alors n1 = 1 et n = p1 est la décomposition cherchée. Si n n’est pas premier, n1 ≠ 1, et comme n1 2, il existe p2 premier tel que p2 | n1 et n s’écrit n = n2p2p1 où 1 n2 < n1 < n. Si n2 = 1, n = p1p2 est la décomposition voulue. Si n2 ≠ 1, n2 2 ⇒ ∃ p3 | n2, p3 premier, etc. C’est-à-dire que n se divise successivement par n1 > n2 > … > ni qui est une suite strictement décroissante d’entiers positifs : il existe donc un plus petit élément nk qui divise n et ce nk n’est autre que 1. Par suite, on a n = p1p2 … pk. Unicité : Supposons qu'un diviseur premier p apparaisse dans une décomposition en facteurs premier de n avec un exposant 1 et dans une autre décomposition avec l'exposant 0 (0 représente le cas où il n'apparait pas dans la deuxième décomposition). On a alors n = pa = pb où a et b ont une décomposition en facteurs premiers différents de p. Ceci signifie que p et a sont premiers entre eux, ainsi que p et b. Si > , on a p–a = b ce qui voudrait dire que p | b, ce qui est impossible. Si < , on a p–b = a ce qui voudrait dire que p | a, ce qui est impossible. On a donc forcément = . Exemples : 12 = 22 × 3 ; 1500 = 22 × 3 × 53. 2°) Recherche de diviseurs : Propriété : α α α α Soit n 2 et n= p 1 p 2 p 3 … pk sa décomposition en produit de facteurs premiers. 1 2 3 k β β β β Alors les diviseurs positifs de n sont tous les nombres de la forme d = p1 p 2 p3 … p k où 0 βi αi, ∀i ∈ {1 ; … ; k}. 1 2 3 k Preuve : β β β β Elle se fait en deux étapes puisqu’il faut montrer : d = p1 p 2 p3 … p k où 0 βi αi ⇔ d | n. 1 2 3 k β β β β ⇒ Si d = p1 p 2 p3 … p k , alors d divise n. Cette condition nécessaire est évidente puisqu’alors n=( pβ1 pβ2 pβ3 … pβk )( pα1 −β p α2 −β p α3 −β … pαk −β ) . 1 1 2 3 k 2 1 3 1 k 2 2 3 3 k k ⇐ Inversement, si d | n, alors n s’écrit sous la forme n = ad. Les entiers a et d sont plus petits que n et se décomposent de manière unique en produits de facteurs premiers. En faisant le produit, on obtient n et sa décomposition unique en facteurs premiers : les facteurs intervenant dans la décomposition de d font donc partie des pi en nombre au plus égal à αi. Exemple : 395 136 = 27 × 32 × 73 donc 22 × 32 × 7 = 252 ; 25 × 30 × 72 = 10 976 ; 20 × 31 × 73 = 1 029 et 26 × 32 × 71 = 4 032 sont des diviseurs de 395 136. 3°) Pgcd : Propriété : Soit a et b deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et p1, p2 … pk, l'ensemble des nombres premiers α α α α entrant dans la décomposition en facteurs premiers de a et b. On a alors a= p 1 p 2 p 3 … pk et b= p β1 pβ2 pβ3 … pβk où i et i sont des entiers naturels pouvant être nuls (si le facteur pi n'entre pas dans la décomposition du nombre). Dans ces conditions, si = pcgd(a ; b), alors min (α ,β ) min(α ,β ) min (α ,β ) min (α ,β ) δ= p1 p2 p3 … pk . 1 1 2 1 3 1 2 3 k k 2 2 3 3 k k Preuve : C'est une conséquence de la propriété précédente. En fait, la décomposition en facteurs premiers de est la partie commune de la décomposition en facteurs premiers de a et de b. Exemple : a = 211 288 = 23 × 74 × 11 b = 142 688 = 25 × 73 × 13 donc pgcd (a ; b) = 23 × 73 = 2744.