I ] Forme algébrique

Prof : Hadj Salem Habib
Nombres complexes
Lycée pilote Médenine
I ] Forme algébrique
1. Définitions
· Le nombre complexe i est tel que
i² = -1
· Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a Î IR , b Î IR
£ = ensemble des nombres complexes ( ¥ Ì ¢ Ì ID Ì ¤ Ì ¡ Ì £ )
· On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z.
a est la partie réelle de z, on note a = Re(z)
b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z).
· Les complexes de la forme bi avec b Î IR, sont appelés imaginaires purs.
2. Représentation géométrique d'un nombre complexe
r r
Le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v ) est appelé plan complexe. Au nombre
uur
complexe z = a + bi , on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur w (a ; b).
§ L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels
§ L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires.
uur
§ z = a + bi est l'affixe de M et de w .
uur
§ M(a ; b) est l'image ponctuelle, w (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi.
§ Le point Q (-a ; -b) , symétrique de M par rapport à O a pour affixe - z , opposé de z.
§ Le point N(a ; -b) , symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses a pour affixe le nombre
complexe appelé conjugué de z et noté z . Si z = a + bi alors z = a – bi .
§ Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , alors
uuuuur
le vecteur MM' a pour affixe
z' - z = (a' - a) + (b' - b)i
· le milieu I de [MM'] a pour affixe zI =
z + z'
2
· le barycentre G de (M ; a) et (M ' ; b) a pour affixe zG =
az +bz'
(a + b ¹ 0) .
a+b
z = a + bi , z' = a' + b'i
3. Propriétés dans £ : pour
· Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire. : z = z' Û a = a' et b = b'
· Addition : z + z ' = (a + a' ) + i (b + b ' )
· Produit : z z ' = (a a' – b b' ) + i (a b' + b a' )
1
1
a - bi
=
· Inverse : pour z non nul : =
z a + bi a² + b²
z a + bi (a + bi)( a' - b 'i )
=
=
· Quotient : pour z' non nul :
z ' a' + b 'i
a'² +b'²
1 i
· Propriétés de i : i² = -1 ; i3 = - i ; i4 = 1 ; = = - i .
i i²
· Propriétés des nombres complexes conjugués :
z = z ; z + z ' = z + z' ;
z - z ' = z - z' ;
zz' = z z' ;
z z = (a + bi) ( a – bi) = a² + b² est un réel positif ou nul.
æ 1ö 1
æzö z
; ç ÷=
Si z' # 0 ç ÷ =
è z ' ø z'
è z' ø z '
z est imaginaire pur Û z = - z
z est réel Û z = z ;
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II] Forme trigonométrique
1. Module d'un nombre complexe
· Si le point M est l'image du complexe z = a + bi ( a Î IR , b Î IR) dans le plan complexe £ , on appelle
module de z ,noté z , la distance OM
½z½ = OM =
a ² + b²
· Propriétés : |z| = 0 Û z = 0
;
n
|zz'| = |z|.|z'| ; z = z
n
ou z =
|- z| = |z|
; z=z
zz
;
|z + z'| £ |z| + |z'|
z
1
1
z'
z
et
=
=
=
z' z ' z' ²
z' z '
Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z|
r
r
Si u a pour affixe z , alors IIuII = |z|.
Pour z' non nul :
2. Argument d'un nombre complexe
· Définition : Un argument du nombre complexe z non nul est une mesure de l'angle polaire du point
r r
M dans le plan complexe muni du repère(O;u;v ) , c'est à dire une mesure q de l'angle
r uuuur
orienté( u;OM) .
p
Le réel 0 n'a pas d'argument. Le nombre complexe i a pour module 1 et pour argument + .
2
· Propriétés :
L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2p.
Si q est un argument de z, on notera arg z = q [2p ] ou arg z = q + 2kp (k Î ZZ )
On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-p ; p].
Tout réel positif a un argument égal à 0.
Tout réel négatif a un argument égal à p .
Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive a un argument égal à
nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative a un argument égal à -
p
.
2
p
et tout
2
Soit z nombre complexe non nul : z = a + bi , z = r et arg z = q [2p]
ìr = a² + b²
ï
alors í
a Re(z)
b Im(z)
; sin q = =
ïcos q = r = z
r
z
î

Pour z Î CI* et z' Î CI*, on a
z = z'
Û
équivaut à
{ |z| = |z'|,arg z = arg z'
ìa = r cos q
í
îb = r sin q
[2p]
z et z' étant deux nombres complexes non nuls on a :
1
· arg(zz') = arg z + arg z' [2p] ;
arg = - arg z [2p]
z
z
· arg
= arg z - arg z' [2p]
;
Pour n entier : arg (zn) = n arg z [2p]
z'
· arg ( z ) = - arg z [2p]
;
arg (- z) = arg z + p [2p]
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3. Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul z peutêtre écrit sous la forme :
z = r (cos q + i sin q) avec
q
M
sin q
*
Î IR et r Î IR+
q
C'est la forme trigonométrique de z.
r est le module de z, r = |z|
q est un argument de z.
Si z = r (cos q + i sin q) alors
z = r (cos(-q) + i sin(-q))
1
r = |z|
cos q
Re(z) = r cos q et Im(z) = r sin q.
;
- z = r (cos(q + p) + i sin(q + p)) ; et
1 1
= (cos ( -q ) + i sin ( -q ))
z r
4. Utilisation en géométrie
La notion de distance correspond au module - La notion d'angle à l'argument.
r r
A, B , C et D étant quatre points distincts d'affixes zA, zB , zC et zD dans (O;u;v ) , alors :
uuur
· le vecteur AB a pour affixe zB - zA ,
· AB = ½zB - zA½
r uuur
· l'angle (u; AB ) a pour mesure arg(zB - zA) [2p]
uuur uuuur
æ zD - zC ö
· l'angle AB;CD a pour mesure arg(zD - zC) - arg(zB - zA) = arg ç
÷
z - z
(
)
è
B
A
ø
· Comment démontrer que trois points A, B et C sont alignés :
uuur uuuur
æ zC - z A ö
Û ç
÷ est un nombre réel Û l'angle AB; AC est nul
(
è zB - z A ø
æ zC - z A ö
Û arg ç
÷ = 0 [p]
è zB - z A ø
)
· Comment démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales :
æ zD - zC ö
÷ est un imaginaire pur
è zB - z A ø
Û ç
uuur uuuur
p
p
Û l'angle AB;CD a pour mesure
ou 2
2
(
)
æ zD - zC ö p
÷ = [p]
è zB - z A ø 2
Û arg ç
III] Notation exponentielle
Tout nombre complexe non nul z de module r et d'argument q peut s'écrire : z = r ei q ; et
réciproquement, tout nombre complexe qui s'écrit z = r ei q ou z = r (cos q + i sin q ) avec r >0 a pour
module r et pour argument q + 2k p .
On a : ei q = 1 et Arg ( ei q ) = q .
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Formules d'EULER : Pour tout nombre réel q on a :
et
ei q = cos q + i sin q
e- i q = cos q - i sin q
ei q + e - i q
ei q - e - i q
alors : cos q =
et sin q =
2
2i
Propriétés : r e iq. r' e iq' = r r' e i(q+q')
;
Formule de MOIVRE : pour tout n Î ZZ ,
1
1
= e -iq
iq
r
re
(eiq)n = einq
r ei q
r
= e i(q-q')
iq'
r'
r 'e
;
ou
(cos q + i sin q)n = cos (n q) + i sin (n q)
L'utilisation des formules d'Euler et de Moivre permet de linéariser les polynômes trigonométriques ,
c'est à dire que le polynôme trigonométrique s'écrit uniquement avec des termes de la forme
a cos(mq) et b sin (nq) avec a,b,m , n et q des réels
IV ] Equation du second degré à coefficient réels
L'équation a.z² + b.z + c = 0 , où a, b et c sont des réels (avec a ¹ 0) admet dans CI deux solutions
(éventuellement confondues).
Soit D = b² - 4ac le discriminant de l'équation
-b - D
-b + D
et Z2 =
2a
2a
· si D = 0 , une solution double Z1 = Z2 = (-b) / 2a
· si D < 0 , on peut écrire D = (id)² avec d Î IR,
les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre) :
-b +id -b + i -D
-b -id -b - i - D
=
z2 =
z1 =
=
;
2a
2a
2a
2a
· Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2)
· si D > 0 , les deux solutions sont réelles Z1 =
V ] Nombres Complexes et cercle
Le cercle de centre A d'affixe zA et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : ½z - zA½ =
r donc une équation paramétrique de ce cercle est : z = zA + r ei q
Equation zn=a, n > 1, aÎ £
Théorème et définition_
Soit a un nombre complexe non nul d'argument 0 et n un entier naturel non nul. L'équation
æ q+ 2kp ö
iç
n ÷ø
zn = a admet dans C, n solutions distinctes définies par : zk = re è
, k Î {0,1,........,n - 1}
, où r est le réel strictement positif tel que rn = |a|. Ces solutions sont appelées les racines
nièmes du nombre complexe a._
rr
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O,i, j
(
)
Lorsque n ³ 3, les points images des racines nièmes de l'unité sont les sommets d'un
polygone régulier inscrit dans le cercle z (O,r) .
Exemples d'équations de degré supérieur ou égal à 3
Théorème :_
Soit a1 ,a 2,... et an des nombres complexes tels que an ¹ 0 ; n ³ 2 .
Soit P(z) = an zn+an-1 zn-1+.. .+a1z+a0.
Si z0 est un zéro de P, alors P(z)=(z-z0)g(z), où g(z) = anzn-1+bn-2 zn-2+... + b0, avec b0, b1 ,.. ., et bn-2
complexes.
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VI] Nombres Complexes et Transformation
r
Translation : soit une translation de vecteur u d'affixe a ; le point M (d'affixe z) est transformé en un
uuuur r
point M' (d'affixe z' ) tel que : MM' = u donc z' - z = a d'où l'expression complexe d'une translation est
: z' = z + a ; où a est l'affixe du vecteur de translation.
k et de uuuu
centre
Homothétie : soit une homothétie de rapport uuuur
r W d'affixe w ; le point M (d'affixe z) est
transformé en un point M' (d'affixe z' ) tel que : WM' = k WM donc
z' - w = k(z - w) d'où l'expression complexe d'une homothétie est : z' - w = k(z - w) ;
où w est l'affixe du centre et k le rapport de cette homothétie.
Rotation : soit une rotation d'angle q et de centre W d'affixe w ; le point M (d'affixe z) est transformé en
uuuur uuuur
un point M' (affixe z' ) tel que : l'angle WM; WM' = q donc z' - w = eiq(z - w) d'où l'expression
(
)
iq
complexe d'une rotation est : z' - w = e (z - w) ;
où w est l'affixe du centre et q l'angle de cette rotation.
L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z.eiq
où q est un nombre réel fixé, est la rotation de centre O et d'angle q.
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