Td1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 1
M1, Algèbre
Semestre 2
Exercice 1 (Questions issues du cours)
Soit (A, +, ·) un anneau et soient I, I1 , I2 des idéaux de A.
1) Montrer que le centre Z(A) de A est un sous-anneau de A.
2) Montrer que si A est abélien alors I1 + I2 = A =⇒ I1 I2 = I1 ∩ I2 .
3) Soit B un anneau et f : A −→ B un morphisme d’anneau.
(a) Montrer que ker(f ) est idéal de A. On a
(b) Montrer que Im(f ) est un sous-anneau de B.
(c) Montrer que A/ ker(f ) ' Im(f ).
4) Soit I un idéal de A et soit A/I le groupe quotient de (A, +) par (I, +). On désigne par p la projection
canonique p : A −→ A/I définie par p(x) = x + I.
(a) Montrer que l’opération (x + I) · (y + I) = xy + I sur A/I est bien définie.
(b) Soit f un morphsime d’anneau tel que I ⊂ ker(f ). Montrer que l’application f¯ : A/I −→ B
définie par f¯(x̄) = f (x) est un morphisme d’anneau.
5) Soit f un morphisme d’anneau bijectif. Montrer que f −1 est aussi un morphisme d’anneau.
6) Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier par un morphisme d’anneau est un idéal premier.
7) Soient I1 , . . . , In des idéaux de A tel que I1 + I2 + . . . + In = A. Montrer que
∀(ν1 , . . . , νn ) ∈ (N∗ )n , I1ν1 + I2ν2 + . . . + Inνn = A
Exercice 2 Soit A un anneau, S un sous-anneau de A et I un idéal de A.
1) Montrer que S + I = {s + a | s ∈ S, a ∈ A} est un sous-anneau de A.
2) Montrer que I est un idéal de S + I.
3) Montrer que S ∩ I est un idéal de S.
4) Montrer qu’il existe un homomorphisme non-nul Φ : S −→ (S + I)/I.
5) Montrer que (S + I)/I ' S/(S ∩ I).
Exercice 3 (Caractéristique d’un anneau) Soit A un anneau unitaire. La caractéristique de A est
le plus petit entier n > 0 tel que
1A + 1A + · · · + 1A = 0.
{z
}
|
n termes
S’il n’existe pas de tel entier, on dit que A est de caractéristique 0.
1) Déterminer la caractéristique des anneaux suivants Z, Zn , Q[x], Zn [x], Z2 × Z3 , Z2 × Z, Z2 × Z2 .
2) Montrer que si A est de caractéristique n > 0 alors
a + a + · · · + a = 0 pour tout a ∈ A.
|
{z
}
n termes
3) On suppose que A est de caractéristique n > 0. Soit B un anneau unitaire et soit ϕ : A → B un
morphisme d’anneau tel que ϕ(1A ) = 1B . Montrer que la caractéristique de B divise n.
4) Montrer qu’il n’existe pas de morphisme de Z7 [x] dans Z5 [x] qui envoie 1 sur 1.
Exercice 4 Soit K un corps fini.
1) Montrer que la caractéristique p de K est un nombre premier.
2) Soit ψ : Zp −→ K défini par ψ(m) = 1 + 1 + . . . + 1 (m termes). Montrer que ψ est un morphisme
injectif.
3) Expliquer comment K peut-être considéré comme un Z/pZ-espace vectoriel.
4) En déduire que K possède pn éléments pour n ∈ N.
Exercice 5
1
1) Soit A et B deux anneaux commutatifs unitaires intègres et soit ϕ : A −→ B un morphisme d’anneau.
Montrer que ϕ = 0 ou ϕ(1A ) = 1B .
2) Trouver tous les morphismes ϕ : Q −→ Q.
Exercice 6 (Corps des quaternions) Soit H un R-espace vectoriel de dimension 4. On notera 1, i, j, k
une base de H de telle sorte tout élément de H s’écrit sous la forme a + bi + cj + dk avec a, b, c, d ∈ R. On
définit une multiplication sur H par
(a + bi + cj + dk)(a0 + b0 i + c0 j + d0 k) = (aa0 − bb0 − cc0 − dd0 ) + (ab0 + ba0 + cd0 − dc0 )i
+ (ac0 − bd0 + ca0 + db0 )j + (ad0 + bc0 − cb0 + da0 )k.
Un moyen simple de calculer le produit est de multiplier formellement les expressions et d’utiliser les
relations i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1. On peut alors montrer que H est un anneau. On définit le conjugué et
le module d’un élément par
p
z = a − bi − cj − dk
and
|z| = a2 + b2 + c2 + d2 .
1) Calculer (1 + 4i − 2j + k)(3 − i + j − 2k).
2) Montrer que pour tout (z, z1 , z2 ) ∈ H on a
z1 z2 = z 2 z 1 ,
|z|2 = zz = zz,
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
et
3) Montrer que H est un anneau non commutatif dans lequel tous les éléments non-nuls sont inversibles.
Exercice 7 Résoudre les systèmes suivants :
x≡1
mod 6
x≡2
mod 7
et
3x ≡ 2
5x ≡ 1
mod 5
mod 6
Exercice 8 (Anneaux noethériens)
1) Soit I1 ⊂ I2 ⊂ I3 . . . une suite croissante d’idéaux de Z. Montrer qu’il existe N ≥ 1 tel que Im = IN
pour tout m ≥ N .
2) Soit k un corps et soit A = k[X, Y ]. On pose
B := {P ∈ k[X, Y ] | P =
X
aij X i Y i }.
i>j
(a) Montrer que B est engendré par {X, X 2 Y, X 3 Y 2 , . . .}.
(b) Construire dans B une suite croissante d’idéaux non stationnaire.
2