Tale S3 CH8-Les nombres complexes. Sujets de Bac : France, juin 2009. 1. Par définition du module d’un nombre complexe, 1 OM = |z| et OM1 = z 1 1 Donc OM × OM1 = |z| = |z| = 1. z |z| Par définition de l’argument d’un nombre complexe non nul : −−→ −−−→ → → (− u , OM ) = arg(z)[2π] et (− u , OM1 ) = arg Or arg 1 z ! ! 1 [2π] z = − arg(z)[2π]. D’où 2. −−−→ −−→ → → (− u , OM1 ) = −(− u , OM )[2π] ! 1 a. Comme M’ est le milieu de [MM1 ]avecM(z)etM1 , on a : z z+ z′ = 2 b. On note 1 ′ = zB 2 On note 1 ′ = zC 2 1 z 1 1 = z+ 2 z ! ′ les affixes respectives des points B et B’. zB et ZB ! ! ! 1 1 1 1 4i − i 1 3i 3i zB + = 2i + = = × = . zB 2 2i 2 2 2 2 2 4 ′ zC et ZC!les affixes respectives ! des points C ! et C’. 1 1 1 1 − 4i i 1 − 3i 3i zC + = −2i + = = × =− . zC 2 −2i 2 2 2 2 2 4 c. Figure : B B’ − → v b b − → u C’ C 1 b b 2009-2010 Tale S3 CH8-Les nombres complexes. 3. M′ = M ⇔ z′ = z ! 1 1 ⇔ z+ =z 2 z ⇔ z+ 1 = 2z z 1 =z z ⇔ 1 = z2 ⇔ ⇔ z = 1 ou z = −1 Donc l’ensemble des points M tels que M’=M est constitué de deux points : K d’affixe −1 et L d’affixe 1. 4. Soit M un point du cercle p de centre O et de rayon 1. On note z = x + iy, avec x, y ∈ R l’affixe de M. On a alors |z| = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1 ⇔ x2 + y 2 = 1(∗). On veut montrer que M’ est un point du segment [KL] avec K le point d’affixe −1 et L le point d’affixe 1. M’ appartient à [KL] si et seulement si M’ est un point de l’axe des abscisses et OM’< 1, c’est-à-dire z ′ est un réel et |z ′ | = 1. Montrons que z ′ est réel. ! 1 1 ′ z = x + iy + 2 x + iy ! 1 (x + iy)2 + 1 = 2 x + iy ! 1 x2 + 2ixy − y 2 + 1 = 2 x + iy ! 1 2x2 + 2ixy car y 2 − 1 = x2 d′ apres (∗) = 2 x + iy ! 1 (2x2 + 2ixy)(x − iy) = 2 x2 + y 2 ! 1 2x3 − 2x2 yi + 2x2 yi + 2xy 2 = 2 1 = 2x3 + 2xy 2 ∈R 2 2x3 + 2xy 2 = x. 2 ′ | ≤ 1. Montrons que |z! ! 1 1 1 1 1 1 |z ′ | = z+ |z| + , d’après l’inégalité triangulaire. = z + ≤ 2 z z 2 z 2 1 1 Or |z| + = |z| + = 1 + 1 = 2 car |z| = 1. z |z| Donc |z ′ | ≤ 1 Remarque : On a donc bien montré que si M est un point du cercle de centre O et de rayon 1 alors M’ est un point du segment [KL]. 2 2009-2010