Université Cadi Ayyad Département de Mathémathiques Faculté des Sciences Semlalia Marrakech Filière SMA Mesure et intégration : Théorème des classes monotones fonctionnelles de Dynkin et applications Cours et Exercices Auteur : Brahim AIT BELHOUSSAINE Filière : SMA Semestre 6 Juin 2015 0 2 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM Table des matières 1 2 3 Rappels 1.1 Algèbre et tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . 1.1.1 Semi-anneau et clan de parties d’un ensemble . 1.1.2 Tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . . . 1.1.3 Notion de tribu trace . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Tribu borélienne d’un espace topologique . . . 1.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Applications mesurable . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Fonctions numériques mesurables . . . . . . . 1.2.3 Fonctions étagées et théorème d’approximation 1.3 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème des classes monotones fonctionnelles 2.1 Théorème des classes monotones ensemblistes . . . . . . 2.1.1 π-système et λ-système de parties d’un ensemble 2.1.2 Théorème des classes monotones . . . . . . . . 2.1.3 Mesure de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Notion de l’indépendance . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème des classes monotones fonctionnelles . . . . . 2.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Théorème de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPLICATIONS 3.1 Identification des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorèmes de densité et approximations dans les espaces de Lebesgue L p 3.2.1 Théorème de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire réelle . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 10 11 12 12 12 14 16 17 18 . . . . . . . . 23 23 23 24 26 27 29 29 30 . . . . 35 35 36 36 40 0 TABLE DES MATIÈRES REMERCIEMENTS Je tiens a remercier mes parents pour leur amour, leurs sacrifices ainsi que pour leur soutien tout au long de mes études. Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon encadrant Professeur Brahim Boufoussi, de m’avoir accorder ce projet de mémoire, dont j’espère que mon travail soit à la hauteur de ses attentes. Je le remercie pour son excellent suivi, ses remarques pertinentes et ses recommandations fort enrichissantes, et je le remercie également pour la grande patience dont il a fait preuve tout au long des discussions que nous avons eu et dont j’ai bénéficié énormément. Mes remerciement vont également aux membres du jury les professeurs, M. ERRAOUI et L.MANIAR, pour leur disponibilité et leur soutient. Je remercie les professeurs M.Houimdi et M.H.Lalaoui qui nous ont initié au logiciel de traitement de texte scientifique LATEX, chose qui a été très bénifique et a facilité notre travail. Mes remerciements vont aussi à l’ensemble des professeurs qui ont assuré avec succès l’encadrement et l’enseignement de la filière SMA. Ces remerciements seraient incomplets sans un remerciement adressé aux membres de ma famille, en particulier ma chére mère, mes frères et mes sœurs. Je remercie aussi mes amis et mes collègues et tout ceux qui ont participé de loin ou proche à la réalisation de ce mémoire. 4 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 0 TABLE DES MATIÈRES Introduction : Ce travail présente un exemple de liens étroits existant entre la théorie de l’intégration et la théorie des probabilités. Le théorème classique des classes monotones est un exemple déjà étudié dans le cours d’intégration. L’aspect présenté dans ce document est fort intéressant et moins abordé dans les livres académiques au niveau de la licence, il s’agit d’une version fonctionnelle de théorème de Dynkin, d’où l’interêt du sujet de mémoire. Expliquons de quoi il s’agit : Lorsque l’on dispose d’une partie M d’un sous-espace vectoriel H qui contient les constantes, d’un espace vectoriel de fonctions bornées sur un ensemble X a valeurs réels, le théorème de Dynkin montre sous des conditions de stabilité par convergence monotone de H et de stabilité de M par multiplication, que H contient toutes les fonctions bornées σ(M )-mesurables. Ce résultat admet une preuve moyennant le théorème classique de Dynkin (classes monotones version ensemblistes). Mais on va lui en donner une preuve purement fonctionnelle. Comme application de ce théorème on va montrer des résultats concernant l’identification des lois en probabilités et des résultats de densité dans les espaces de Lebesgue L p . 5 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 0 TABLE DES MATIÈRES 6 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM Chapitre 1 Rappels 1.1 Algèbre et tribu de parties d’un ensemble 1.1.1 Semi-anneau et clan de parties d’un ensemble Soit X un ensemble non vide. Définition 1. On appelle semi-anneau de parties de X, toute famille S de patries de X telle que : i) Pour tout A, B ∈ S A ∩ B ∈ S . ii) Pour tout A, B ∈ S , il existe C1 ,C2 , · · · ,Cn ∈ S , deux à deux disjoints tel que ArB = n S Ci . i=1 Remarque 1 n S Si S est un semi-anneau de X, alors 0/ ∈ S . En effet : Soit A ∈ S on a A r A = 0/ = Ci , donc i=1 Ci = 0/ ∈ S . Exemple 1 Soit X = R, on pose S = {]a, b] / − ∞ < a 6 b < +∞}. S est un semi-anneaux de R. En effet : i) Soit A =]a, b], B =]c, d] ∈ S . 1ère cas Si A ∩ B = 0/ ∈ S ( car 0/ =]a, a] ∈ S ). / alors on a max{a, c} 6 min{b, d} et A ∩ B =] max{a, c}, min{b, d}] ∈ S . 2ème cas Si A ∩ B 6= 0, ii) Soit A =]a, b], B =]c, d] deux éléments de S . On a A r B =]a, b] ∩ (]c, d])c = ]a, b] ∩ (] − ∞, c]∪]d, +∞[) = (]a, b]∩] − ∞, c]) ∪ (]a, b]∩]d, +∞[) = ]a, min(b, c)]∪]max(a, d), b] (∗) / L’égalité (*) est vraie si ]a, b]∩] − ∞, c] 6= 0/ et ]a, b]∩]d, +∞[6= 0. Définition 2. On appelle clan ou (anneau de Boole) sur X toute famille C de parties de X telle que : i) Pour tout A, B ∈ C A ∪ B ∈ C . ii) Pour tout A, B ∈ C A r B ∈ C . 7 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Remarque 2 1. Si C est un clan sur X, alors 0/ ∈ C . En effet, on a pour tout A ∈ C , 0/ = A r A ∈ C . 2. Si C est un clan sur X, alors C est stable par intersection finie. En effet, Soit A, B ∈ C on a A∆B ∈ C et A ∩ B = A ∪ B r A∆B ∈ C . 3. Tout clan sur X est un semi-anneau sur X. Puisque d’après le premier point, C est stable par intersection finie et pour tout A, B ∈ C on a A r B = A r B ∪ 0/ ∈ C . Exemple 2 Soit X = R, l’ensemble des réunions finies d’intervalles bornés de R est un clan sur R. En effet, on pose [ R f (R) = { Ii , τ f ini, Ii est un intevalle de R} i∈τ i) Soit A = n S Ii , B = i=1 m S J j deux éléments de R f on a A ∪ B ∈ R f (réunion finie d’intervalles bornés j=1 de R). ii) On a c ArB = A∩B = ( = = = n [ Ii ) ∩ ( m [ i=1 n [ j=1 m \ i=1 n \ m [ j=1 (Ii ∩ ( J j )c J cj )) (Ii ∩ J cj ) i=1 j=1 n \ m [ (Ii r J j ) i=1 j=1 Remarquons que R f est stable par intersection finie. En effet, on a A∩B = ( n [ i=1 Ii ) ∩ ( m [ J j) = j=1 n [ m [ (Ii ∩ J j ) ∈ R f i=1 j=1 Or Ii r J j ∈ R f donc A r B ∈ R f . Définition 3. On appelle algèbre sur X, tout clan A telle que X ∈ A . Proposition 1. une famille A de parties de X est une algèbre sur X si et seulement si A est stable par réunion finie et par passage au complémentaire. Démonstration ⇒) Il est clair que A est stable par réunion finie (car A est un clan sur X) et d’autre part on a pour tout A ∈ A , Ac = X r A ∈ A car X ∈ A . ⇐) Par hypothèse A est stable par réunion finie. Soient A, B ∈ A on a ArB = A∩Bc = (Ac ∪B)c ∈ A . 8 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 1.1. ALGÈBRE ET TRIBU DE PARTIES D’UN ENSEMBLE Exemple 3 Soit X = R et A = {A ⊆ R / A f ini ou Ac f ini}. A est une algèbre sur R. En effet, par convention L’ensemble vide est fini. i) Soit A, B ∈ A . 1ère cas Si A et B sont finis alors A ∪ B est fini. 2ème cas Si A ou B est infini on a d’après la loi de Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ∈ A . ii) Soit A ∈ A . 1ère cas Si A est fini on a (Ac )c = A est fini. 2ème cas Si Ac est fini, alors A ∈ A . Proposition 2. Soit (Ci )i∈I (resp. (Ai )i∈I ) une famille quelconque de clans (resp. d’algèbres) sur X, alors T T Ci (resp. Ai ) est un clan (resp. algèbre) sur X. i∈I i∈I Démonstration T T T Soient A, B ∈ Ci on a A ∪ B ∈ Ci et A r B ∈ Ci ∀ i ∈ I, donc A ∪ B ∈ Ci et A r B ∈ Ci , par i∈I i∈I suite (Ci )i∈I est un clan sur X. De même on montre que T i∈I Ai est une algèbre sur X. i∈I Application Soit X un ensemble non vide et soit ξ une famille non vide de parties de X. Notons FC ,ξ (resp. FA ,ξ ), l’ensemble de tous les clans (resp. algèbres) sur X qui contient ξ. On a FC ,ξ est non vide car P (X) ∈ FC ,ξ (resp. P (X) ∈ FA ,ξ ). Notons C (ξ) (resp. A (ξ)) l’intersection de tous les clans (resp. algèbres) sur X contient ξ, d’après la proposition 2, c’est un clan de X (resp. algèbre), C (ξ) (resp. A (ξ)) est le plus petite clan (algèbre) sur X contient ξ. C (ξ) (resp. A (ξ)) s’appelle le clan (algébre) engendré par ξ. Le résultat suivant est d’une très grande utilité dans la suite. Théorème 1. Soit X un ensemble non vide et soit S un semi-anneau sur X, alors le clan C (S) engendré par S est égale à l’ensemble de toute les réunions finies d’éléments de S deux à deux disjoints. Autrement dit on a : C (S) = { [ Ai / I f ini, Ai ∈ S et Ai ∩ A j = 0/ pour i 6= j} i∈I Le clan C (S) est appelé le clan de Borel. Démonstration On pose [ R f (S) = { Ai / I f ini, Ai ∈ S} et R f d (S) = { i∈I [ Ai / I f ini, Ai ∈ S et Ai ∩ A j = 0/ pour i 6= j} i∈I On a R f (S) est un clan de l’ensemble X. En effet, Soit A = n S Ai , B = i=1 m S B j deux éléments de j=1 R f (S). On a A ∪ B ∈ R f (S) (réunion fini d’éléments de S) et d’autre part on a A r B = n T m S Ai r B j . i=1 j=1 9 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Remarquons que R f (S) est stable par intersection finie. En effet, on a A ∩ B = n S m S Ai ∩ B j , comme i=1 j=1 S est stable par intersection fini, alors A ∩ B ∈ R f (S). Or Ai r B j est une réunion fini d’éléments de S, donc Ai r B j ∈ R f (S) et par suite A r B ∈ R f (S), donc R f (S) est un clan sur X contenant S. Soit C un clan sur X tel que S ⊆ C , montrons alors que R f (S) ⊆ C , pour cela soit A ∈ R f (S) et A= n S n S Ai , comme S ⊆ C alors Ai ∈ C donc A = i=1 Ai ∈ C (car C est un clan sur X), finalement i=1 C (S) = R f (S). Pour terminer la démonstration il suffit de montrer que R f (S) = R f d (S). Il est clair que R f d (S) ⊆ R f (S). Réciproquement soit A = n S Ai ∈ R f (S). On pose B1 = A1 et Bi = Ai r i=1 pour tout i > 1 on a A = n S Bi = n i−1 S T i−1 S Ak k=1 Ai r Ak . Or Ai r Ak est une réunion finie d’éléments de S deux i=1 à deux disjoints, par suite 1.1.2 i=1 k=1 A ∈ R f d (S). Tribu de parties d’un ensemble Définition 4. Soit X un ensemble non vide et F une famille de parties de X. On dit que F est une tribu (ou σ-algèbre) sur X si et seulement si i) 0/ ∈ F . ii) Pour tout A ∈ F , Ac ∈ F . iii) F est stable par réunion dénombrable. Remarque 3 Si F est une tribu sur X alors F est stable par intersection dénombrable. En effet : Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F . On a ( +∞ T n=1 An )c = +∞ S n=1 Acn ∈ F . Exemple 4 Soit X = R, la famille F = { A ⊆ R / A est dénombrable ou Ac est dénombrable} est une tribu de R. On dit que A est dénombrable si et seulement si A est fini ou elle est en bijection avec l’ensemble N. i) On a 0/ ∈ F (0/ est fini par convention). ii) Soit A ∈ F , si A est dénombrable on a (Ac )c = A donc Ac ∈ F , sinon Ac est dénombrable. iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F , si An est dénombrable pour tout n ∈ N∗ alors +∞ S An est n=1 dénombrable (Réunion dénombrable d’ensembles dénombrable est dénombrable), sinon il existe au moins n0 ∈ N∗ tel que Acn0 est dénombrable dans ce cas on a ( +∞ S n=1 An )c = +∞ T n=1 Acn ⊆ Acn0 , donc ( +∞ S An )c n=1 est dénombrable (Tout partie d’un ensemble dénombrable est dénombrable). Il est évident que P (X) est une tribu de X, mais il n’y a pas beaucoup d’exemples intéressants de tribus que l’on puisse décrire explicitement. C’est pourquoi la définition suivante est fondamentale. Définition 5. Soit Ω ⊆ P (X). On appelle tribu sur X engendrée par Ω, l’intersection de toutes les tribus contenant Ω. Autrement dit c’est la plus petite tribu sur X contenant Ω. On la notera σ(Ω). 10 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 1.1. ALGÈBRE ET TRIBU DE PARTIES D’UN ENSEMBLE Exemple 5 Soit X un ensemble non vide. Soit I un ensemble non vide. Soit A = (Ai )i∈I une partition de X. On a σ(A ) = { [ Ai / J ⊆ I, J dénombrable ou J c dénombrable} i∈J En effet : On pose F ={ [ Ai / J ⊆ I, J dénombrable ou J c dénombrable} i∈J La famille F est une tribu de X. En effet : On a 0/ ∈ F . Soit B = Ai ∈ F on a Bc = ( S i∈J S i∈J Ai )c = S i∈J c Ai (car A est une partition de X). Soit (Bn )n≥0 une suite d’éléments de F on a pour tout n ∈ N S S S Bn = Ai où Jn ⊆ I. On a Bn = Ai . D’où F est une tribu de X contenant A donc on a i∈Jnc n≥0 i∈∪n≥0 Jn σ(A ) ⊆ F . Réciproquement Soit B ∈ F B = S Ai . i∈J 1ére cas Si J est dénombrable B ∈ F (car F est stable par réunion dénombrable ). S S 2éme cas Si J c est dénombrable alors on a Bc = ( Ai )c = Ai ∈ F d’où B ∈ F (car F est stable i∈J i∈J c par passage au complémentaire). 1.1.3 Notion de tribu trace Soient X un ensemble non vide et A ⊆ X et soit F une tribu sur l’ensemble X. Notons FA = {A ∩ F / F ∈ F } ⊆ P (A). FA est une tribu de A. En effet : 0/ ∈ FA et si B ∈ FA c-à-d B = A ∩ F on a Bc = A r B = A ∩ F c ∈ FA . Soit (Bn )n une suite d’éléments de FA . On a ∀ n ∈ N S S Bn = A ∩ ( Fn ) ∈ FA . D’où FA est une tribu sur A. Bn = A ∩ Fn et n∈N n Définition 6. Le couple (A, FA ) est appelé sous-espace mesurable de l’espace mesurable (X, F ). La tribu FA s’appelle la tribu trace de F sur A. Remarque 4 Si A ∈ F , alors FA = {B ∈ F / B ⊆ A}. Théorème 2. Soient X et Y deux ensembles non vides. Soit f : X 7−→ Y Application et soit C une famille de parties de Y . Alors : σX ( f −1 (C )) = f −1 (σY (C )) Démonstration Comme σY (C ) est une tribu sur Y alors f −1 (σY (C )) est une tribu sur X et f −1 (C ) ⊆ f −1 (σY (C )) donc σX ( f −1 (C )) ⊆ f −1 (σY (C )). Réciproquement soit F = {A ∈ σ(C ) / f −1 (A) ∈ σX ( f −1 (C ))} F est une tribu sur Y . En effet : / = 0/ ∈ σX ( f −1 (C )). i) On a 0/ ∈ F car 0/ ∈ σ(C ) et f −1 (0) ii) Soit A ∈ F on a Ac ∈ σ(C ) et f −1 (Ac ) = ( f −1 (A))c ∈ σX ( f −1 (C )) (car f −1 (A) ∈ σX ( f −1 (C ))). iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F pour tout n ∈ N∗ on a An ∈ σ(C ) et f −1 (An ) ∈ σX ( f −1 (C )) donc +∞ S n +∞ S An ∈ σ(C ) (car σ(C ) est une tribu sur Y ) et on a f −1 ( Par suite F = σ(C ). 11 n An ) = +∞ S n f −1 (An ) ∈ σX ( f −1 (C )). AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Proposition 3. Soient X un ensemble non vide et A ⊆ X. Soit C une famille de parties de X. Notons CA la trace de C sur A (CA = {A ∩C / C ∈ C }). Alors on a σA (CA ) = (σX (C ))A Démonstration Considérons l’application f : A 7−→ X définie par : f (x) = x pour tout x ∈ A. On a f −1 (C ) = CA . D’après le théorème 2 on a σ(CA ) = f −1 (σ(C )) = (σX (C ))A . 1.1.4 Tribu borélienne d’un espace topologique Définition 7. Soit (X,T ) un espace topologique. On appelle tribu borélienne de X, la tribu engendrée par la topologie T de X. Elle sera notée BX . Les éléments de BX sont appelés les boréliens de X. Exemple important : Cas de R Proposition 4. La tribu borélienne de R est engendrée par la famille des ouverts de la forme ]a, +∞[. Autrement dit on a : BR = σ({]a, +∞[, a ∈ R}) Démonstration On note par T la topologie de R. On a T = {O ⊆ R / O ouvert de R}. Par définition on a BR = σ(T ) = σ({O ⊆ R / O ouvert de R}). Tout ouvert de R est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts de R. Il suffit donc de vérifie que les intervalles de la forme ] − ∞, a[ et ]a, b[ sont dans σ({]a, +∞[, a ∈ R}). (] − ∞, a[)c = [a, +∞[= +∞ S ]a + n1 , +∞[ et ]a, b[=]a, +∞[∩] − ∞, b[. Donc BR ⊆ σ({]a, +∞[, a ∈ R}). n=1 Réciproquement comme ]a, +∞[ est un ouvert de R alors σ({]a, +∞[, a ∈ R}) ⊆ BR . Remarque 5 La tribu borélienne de R est engendrée par la famille des ouverts de la forme ] − ∞, a[ et encore elle engendrée par la famille des ouverts de la forme ]a, b[. 1.2 Fonctions mesurables 1.2.1 Applications mesurable Dans toute la suite on appellera espace mesurable tout couple (X,F ) ou F est une tribu sur X. Les éléments de F seront appelés les mesurables de X. 12 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 1.2. FONCTIONS MESURABLES Définition 8. Soient (X,F ) et (Y ,B ) deux espaces mesurables. On dit qu’une application f : X 7−→ Y est F − B mesurable ou tout simplement mesurable si f −1 (B ) ⊆ F . On vérifie facilement que f −1 (B ) est une tribu sur X. C’est le plus petite tribu sur X qui rend f mesurable. On la note σ( f ) et on l’appelle tribu engendrée par f . Exemple 6 Soit (X,F ) un espace mesurable et A ⊆ X alors χA est F -BR mesurable si et seulement si A ∈ F Les propositions suivantes sont très utiles (conséquences du théorème 2). Proposition 5. Soient (X,F ) et (Y ,B ) deux espaces mesurables. Soit f : X 7−→ Y une application. On suppose qu’il existe C une famille de parties de Y telle que B = σY (C ). Alors f est mesurable si et seulement si f −1 (C ) ⊆ F . Démonstration ⇒) Si f est mesurable il est clair que f −1 (C ) ⊆ F (car f −1 (σY (C )) ⊆ F ). ⇐) On a f −1 (B ) = f −1 (σY (C )) = σX ( f −1 (C )) d’après le théorème 2. Comme f −1 (C ) ⊆ F alors σX ( f −1 (C )) ⊆ F . Proposition 6. Soient (X,T ) et (Y ,Γ) deux espaces topologiques et soit f : X 7−→ Y une application continue. Alors f est Bx − BY mesurable. Démonstration On sait que BY = σ(Γ). Soit O ∈ Γ c-à-d O est un ouvert de Y , comme f est continue alors f −1 (O ) est un ouvert de X (voir le cour de topologie) c-à-d f −1 (O ) ∈ T ⊆ BX donc f −1 (Γ) ⊆ BX , d’après la proposition 1 on a f est mesurable. Théorème 3. Soient (X, F ), (Y, T ), (Z, G ) des espaces mesurables et f : X 7−→ Y, g : Y 7−→ Z deux applications mesurables. Alors go f : X 7−→ Z est mesurable. Démonstration Soit B ∈ G on a (go f )−1 (B) = f −1 (g−1 (B)) ∈ F . n n N i=1 i=1 Soient (X1 , F1 ), ...., (Xn , Fn ) des espaces mesurable on pose X = ∏ Xi muni de la tribu Rappelons que n N i=1 n Fi . Fi = σ( ∏ Fi ). C’est la plus petite tribu sur X qui rend ses projections mesurables. i=1 13 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Proposition 7. n Soit (E, B ) un espace mesurable. Soit f : E 7−→ X = ∏ Xi une application. Alors f est B- i=1 n N Fi mesurable si et seulement i=1 les fi sont les composantes de f . si pour tout i ∈ {1, 2, .., n} on a fi est B -Fi mesurable où Démonstration n ⇒) Supposons que pour tout i ∈ {1, 2, .., n} on a fi est B -Fi mesurable et soit A ∈ ∏ Fi on pose n A = ∏ Ai avec Ai ∈ Fi on a i=1 ⇐) Supposons que f est B - f −1 (A) = n N f −1 ( i=1 n n N T fi−1 (Ai ) ∈ B , d’où f est B - Fi mesurable. ∏ Ai ) = n i=1 i=1 i=1 Fi mesurable. Soient i ∈ {1, 2, .., n} et A ∈ Fi . On a : i=1 fi−1 (A) = f −1 (X1 × ... × A × ... × Xn ) ∈ B . Théorème 4. n Soient (X1 , T1 ), ...., (Xn , Tn ) des espaces topologiques et X = ∏ Xi muni de la topologie i=1 produit. Alors on a les propriétés suivantes : i) n N i=1 BXi ⊆ BX . ii) Si X1 , ..., Xn sont tous à bases dénombrables d’ouverts, alors n N i=1 BXi = BX . Démonstration n n N N i) Comme BX rend les projections de BXi mesurables (car elles sont continues), alors BXi ⊆ BX . i=1 i=1 ii) Soit O un ouvert de X, comme X1 , ..., Xn sont tous à bases dénombrables d’ouverts, alors on peut n n N i=1 i=1 écrire O = ∏ Oi où Oi est un ouvert de Xi , donc O ∈ BXi . Corollaire 1. On a BRn = n O BR i=1 . 1.2.2 Fonctions numériques mesurables Théorème 5. Soient (X, F ) un espace mesurable et (Y, T ) un espace topologique. Soient f , g : X 7−→ R deux applications mesurables et Φ : R2 7−→ Y une application continue. Alors l’application h : X 7−→ Y définie par h(x) = Φ( f (x), g(x)) pour tout x ∈ X, est mesurable. 14 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 1.2. FONCTIONS MESURABLES Démonstration Remarquons que h = ΦoG où G : X 7−→ R2 définie par G(x) = ( f (x), g(x)). La fonction G est mesurable (car les composantes sont mesurables) et Φ est mesurable (car il est continue) donc h est mesurable (composé mesurable). Corollaire 2. Soient (X, F ) un espace mesurable et f , g : X 7−→ R deux applications mesurables. Alors les fonctions f + g, f g, min( f , g) et max( f , g) sont mesurables. Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème 5 avec Y = R et Φ(x, y) = x + y, xy, min(x, y), max(x, y). Corollaire 3. Soient (X, F ) un espace mesurable et f , g : X 7−→ R deux applications mesurables. Alors les fonctions f + = max( f , 0), f − = max(− f , 0) et | f | sont mesurables. Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème 5 avec Y = R et Φ(x, y) = max(x, 0), max(−x, 0). D’autre part On a | f | = f + + f −. Proposition 8. Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R fonction mesurable. Si f (x) 6= 0 ∀x ∈ X, alors la fonction 1f est mesurable. Démonstration Comme 0 ∈ / Im( f ), alors on peut supposé que f est à valeurs dans R∗ . Soit ϕ : R∗ 7−→ R∗ définie par ϕ(x) = 1x . ϕ est continue sur R∗ donc il est mesurable et on a 1f = ϕo f . Rappels sur R = R ∪ {+∞, −∞} : 1.Relation d’ordre : On munit R de la relation d’ordre sur R, complétée de ∀a ∈ R − ∞ < a < +∞. R est donc totalement ordonné. 2.topologie : Les ouverts de R sont les unions d’intervalles de la forme [−∞, a[ , ]a, b[ , ]b, +∞] ∀ a, b ∈ R. R est un espace topologique compact. 3.structure borélienne : la tribu de Borel sur R est engendrée par les intervalles ]a, +∞] , a ∈ R. Attention ! Les opérations algébriques du corps R ne s’étendent pas à R. Exemple : a + b n’est pas défini si a = +∞ et b = −∞ (ou vice-versa). ab n’est pas défini si a = 0 et b = +∞ (ou b = −∞) (ou vice versa). Proposition 9. Soit (X, F ) un espace mesurable. Soit fn : X 7−→ R une suite de fonctions mesurables. Alors les fonctions supn fn , infn fn , limn fn et limn fn : X 7−→ R sont mesurables. En particulier si ( fn )n converge vers une fonction f , alors f est mesurable. 15 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Démonstration On sait que BR = σ({]a, +∞] /a ∈ R}). On pose g = supn fn , on a : (sup fn )−1 (]a, +∞]) = sup( fn−1 (]a, +∞])) n n = [ fn−1 (]a, +∞]) ∈ F n Ainsi g est mesurable. On pose h = infn fn on a h = − supn (− fn ), comme − fn est mesurable alors h est mesurable. Il reste à montrer que limn fn et limn fn sont mesurables. On a limn fn = infn supk≥n fk on déduit de ce qui précède que limn fn est mesurable, de même pour limn fn = supn infk≥n fk . Comme f = limn fn , alors f = limn fn = limn fn . 1.2.3 Fonctions étagées et théorème d’approximation Définition 9. Soit X un ensemble non vide. Soit f : X 7−→ R une fonction. On dit que f est étagée si f ne prend qu’un nombre fini de valeurs. En notant α1 , ..., αn les valeurs de f et Ai = f −1 (αi ) pour i = 1, ..., n, on a donc n f = ∑ αi χAi i=1 Remarque 6 Si (X, F ) est un espace mesurable, alors f est mesurable si et seulement si Ai ∈ F ∀ i ∈ {1, ..., n}. Le théorème suivant est appelé théorème d’approximation et sera très utile dans la suite. Il permet d’approcher toute fonction mesurable par des fonctions mesurables plus simples. On admet ce théorème : Théorème 6. + Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R une fonction mesurable. Alors il existe une suite croissante de fonctions mesurables étagées qui converge simplement vers f . Remarque 7 Si de plus f est bornée, alors la convergence peut être choisie uniforme. Corollaire 4. Soient (X, F ) un espace mesurable et f : X 7−→ R une fonction mesurable. Alors il existe une suite de fonctions mesurables étagées qui converge simplement vers f . Démonstration 1ere cas : Si f est positive, on conclut de théorème 6. 2eme cas : Si f est quelconque on pose f = f + − f − et applique le théorème 6 à chaque fonction. 16 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 1.3. MESURES POSITIVES 1.3 Mesures positives Dans tout ce paragraphe (X, F ) est un espace mesurable. Définition 10. + On appelle mesure positive sur (X, F ), tout application µ : F 7−→ R vérifiant : / =0 i) µ(0) ii) Pour toute suite (An )n≥1 d’éléments de F deux à deux disjoints on a µ( +∞ [ +∞ An ) = ∑ µ(An) n=1 n=1 Le triplet (X, F , µ)est appelé espace mesuré. Proposition 10. Soit (X, F , µ) un espace mesuré. Alors on a les propriétés suivantes : 1. Si A, B ∈ F et A ⊆ B, alors µ(A) 6 µ(B). 2. Si (An )n≥0 est une suite d’éléments de F , alors µ( [ An ) 6 ∑ µ(An) n≥0 n≥0 3. Si (An )n≥0 est une suite croissante d’éléments de F , alors µ( [ An ) = lim µ(An ) n7−→+∞ n≥0 4. Si (An )n≥0 est une suite décroissante d’éléments de F avec µ(A0 ) < +∞, alors µ( \ An ) = lim µ(An ) n≥0 n7−→+∞ Démonstration 1. On a B = A ∪ (B r A) or A ∩ (B r A) = 0/ donc µ(B) = µ(A ∪ (B r A)) = µ(A) + µ(B r A) et par suite on a µ(A) 6 µ(B). 2. Posons B0 = A0 , et ∀ n ≥ 1, Bn = An r n−1 S Ak . Pour tout n ∈ N on a S n≥0 k=0 17 An = S Bn . n≥0 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS De plus, (Bn )n≥0 est une suite d’éléments de F deux à deux disjoints et µ(Bn ) 6 µ(An ) pour tout n ∈ N, alors [ [ µ( An ) = µ( Bn ) = ∑ µ(Bn ) 6 ∑ µ(An ) n≥0 n≥0 n≥0 n≥0 3. Posons B0 = A0 , et ∀ n ≥ 1, Bn = An r An−1 , alors (Bn )n≥0 est une suite d’éléments de F deux à deux disjoints et ∀ n ≥ 0, An = n S Bk . Ainsi k=0 n µ(An ) = ∑ µ(Bk ) 7−→ k=0 ∑ µ(Bn) = µ( n≥0 [ Bn ) = µ( n≥0 [ An ) n≥0 4. Posons B0 = A0 et Bn = A0 r An pour tout n ∈ N∗ . Alors (Bn )n≥0 est une suite croissante d’éléments de F . Pour terminé la démonstration il suffit d’utiliser la propriété 3. Exemple 7 1. Mesure de comptage Soit X un ensemble non vide, Sur (X, P (X)), on définit la mesure de comptage µ(A), A ⊆ X par ( card(A) si A est fini µ(A) = +∞ sinon 2. Mesure de Dirac Soit (X, F ) un espace mesurable et soit x ∈ X, on définit la mesure de Dirac µ(A), A ∈ F par ( 1 µ(A) = 0 si x ∈ A sinon Remarque 8 La condition µ(A0 ) < +∞ du (4) de la proposition 7 est nécessaire. En effet, considérons (N, P (N)) T / muni de la mesure de comptage et considérons An = {n, n + 1, n + 2....}, alors An+1 ⊆ An et An = 0, n mais ∀ n ∈ N µ(An ) = +∞. 1.4 Espaces L p Soit (X, F , µ) un espace mesurable, on note par M(X, F , R), l’espace vectoriel de fonctions F mesurables de X vers R et soit p un réel tel que 1 6 p < +∞. Définition 11. Soit f ∈ M(X, F , R). On dit que f ∈ L p si | f | p dµ < +∞. Dans ce cas on pose : R k f kp = Z p 1 p | f | dµ l’espace L p est appelé espace de Lebesgue. 18 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1.4. ESPACES LP 1 Lemme 1. Soient a, b ∈ R+ et 1 6 p < +∞, 1 6 q < +∞ deux réelles conjugués c-à-d alors on a : ab 6 1 p + q1 = 1, a p bq + p q Démonstration Comme la fonction x 7−→ ln(x) est concave (car ln" (x) = − x12 6 0) alors on a : ln(tx + (1 − t)y) ≥ tln(x) + (1 − t)ln(y) pour tout x, y ∈ R+ ∗ et t ∈ [0, 1] Posons t = 1 p = 1 − q1 et x = a p et y = bq donc on a : 1 1 1 1 1 1 ln( a p +(1− )bq ) ≥ ln(a p )+(1− )ln(bq ) = pln(a)+(1− )qln(b) = ln(a)+ln(b) = ln(ab) p p p p p p Comme la fonction x 7−→ exp(x) est croissante alors on a : 1 p 1 a + (1 − )bq ≥ ab p p . Proposition 11. Soient f , g : X 7−→ R deux applications F -mesurables et soient p, q ∈ [1, +∞[ conjugués tels que f ∈ L p et g ∈ Lq . Alors f g ∈ L1 et on a l’inégalité suivante : k f gk1 6 k f k p kgkq (∗) L’inégalité (*) est appelé l’inégalité de Hölder. Démonstration On pose a = k|ffk|p et b = |f| kgkq .D’après le lemme précédent on a : | f g| | f |p |g|q 6 + p q k f k p kgkq pk f k p qkgkq Ce qui est donne l’inégalité suivante : | f g| 6 k f k p kgkq | f | p k f k p kgkq |g|q + p q pk f k p qkgkq 19 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS Par passage à l’intégrale on a : Z k f k p kgkq | f | p k f k p kgkq |g|q + )dµ p q pk f k p qkgkq Z Z k f k p kgkq | f | p k f k p kgkq |g|q ( )dµ + ( )dµ p q pk f k p qkgkq Z Z k f k p kgkq k f k p kgkq p | f | dµ + |g|q dµ p q pk f k p qkgkq k f k p kgkq k f k p kgkq p q p k f kp + q kgkq pk f k p qkgkq k f k p kgkq k f k p kgkq + p q 1 1 k f k p kgkq ( + ) p q k f k p kgkq . Z | f g|dµ 6 ( = = = = = = Lemme 2. Soient a, b ∈ R+ et α ∈ [1, +∞[. Alors on a l’inégalité suivante : (a + b)α 6 2α−1 (aα + bα ) . Démonstration Comme la fonction x 7−→ xα est convexe (car (xα )" = α(α − 1)xα−2 ≥ 0) alors on a : (tx + (1 − t)y)α 6 txα + (1 − t)yα pour tout x, y ∈ R+ ∗ et t ∈ [0, 1]. On a donc (a + b)α = ( 12 2a + 21 2b)α 6 21 (2a)α + 12 (2b)α = 2α α α 2 (a + b ). Proposition 12. Soient f , g : X 7−→ R deux applications F -mesurables tel et p ∈ [1, +∞[ tel que f , g ∈ L p . Alors on a : k f + gk p 6 k f k p + kgk p (∗∗) L’inégalité (**) est appelé l’inégalité de Minkowski. Démonstration On a d’après le lemme précédent : kf Soit q = p p−1 + gk pp Z = p | f + g| dµ 6 2 p−1 Z ( p | f | dµ + Z |g|q dµ) < +∞. le conjugué de p. Alors on a : k f + gk pp 6 Z | f || f + g| p−1 dµ + Z |g|| f + g| p−1 dµ 6 k| f + g| p−1 kq (k f k p + k g k p ) 20 d’après Hölder AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1.4. ESPACES LP 1 D’autre part, comme Z k| f + g| p−1 kq = ( | f + g| p ) p−1 p = (k| f + g|k) p−1 Alors on a : k f + gk pp 6 (k| f + g|k) p−1 (k f k p + kgk p ) Ceci donne l’inégalité cherchée. Proposition 13. L’espace L p est un espace vectoriel normé. Démonstration Soient f , g ∈ L p et α ∈ R. D’après l’inégalité de Minkowski on a : k f + αgk p 6 k f k p + kαgk p = k f k p + |α|kgk p < +∞ Donc f + αg ∈ L p . On a définie la norme de L p dans la définition 11. Le théorème suivant est d’un usage constant en analyse et en probabilité. Il porte les noms de théorème de Lebesgue et de théorème de la convergence dominée. Théorème 7. Soient (X, F , µ) un espace mesuré et 1 6 p < +∞. Soit ( fn )n≥1 une suite d’éléments de L p qui converge µ − p.p vers une fonction F -mesurable f : X 7−→ R. On suppose qu’il existe g ∈ L p positive telle que | fn | 6 g µ − p.p ∀n ≥ 1 Alors f ∈ L p et fn −→ f dans L p . Démonstration Considérons hn = | fn − f | p , on a hn −→ h = 0 µ − p.p et on a de plus : |hn | 6 (| fn | + | f |) p 6 2 p−1 (| fn | p + | f | p ) 6 2|g| p Comme 2|g| p est µ-intégrable alors on a : lim R n7−→+∞ 21 | fn − f | p dµ = 0 ( théorème de Lebesgue). AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 1 CHAPITRE 1. RAPPELS 22 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM Chapitre 2 Théorème des classes monotones fonctionnelles 2.1 Théorème des classes monotones ensemblistes 2.1.1 π-système et λ-système de parties d’un ensemble Il est souvent intéressant de travailler sur des familles plus simple que des tribus, et les notions suivantes seront utiles dans la suite. Définition 12. Soit X un ensemble non vide. Un π-système est une famille de parties de X, stable par intersection finie et contenant X. Exemple 8 Soit X = R, l’ensemble Γ = {] − ∞, a], a ∈ R} ∪ {R} est un π-système sur R. Définition 13. Soit X un ensemble non vide. Un λ−système sur X est une famille de parties de X, stable par différence et par réunion dénombrable croissante. Exemple 9 Soit X = R, la famille T = {A ⊆ X / A = −A} est un λ-système sur R. Définition 14. Soit X un ensemble non vide. Une classe monotone sur X est une famille de parties de X, sable par réunion dénombrable croissante et par intersection dénombrable décroissante. Exemple 10 Soit X = R, la famille Γ = {I ⊂ R / I est un intervalle de R} est une classe monotone sur R. En effet : S i) Soit (In )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ et x, y ∈ n≥1 In , alors il existe (n, m) ∈ N2 tel que x ∈ In et y ∈ Im . S Si n = m on a [x,y] ⊆ In ( car In est un intervalle ) et donc [x,y] ⊆ n≥1 In . S Si n < m on a In ⊆ Im donc [x,y] ⊆ Im et par suite [x,y] ⊆ n≥1 In . T ii) Soit (In )n≥1 une suite décroissante d’éléments de Γ et x, y ∈ n≥1 In donc x, y ∈ In ∀ n ≥ 1. T T Comme In est un intervalle, alors [x,y] ⊆ In ∀n ∈ N∗ et par suite [x,y] ⊆ n≥1 In , d’où n≥1 In ∈ Γ. 23 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES Proposition 14. Soient X un ensemble non vide et F ⊆ P (X), alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 1- F est une tribu sur X. 2- F est un π-système et un λ-système sur X. 3- F est une algèbre et une classe monotone sur X. Le lemme suivante est appelé le lemme de Dynkin : Lemme 3. Soit X un ensemble non vide. Soient C ⊆ P (X) un π-système sur X et F un λ-système sur X tel que C ⊆ F alors : σ(C ) ⊆ F Démonstration Soit F0 le plus petit λ-système sur X contenant C (il existe, car il suffit de prendre l’intersection des λ-système sur X contenants C ). On pose Γ1 = {A ∈ F0 / ∀C ∈ C A ∩C ∈ F0 } Γ1 est un λ-système contenant C . En effet : i) Soit A, B ∈ Γ1 et C ∈ C on a A r B ∈ F0 et de plus on a : (A r B) ∩C = (A ∩ Bc ) ∩C = (A ∩C) ∩ Bc = (A ∩C) r B Comme A ∩C ∈ F0 et F0 est un λ-système alors (A r B) ∩C ∈ F0 , d’ou A r B ∈ F0 . ii) Soit (An )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ1 et C ∈ C . Pour tout n ≥ 1 on a An ∈ F0 S S S S et An ∩C ∈ F0 , n≥1 An ∈ F0 et n≥1 (An ∩C) ∈ F0 . Or n≥1 (An ∩C) = ( n≥1 An ) ∩C ∈ F0 S d’où n≥1 An ∈ Γ1 . Comme C est un π-système, alors C ⊆ F0 . Par minimalité de F0 on a F0 ⊆ Γ1 . On pose Γ2 = {A ∈ F0 / ∀C ∈ F0 A ∩C ∈ F0 } . De même on montre que Γ2 est un λ-système sur X . On a C ⊆ Γ2 ,. En effet, soit C ∈ C , comme F0 ⊆ Γ1 , alors A ∩C ∈ F0 , d’où C ∈ Γ2 . Par minimalité de F0 on a F0 ⊆ Γ2 , puisque F0 contient C , alors F0 est un π-système sur X, d’après la proposition 1, F0 est une tribu sur X. D’ou σ(C ) ⊆ F . 2.1.2 Théorème des classes monotones Le théorème suivant est appelé le théorème des classes monotones ensemblistes, il sera utile dans la suite pour montrer le théorème de classes monotones fonctionnelles de Dynkin. 24 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 2.1. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES ENSEMBLISTES Théorème 8. Soit X un ensemble non vide. Soit A ⊆ P (X) une algèbre sur X Alors : σ(A ) = M (A ) Démonstration On a σ(A ) est une classe monotone contenant A , donc M (A ) ⊆ σ(A ). D’une part on pose : M1 = {A ∈ M (A ) / Ac ∈ M (A )} i) On a M1 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M1 . D’autre part on pose M2 = {A ∈ M (A )/ ∀B ∈ A A ∪ B ∈ M (A )} ii) On a M2 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M2 . On considère maintenant M3 = {A ∈ M (A ) / ∀ B ∈ M (A ) A ∪ B ∈ M (A )} iii) On a M3 est une classe monotone sur X contenant A , donc M (A ) ⊆ M3 . Par suite M (A ) est une algèbre sur X, d’après la proposition 1, M (A ) est une tribu sur X, d’où σ(A ) ⊆ M (A ). Le résultat suivant est important, il permet de prouver l’unicité de l’extension des mesures dans le théorème de Hahn-Caratheodory. Proposition 15. Soient (X, F ) un espace mesurable et A une algèbre sur X telle que F = σ(A ). Soient µ et ν deux mesures finies sur F telles que µ = ν sur A . Alors : µ = ν sur F . Démonstration Soit Γ = {A ∈ F / µ(A) = ν(A)} On a Γ est une classe monotone sur X contenant A . En effet : i) Soit (An )n≥1 une suite croissante d’éléments de Γ. On a pour tout n ∈ N∗ µ( +∞ [ n=0 µ(An ) = ν(An ). On a An ) = lim µ(An ) = lim ν(An ) n n +∞ [ = ν( An ) n ii) Soit (An )n≥1 une suite décroissante d’éléments de Γ. On a µ( +∞ \ n=0 An ) = lim µ(An ) = lim ν(An ) n n +∞ \ = ν( An ) n 25 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES Or A ⊆ Γ (car µ = ν sur A ), donc M (A ) ⊆ Γ, d’après le théorème des classes monotones ensemblistes on a σ(A ) = M (A ). Remarque 9 La proposition 10 reste vraie si les mesures µ et ν sont σ-finie sur A . 2.1.3 Mesure de Stieltjes Définition 15. Soit F : R 7−→ R une application. On dit que F est une fonction de répartition sur R si : 1- F est croissante et continue à droite. 2- lim F(x) = 0, lim F(x) = 1. x→−∞ x→+∞ Remarque 10 Si F : R 7−→ R est une fonction de répartition alors la limite à gauche existe en tout point de R. En effet : Soient n ∈ N∗ et x0 ∈ R on a F(x0 − n1 ) 6 F(x0 + 1n ) (car F est croissante) comme F est continue en x0+ alors limn→+∞ F(x0 + n1 ) = F(x0 ), donc limn→+∞ F(x0 − 1n ) existe (car la suite réelle (F(x0 − n1 ))n est croissante majorée) . Exemple 11 Soit µ une mesure positive sur R tel que µ(R) = 1. On pose F(x) = µ(] − ∞, x]) F est une fonction de répartition sur R. En effet : i) Si x, y ∈ R tels que x ≤ y on a µ( ] − ∞, x]) ≤ µ(] − ∞, y]) F(x) ≤ F(y). ii) Soit x0 ∈ R. On a \ 1 ] − ∞, x0 ] = ] − ∞, x0 + ] n n≥1 (car ] − ∞, x] ⊆] − ∞, y]), d’où Donc 1 1 ] − ∞, x0 + ]) = lim µ(] − ∞, x0 + ]) n n n n≥1 µ(] − ∞, x0 ]) = µ( \ 1 = lim F(x0 + ) n n D’où F est continue à droit en x0 . iii) On a 1 = µ(R) = µ( [ ] − ∞, n]) n≥1 = lim µ(] − ∞, n]) n = lim F(n) n 26 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 2.1. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES ENSEMBLISTES Et on a / = µ( 0 = µ(0) \ ] − ∞, −n]) n≥1 = lim µ(] − ∞, −n]) n = lim F(−n) n Donc F est une fonction de répartition sur R. Théorème 9. Soit F une fonction de répartition sur R, alors il existe une mesure finie µ sur BR tel que : F(x) = µ(] − ∞, x]) La mesure µ est appelée la mesure de Stieltjes associe à F. Démonstration Soit S = {]a, b], ]c, +∞[, ] − ∞, d] / a, b, c, d ∈ R et a 6 b} S est un semi-anneau sur R, on définit une application µ sur S a valeurs dans R ∪ {+∞, −∞} par : µ([a, b[) = F(b) − F(a), µ([c, +∞[) = 1 − F(c), µ(] − ∞, d[) = F(d). On note par C (S) le clan engendrée par S. On a [ C (S) = { Si / I f inie, Si ∈ S et Si ∩ S j = 0/ pour i 6= j} i∈I Soit A ∈ C (S) c-à-d A = S i∈I Si avec I finie. On pose µ(A) = ∑ µ(Si ). i∈I On vérifie que µ(A) ne dépend que de A. Ainsi on définit une application µ : C (S) 7−→ R l’application µ définie ci-dessus est une mesure positive σ-finie sur C (S). Donc d’après le théorème de Hahn-Caratheodory, elle se prolonge d’une manière unique en une mesure positive σ-finie sur σ(C (S)) = BR . L’unicité dans le théorème de Hahn-Caratheodory est assurée par la proposition 14. 2.1.4 Notion de l’indépendance Définition 16. Soit (Ω, F ) un espace mesurable. On appelle probabilité (ou mesure de probabilité) sur (Ω, F ) toute mesure positive P sur F telle que P(Ω) = 1. On dit que (Ω, F , P) est un espace probabilisé. On dit aussi que P est une loi de probabilité, ou simplement une loi. 27 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES Définition 17. On appelle variable aléatoire toute application mesurable définie sur un espace probabilisé (Ω, F , P). Définition 18. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. On dit que deux sous tribus A , B de F sont P-indépendantes si ∀ A ∈ A et ∀ B ∈ B on a P(A ∩ B) = P(A)P(B) Proposition 16. Si C1 et C2 sont deux algèbres indépendantes dans l’espace probabilisé (Ω, F , P), alors les tribus σ(C1 ) et σ(C2 ) sont indépendantes. Démonstration Soit A ∈ C1 . On pose M1 = {B ∈ σ(C2 ) / P(A ∩ B) = P(A)P(B)} M1 est une classe monotone sur Ω. Des événements indépendants de A contient C2 . Elle contient donc la classe monotone engendrée par C2 qui est égale à σ(C2 ) d’après le théorème des classes monotones ensemblistes. Soit à présent un élément B ∈ σ(C2 ). On pose M2 = {A ∈ σ(C1 ) / P(A ∩ B) = P(A)P(B)} M2 est une classe monotone sur Ω. Des événements indépendants de B contient C1 d’après le point précédent, et donc σ(C1 ). La conclusion s’ensuit. Remarque 11 Il suffirait de considérer dans la proposition précédente des familles C1 et C2 stables par intersection finie. La définition d’indépendance se formule de façon équivalente en terme de variables aléatoires. Définition 19. Deux variables aléatoires réelles X, Y sont dites indépendantes si les tribus σ(X) et σ(Y ) sont indépendantes. Le résultat suivant est très pratique. 28 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES Proposition 17. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilité. Soit X, Y deux variables aléatoires réelles sur (Ω, F , P), alors X, Y sont indépendantes si et seulement si P(X 6 x,Y 6 y) = P(X 6 x)P(Y 6 y) ∀x, y ∈ R équivalent à F (X,Y ) = F X ⊗ F Y Où F (X,Y ) (resp. F X et F Y ) désigne la fonction de répartition de vecteur aléatoire (X,Y ) (resp. variable aléatoire X et Y ). Démonstration ⇒) Supposons que σ(X) et σ(Y ) sont indépendantes. Soit x, y ∈ R, on pose A = X −1 (] − ∞, x]) et B = Y −1 (] − ∞, y]) Il est clair que A ∈ σ(X) et B ∈ σ(Y ) donc P(A ∩ B) = P(A)P(B). ⇐) Supposons que P(X 6 x,Y 6 y) = P(X 6 x)P(Y 6 y) ∀x, y ∈ R. On pose C1 = {X −1 (B), B ∈ BR } et C2 = {Y −1 (B), B ∈ BR } Il est clair que C1 et C2 sont stables par intersection finie. Comme BR = σ(] − ∞, a], a ∈ R) alors P(A ∩ B) = P(A)P(B) ∀ A ∈ C1 et ∀ B ∈ C2 . Donc d’après la proposition 15, les tribus σ(X) et σ(Y ) sont indépendantes. 2.2 Théorème des classes monotones fonctionnelles 2.2.1 Définitions et notations Soit X un ensemble non vide. On désigne par E l’espace vectoriel des fonctions bornées définies de X a valeurs réelles. On munit E par la norme de la convergence uniforme, k f k∞ = supx∈X | f (x)|. Définition 20. Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par convergence bornée si pour toute suite ( fn )n≥1 de fonctions de H tel que : i) Il existe M < ∞ tel que | fn (x)| 6 M ∀n ∈ N , ∀x ∈ X. ii) limn fn (x) existe pour tout x ∈ X. Alors limn fn ∈ H . Définition 21. Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par convergence monotone si pour toute suite ( fn )n≥1 de fonctions positive croissante et bornée de H on a limn fn ∈ H . 29 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES Définition 22. Soit H un sous-espace vectoriel de E . On dit que H est stable par multiplication si et seulement si f g ∈ H pour tout f , g ∈ H . Notations 1. Soit M un sous-ensemble de E . On note par σ(M ) la tribu engendrée par M c’est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) qui rend les fonctions de M mesurables. On vérifie que σ( M ) = σ( f −1 (B), B ∈ BR , f ∈ M ) On note par b(σ(M )) l’espace vectoriel de fonctions de E , σ(M ) − BR mesurables. Il est facile de voir que M ⊆ b(σ(M )). 2. Soit H un sous-espace vectoriel de E . On définie l’ensemble M H par : M H = { f g/ f ∈ M et g ∈ H } 2.2.2 Théorème de Dynkin Le théorème suivant est appelé le théorème des classes monotones de Dynkin. Ce théorème permet de prouver beaucoup de résultats dans la théorie de l’intégration et des probabilités. Théorème 10. Soit H un sous-espace vectoriel de E tel que : 1- 1 ∈ H . 2- H stable par convergence monotone. Soit M un sous-ensemble de E tel que M ⊆ H et stable par multiplication. Alors H contient les fonctions bornées σ(M )-mesurables. Démonstration L’ensemble E des fonctions réelles bornées sur X est un espace vectoriel. On peut ainsi considérer H0 le plus petit sous-espace vectoriel de E qui vérifie les conditions 1 et 2 de théorème 10 et contenant M . Il suffit de montrer que H0 contient les fonctions bornées mesurables par rapport à σ(M ). On a σ(M ) ⊆ σ(H0 ) (car σ(H0 ) rend les fonctions de M mesurables), donc b(σ(M )) ⊆ b(σ(H0 )). Le résultat sera prouvé si on montre que b(σ(H0 )) = H0 , pour cela on montre les deux lemmes suivants : Lemme 4. H0 est stable par multiplication. Démonstration Soit f ∈ H0 , considérons l’ensemble H f définie par : H f = { g ∈ H0 / f g ∈ H0 } 1). H f est un sous-espace vectoriel de E . En effet, Soient h, g ∈ H f et α ∈ R, on a αh + g ∈ H0 et f (αh + g) = α f h + f g ∈ H0 , d’où αh + g ∈ H f . 30 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES 2). H f est stable par convergence monotone. En effet : Soit (gn )n≥1 une suite de fonctions positive croissante et bornée de H f et soit g = limn gn . On a f gn = ( f + k f k)gn − k f kgn donc ( f + k f k)gn ∈ H0 et par passage à la limite on a f g = ( f + k f k)g − k f kg. Comme ( f + k f k)gn (respectivement k f kgn ) est croissante positive et bornée et H0 stable par convergence monotone alors ( f +k f k)g ∈ H0 (respectivement k f kg ∈ H0 ), donc f g ∈ H0 , d’où g ∈ H f . 3). Si f ∈ M alors M ⊆ H f (*) (car M est stable par multiplication et M ⊆ H0 ). On a encore 1 ∈ H f donc par minimalité de H0 on a H0 ⊆ H f . Remarquons que M H0 ⊆ H0 (**). En effet, soit k ∈ M H0 on a k = hg, avec h ∈ M et g ∈ H0 , d’après (**) on a g ∈ H f donc f g ∈ H0 , puisque f est quelconque dans M alors hg ∈ H0 . 4). Soit maintenant f ∈ H0 , d’après (**) on a M ⊆ H f et par minimalité de H0 on a H0 ⊆ H f , d’où H f = H0 . Lemme 5. Si H0 est stable par multiplication alors b(σ(H0 )) ⊆ H0 . Démonstration 1) Montrons que H0 est stable par l’application valeur absolue. Soit f ∈ H0 , alors | f | ∈ H0 . En effet, on suppose que | f | < 1 (Quitte à remplacer f par | ffk ). On a |f| = q +∞ 1 − (1 − f 2 ) = 1 − ∑ αn (1 − f 2 )n n=0 avec αn ≥ 0. En effet : Soit x ∈ R tel que |x| < 1 on a √ 1− 1−x = +∞ ∑ αn x n n=0 √ n avec αn = g n!(0) et αn ≥ 0 où g(x) = 1 − 1 − x, on remplace x par 1 − f 2 (x) car |1 − f 2 (x)| 6 1, ∀x ∈ X. Donc | f (x)| = q +∞ 1 − (1 − f (x)2 ) = 1 − ∑ αn(1 − f (x)2)n ∀x ∈ X n=0 Soit Un (x) = ∑nk=0 αn (1 − f 2 (x))k est une suite positive croissante et bornée de H0 (car H0 est stable par multiplication) et limn Un (x) = 1 − | f (x)|, comme H0 est stable par convergence monotone, alors 1 − | f (x)| ∈ H0 et par suite | f | ∈ H0 . On a encore pour tout f, g∈ H0 f +g+| f −g| ∈ H0 sup( f , g) = 2 in f ( f , g) = f +g−| f −g| 2 ∈ H0 2) On considère F = {A ⊆ X / XA ∈ H0 } F est une tribu sur X en effet : i) On a X ∈ H0 (car 1 ∈ H0 ). ii) Soit A ∈ F , on a XAc = 1 − XA ∈ H0 . 31 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES iii) Soit (An )n≥1 une suite d’éléments de F . On a χ∪n≥1 An = supn≥1 χAn ∈ H0 . 3) On a F = σ(H0 ). En effet, soit A ∈ F on a A = XA−1 ({1}) ∈ σ(H0 ) (car XA ∈ H0 et {1} ∈ BR ), d’où F ⊆ σ(H0 ). Réciproquement il suffit de montrer que F rend les fonctions de H0 mesurables. Soit f ∈ H0 on suppose que f est positive, on sait que BR = σ( [a, +∞[ / a ∈ R∗+ ). On a f −1 ([a, +∞[) = { x ∈ X / f (x) ≥ a } f (x) = {x∈X / ≥1} a Quitte à remplacer af par f et on pose gn (x) = (in f ( f (x), 1))n , gn est une suite de fonctions de H0 positives croissantes et bornées et de plus gn converge vers la fonction X{ f ≥1} . Comme H0 est stable par convergence monotone alors X{ f ≥1} ∈ H0 . Ce qui montre que { f ≥ 1} ∈ F . Si maintenant f est quelconque sur H0 , on pose g = f +k f k, comme g est positive alors g est F -mesurable et f = g−k f k est F -mesurable (comme somme de fonctions mesurables), d’où σ(H0 ) ⊆ F . 4). On montre que b(F ) ⊆ H0 . soit f ∈ b(F ), on suppose que f est positive alors d’après le théorème d’approximation il existe ( fn )n≥1 une suite de fonctions croissantes positives F -mesurable telle que fn est converge vers f . pn fn = ∑ ai,n XAi,n ∀n ∈ N i=1 Or Ai,n ∈ F alors XAi,n ∈ H0 , comme H0 est stable par convergence monotone alors f ∈ H0 . Si f est quelconque dans b(F ), on pose g = f + k f k. Nous pouvons à présent conclure la démonstration du théorème. On sait que H0 ⊆ b(σ(H0 )). Enfin, le lemme 3 montre que H0 = b(σ(H0 )). Remarque 12 Le théorème 3 reste vrai si H0 est stable par convergence bornée. Le corollaire suivant est la version la plus utilisé en pratique. Corollaire 5. Soit H un sous-espace vectoriel de E , stable par convergence monotone et contient les constantes. Soit C une famille de parties de X telle que : 1- C stable par intersection finie. 2- XA ∈ H ∀A ∈ C . Alors H contient les fonctions bornées σ(C )-mesurables. Démonstration 1ére Méthode : Soit M = {XA / A ∈ C } On a par hypothèse H est stable par convergence monotone et 1 ∈ H , d’après la condition 2 de théorème 4 on a M ⊆ H . M est stable par multiplication en effet : Soient A, B ∈ M on a XA XB = XA∩B , comme A ∩ B ∈ C , alors M est stable par multiplication. D’après le théorème des classes monotones de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Il reste donc à montrer que σ(M ) = σ(C ), pour cela soit A ∈ C . On rappelle que σ( M ) = σ( f −1 (B), B ∈ BR , f ∈ M ) On a A = XA−1 ({1}) ∈ σ(M ) (car XA ∈ M et {1} ∈ BR ), donc C ⊆ σ(M ), d’où σ(C ) ⊆ σ(M ). Réciproquement soit f ∈ M , il existe A ∈ C tel que f = XA et comme A ∈ σ(C ) (car A ∈ C ) alors f est σ(C )-mesurable d’où σ(M ) ⊆ σ(C ). 32 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 2.2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES 2éme Méthode : Soit M = {A ⊆ X/ χA ∈ H } i) M est une classe monotone sur X. En effet : Soit (An )n≥0 une suite d’éléments croissante de M, on a χ S An = sup χAn = lim χAn (car An est croissante). Comme (χAn )n est une suite croissante bornée n≥0 n7−→+∞ d’éléments de H (car An ∈ M) et H est stable par convergence monotone, alors χ S An ∈ H , d’où n≥0 S An ∈ M. De même on montre que M est stable par intersection décroissante. d’où M est une classe n≥0 monotone sur X. ii) Il est facile de voir que C ⊆ M donc M (C ) ⊆ M or d’après le théorème des classes monotones ensembliste on a M (C ) = σ(C ). iii) Montrons que b(σ(C )) ⊆ H , pour cela soit f ∈ b(σ(C )). 1ére cas : Si la fonction f est positive alors d’après le théorème d’approximation il existe une suite croissante de fonctions étagées σ(C ) mesurables qui converge vers f . Comme H est stable par convergence monotone alors f ∈ H . 2éme cas : Si la fonction f n’est pas positive, on pose f = f + − f − , comme f + , f − ∈ H , alors f ∈ H . 33 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 2 CHAPITRE 2. THÉORÈME DES CLASSES MONOTONES FONCTIONNELLES 34 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM Chapitre 3 APPLICATIONS 3.1 Identification des mesures Proposition 18. Soit (X, F ) un espace mesurable et soit µ, ν deux mesures de probabilité sur (X, F ). Soit H = { f : X 7−→ R, bornée F − mesurable telle que : Z Z f dµ = f dν } Alors pour toute partie M de H stable par multiplication, on a µ = ν sur σ(M ). Démonstration i) Il est clair que H est un sous-espace vectoriel de E . ii) On a 1 ∈ H (car µ(X) = ν(X) = 1 < ∞). iii) H est stable par convergence monotone, en effet, soit ( fn )n≥1 une suite d’éléments de H positive, croissante et bornée. Comme fn est bornée mesurable alors limn fn l’est. D’après le théorème de Beppo-Levi on a : Z Z Z Z lim n fn dµ = lim fn dµ et lim n n fn dν = lim fn dν n Donc limn fn dµ = limn fn dν, d’où limn fn ∈ H . Or M est stable par multiplication, alors d’après le théorème des classes monotone de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Soit maintenant A ∈ σ(M ), donc R R XA ∈ H c-à-d que XA dµ = XA dν et par suite on a µ(A) = ν(A). R R Proposition 19. 0 0 Soient (Ω, F , P) un espace de probabilité et X, Y , X et Y des variables aléatoires sur (Ω, F , P) telle que : 0 0 E( f (X)g(Y )) = E( f (X )g(Y )) pour toute fonctions f , g : R 7−→ R, mesurables bornées. Alors on a : 0 0 E(h(X,Y )) = E(h(X ,Y )) pour toute fonction h : R2 7−→ R, mesurable bornée. 35 3 CHAPITRE 3. APPLICATIONS Démonstration Soit 0 0 H = {h : R2 7−→ R, borélienne bornée telle que : E(h(X,Y )) = E(h(X ,Y ))} i) On a H est un sous-espace vectoriel de fonctions bornées de R2 à valeurs réelles. ii) En appliquant le théorème de Beppo-Levi, on a H est stable par convergence monotone. iii) On a 1 ∈ H . On pose : M = {h : R2 7−→ R, borélienne bornée telle que : h = f ⊗ g ∀ f , g : R 7−→ R, mesurables bornées} Il est clair M est une partie de H , stable par multiplication. D’après le théorème des classes monotones de Dynkin le sous-espace vectoriel H contient les fonctions bornées σ(M )-mesurable. Pour terminer la démonstration il suffit de prouvé que σ(M ) = BR2 , on sait que BR2 = σ({A × B / A ∈ BR et B ∈ BR }) On a XA×B (x, y) = XA (x)XB (y), comme XA et XB sont BR -mesurable, alors XA×B ∈ M , et donc elle est σ(M )-mesurable, ce qui montre que A × B ∈ σ(M ), d’où BR2 ⊆ σ(M ), puisque BR2 rend les fonctions de M mesurable, alors σ(M ) ⊆ BR2 . 3.2 Théorèmes de densité et approximations dans les espaces de Lebesgue L p 3.2.1 Théorème de densité Le théorème de densité suivant est très utile. Il permet de montrer les résultats de densité d’espaces de fonctions dans les L p . Théorème 11. Soient (X, F , µ) un espace mesuré et 1 6 p < +∞. Soit M une sous-algèbre de fonctions bornée F -BR mesurables tel que : 1- M ⊆ L p et σ(M ) = F . 2- Il existe une suite de fonctions (ψk )k de M bornée telle que limk ψk = 1. Alors M est dense dans L p . Démonstration Soit k ∈ N fixé et H est l’ensemble des fonctions f : X 7−→ R bornée F -mesurable telle qu’il existe une suite de fonctions ϕkn de M telle que lim k ϕkn − ψk f k p = 0}. n7−→+∞ i) On a H est un sous espace de l’espace de fonctions bornée de X à valeurs réelles. En effet : Soient f , g ∈ H et α ∈ R, il existe ϕkn ⊆ M (resp. θkn ⊆ M ) telle que lim k ϕkn − ψk f k p = 0 n7−→+∞ (resp. lim kθkn − ψk gk p = 0), on a ϕkn + αθkn est une suite d’éléments de M (car M est un espace n7−→+∞ vectoriel) et on a kϕkn + αθkn − ψk ( f + αg)k p = kϕkn − ψk f + α(θkn − ψk g)k p 6 kϕkn − ψk f k p + |α|kθkn − ψk g k p −→ 0 ii) Comme (ψk )k est une suite d’éléments de M , alors 1 ∈ H . iii) On a H est stable par convergence monotone. En effet : Soit ( fn )n≥1 une suite de fonctions 36 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE LP 3 croissante positive et bornée de H et soit f = lim fn , on a lim ψk fn = ψk f et |ψk fn | 6 Nψk ∈ L p n n avec N est tel que | fn | 6 N ∀ n ∈ N, car M ⊆ L p , d’après le théorème de Lebesgue ψk f ∈ L p et lim kψk fn − ψk f k p = 0. D’autre part comme fn ∈ H pour tout n ∈ N∗ , alors il existe une suite ϕkn de n fonctions de M telle que kϕkn − ψk fn k p 6 n1 . On a : kϕkn − ψk f k p = kϕkn − ψk fn + ψk fn − ψk f k p 6 kϕkn − ψk fn k p + kψk fn − ψk f k p 1 6 + kψk fn − ψk f k p n D’où lim kϕkn − ψk f k p = 0 et par suite f ∈ H . n On a M ⊆ H et elle est stable par multiplication car H est une algèbre. D’après le théorème des classes monotones de Dynkin on a b(F ) ⊆ H , car σ(M ) = F , soit maintenant f ∈ L p , montrer qu’il existe une suite de fonctions ϕn de M telle que lim kϕn − f k p = 0, pour cela on pose hn = n ψn X{| f |6n} f , on a lim hn = f . Soit C > 0 telle que |ψn (x)| 6 C et donc |hn | 6 C| f | ∈ L p , d’après n7−→+∞ le théorème de convergence dominée on a lim kψn X{| f |6n} f − f k p = 0, soit gn = X{| f |6n} f , gn est une suite d’éléments de b(F ) et par suite gn n est une suite d’éléments de H , donc il existe ϕn une suite d’éléments de M telle que kϕn − ψn X{| f |6n} f k p 6 n1 . On a : kϕn − f k p = kϕn − ψn X{| f |6n} f + ψn X{| f |6n} f − f kp 6 kϕn − ψn X{| f |6n} f k p + kψn X{| f |6n} f − f k p 1 + kψn X{| f |6n} f − f k p 6 n D’où lim kϕn − f k p = 0 et par suite M est dense dans L p . n • La densité de Cc (R, R) dans L p Définition 23. Soit f : R 7−→ R une fonction réelle. On appelle le support de f l’ensemble notée supp( f ) et définie par : supp( f ) = {x ∈ R/ f (x) 6= 0} On note par Cc (R, R) l’ensemble de fonctions réelles continues à support compact. Remarque 13 Avec la convention 0 ∈ Cc (R, R), on a Cc (R, R) est un espace vectoriel. On note par E espace vectoriel de fonctions bornées de R à valeurs dans R. Théorème 12. le plus petit sous-espace vectoriel H de E contenant Cc (R, R) stable par convergence monotone et contenant les constantes, coincide avec l’espace de fonctions bornées (BR ,BR )mesurables. 37 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3 CHAPITRE 3. APPLICATIONS Démonstration On a b(BR ) est un sous-espace vectoriel de E stable par convergence monotone et 1 ∈ b(BR ) et on a de plus Cc (R, R) ⊆ b(BR ). En effet : Soit f ∈ Cc (R, R), supp( f ) est un compact de R, on peut écrire supp( f ) = [a, b] avec a, b ∈ R et a < b, comme f est continue alors f est BR -mesurable. D’autre part puisque f est continue alors f ([a, b]) est encore compact de R donc f est bornée. Par minimalité de H on a H ⊆ b(BR ). Réciproquement on pose M = Cc (R, R). M est stable pat multiplication. En effet, soient f , g ∈ Cc (R, R) on a f = χsupp( f ) f , supp( f ) = {x ∈ R/ f (x) 6= 0} g = χsupp(g) g, supp(g) = {x ∈ R/ g(x) 6= 0} 1ére cas : Si supp( f ) ∩ supp(g) = 0/ alors f g = 0, d’après la remarque précédent 0 est à support compact. 2éme cas : Si supp( f ) ∩ supp(g) 6= 0/ on a f g = χsupp( f ) f χsupp(g) g = χsupp( f )∩supp(g) f g, donc f g est continue et elle est à support compact car supp( f ) ∩ supp(g) est un compact, d’où M est stable par multiplication. D’après le théorème des classes monotone de Dynkin on a b(σ(M )) ⊆ H . Pour terminer la démonstration il suffit de montrer que σ(M ) = BR . Puisque BR rend les fonctions de M mesurables alors σ(M ) ⊆ BR . Réciproquement on sait que BR = σ({]a, b[ / a, b ∈ R et a 6 b}) pour tout a, b ∈ R tels que a < b on définie la fonction f par : x−a+1 si a − 1 6 x 6 a 1 si a < x < b f (x) = −x + b + 1 si b 6 x 6 b + 1 0 en dehors On a f ∈ M et ]a, b[= f −1 ({1}) ∈ σ(M ), d’où BR ⊆ σ(M ). On désigne par λ la mesure de Lebesgue sur R. Théorème 13. l’espace Cc (R, R) est dense dans L p . Démonstration Soit M = Cc (R, R). On a Cc (R, R) est un sous-algèbre de fonctions BR -mesurables. 1)- On a M ⊆ L p et σ(M ) = BR . En effet : i) Soit f ∈ M . On pose supp( f ) = [a, b], donc | f (x)| 6 Supx∈[a,b] | f (x)| on a : Z | f (x)| p p dλ 6 Supx∈[a,b] Z p χ[a,b] dλ = Supx∈[a,b] (b − a) < +∞ ii) On a σ(M ) = BR (déjà vue). 2)- Considérons la suite de fonctions (ψn )n≥1 définie par : x+n+1 si −n − 1 6 x 6 −n 1 si −n < x < n ψn (x) = −x + n + 1 si n 6 x 6 n + 1 0 en dehors On a limn ψn = 1, d’après le théorème de densité on a Cc (R, R) est dense dans L p . 38 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3 3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE LP Théorème 14. Soient (X, F , µ) un espace mesuré et p ∈ [1, +∞[. Soit A une algèbre sur X telle que σ(A ) = F on pose : S (A , µ) = { f : R 7−→ R F −mesurable, f = ∑ ai χAi , I est f ini, ai ∈ R, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞} i∈I Alors si µ est σ-finie sur A , S (A , µ) est dense dans L p . Démonstration On pose M = S (A , µ). M est une sous algèbre de fonctions F -mesurables. En effet : n m i=1 j=1 i) Soient f , g ∈ M et α ∈ R, f = ∑ ai χAi , g = ∑ b j χB j , on a ( f + αg) = ∑(ai + αb j )χAi ∩B j ∈ M i, j car Ai ∩ B j ∈ A et µ(Ai ∩ B j ) < +∞ (car Ai ∩ B j ⊆ Ai ). ii) On a f g = ∑ ai b j χAi ∩B j ∈ M . i, j On a M ⊆ L p et σ(M ) = F . En effet : i) Il est clair que M ⊆ L p . ii) Montrer que σ(M ) = F . Comme µ est σ-finie sur A , alors il existe une suite croissante (An )n≥1 S An et µ(An ) < +∞ pour tout n ≥ 1. On a par hypothèse σ(A ) = F . d’éléments de A tel que X = n≥1 On a σ(M ) ⊆ σ(A ) (car les fonctions de M sont σ(A )-mesurables ). Réciproquement soit A ∈ A on pose fn = χAn ∩A , ( fn )n est suite d’éléments de M car An ∩ A ∈ A et µ(An ∩ A) 6 µ(An ) < +∞, par suite fn est σ(M )-mesurable pour tout n ≥ 1. On a lim sup fn = χlim sup(An ∩A) = χ∪n≥1 (An ∩A) = χA . lim inf fn = χlim inf(An ∩A) = χ∪n≥1 (An ∩A) = χA . Donc limn fn = χA , d’où χA est σ(M )-mesurable et par suite A ∈ σ(M ) donc A ⊆ σ(M ) ce qui est implique que σ(A ) ⊆ σ(M ). Soit ψn = χAn pour tout n ≥ 1, (ψn )n≥1 est suite d’éléments de M et de plus on a limn ψn = 1. D’après le théorème de densité, on a S (A , µ) est dense dans L p . Théorème 15. Soient (X, F , µ) un espace mesuré et p ∈ [1, +∞[. Soit A une algèbre dénombrable sur X telle que σ(A ) = F on pose : D = {∑ ai χAi : I f ini ai ∈ Q, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞} i∈I Alors si µ est σ-finie sur A , D est dénombrable et elle est dense dans L p . Démonstration n Il suffit de montrer que D est dense dans S (A , µ). Soit f ∈ S (A , µ), f = ∑ ai χAi , Comme Q est dense i=1 dans (R, |.|) alors pour tout i ∈ N∗n il existe une suite (an,i )n à valeurs dans Q telle que limn an,i = ai . n considérons la suite de fonctions ( fn )n définie par fn = ∑ ai,n χAi , il est clair que ( fn )n est une suite i=1 d’éléments de D et elle est converge simplement vers f. Or pour tout i ∈ N∗n on a limn an,i = ai donc 39 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3 CHAPITRE 3. APPLICATIONS n il existe Mi > 0 tel que |an,i | 6 Mi et on a | fn | 6 ∑ Mi χAi ∈ L p , d’après le théorème de Lebesgue on i=1 a limn k fn − f k p = 0. Par suite D est dense dans S (A , µ), or S (A , µ) est dense dans L p donc D est dense dans L p . n On a D est dénombrable. En effet : Considérons Dn = { ∑ ai χAi : ai ∈ Q, Ai ∈ A , µ(Ai ) < +∞} i=1 Soit Ψ l’application définie par : Ψ: Dn 7−→ Qn × A n n P = ∑ ai χAi 7−→ Ψ(P) = ((a1 , a2 , ..., an ), (A1 , A2 , ..., An )) i=1 Il est clair que Ψ est injective. Comme Q et A sont dénombrable alors Qn et A n sont l’est (produit cartésienne fini) et donc Qn × A n est dénombrable (encore produit cartésienne fini) il existe donc une injection Φ de Qn × A n dans N on pose θ = Φ ◦ Ψ est une application injective de Dn dans N et par suite Dn est dénombrable (car il suffit une injection). D’autre part on a D = +∞ S Dn donc D est n=1 dénombrable (c’est la réunion dénombrable d’ensembles dénombrables). 3.2.2 L’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire réelle Théorème 16. Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé et soit A une sous tribus de F . Soit X une variable aléatoire réelle sur (Ω, F , P) intégrable. Alors il existe une unique variable aléatoire réelle Y intégrable telle que : i) YR est A -mesurable. R ii) A Y dP = A XdP pour tout A ∈ A . Démonstration 1ére cas : Si X est positive, dans ce cas on définit une application ν sur l’espace (Ω, A , P) par : Z ν(A) = pour tout A ∈ A XdP A ν est une mesure sur (Ω, A , P) absolument continue par rapport à P (Voir chapitre 1). Comme P est σ-finie sur A (car P est finie) alors d’après le théorème de Radon-Nikodym il existe Y une variable R R R aléatoire positive A -mesurable telle que ν(A) = A Y d P pour tout A ∈ A c-à-d A Y d P = A Xd P pour tout A ∈ A . 2éme cas : Si X n’est pas positive sur Ω, dans ce cas on pose X = X + − X − , on définit de même ν1 et ν2 deux mesures sur (Ω, F , P) commeRdans le premier cas, il existe Y1 Ret Y2 variables aléatoires R + positives A -mesurable telle que ν1 (A) = A Y1 d P pour tout A ∈ A c-à-d Y d P = A X d P pour R R R − A 1 tout A ∈ A et ν2 (A) = A Y2 d P pour tout A ∈ A c-à-d A Y2 d P = A X d P pour tout A ∈ A . On R R pose Y = Y1 − Y2 , d’une part on a Y est A -mesurable et d’autre part on a A Y d P = A Xd P pour tout A ∈ A . Définition 24. La variable aléatoire Y définie dans le théorème 10 est appelée espérance conditionnelle de X sachant A , notée E(X|A ). 40 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3 3.2. THÉORÈMES DE DENSITÉ ET APPROXIMATIONS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE LP Théorème 17. Soit (Ω, F , P) un espace probabilisé et soit A une sous tribus de F . Soit X une variable aléatoire réelle sur (Ω, F , P) intégrable. Alors pour tout Z variable aléatoire sur (Ω, A , P) bornée on a : Z Z XZdP = E(X|A )ZdP Ω Ω Démonstration On pose : H = {Z : Ω 7−→ R A − mesurable bornée telle que Z Z XZdP = Ω E(X|A )ZdP} Ω i) On a H est un sous espace vectoriel de fonctions bornées de Ω à valeurs réelle. ii) On a 1 ∈ H . EnR effet : LaRfonction 1 est A -mesurable bornée et comme Ω ∈ A alors d’après le théorème 16 on a Ω XdP = Ω E(X|A )dP. iii) H est stable par convergence monotone. En effet : Soit (Zn )n≥1 une suite croissante positive et bornée de fonctions de H on pose Z = limn Zn . Si X est positive alors E(X|A ) l’est, et on a (XZn )n≥1 est croissante positive et limRn XZn = XZ R (resp. limn E(X|A )Zn = E(X|A )Z), d’après le théorème de Beppo-Levi on a Ω XZdP = Ω E(X|A )ZdP. R R + − + Si X est quelconque on pose X = X − X . On a Ω X ZdP = Ω E(X + |A )ZdP et R R − − + − Ω X ZdP = Ω E(X |A )ZdP, or E(X|A ) = E(X |A ) − E(X |A ) (Voir la démonstration de théorème 16), on a : Z Z XZdP = Ω + − (X − X )ZdP = Ω Z ZΩ = ZΩ = ZΩ = + X ZdP − Z (X − ZdP Ω + E(X |A )ZdP − Z E(X − |A )ZdP Ω (E(X + |A ) − E(X − |A ))ZdP E(X|A )ZdP Ω Soit M =R {χA / A ∈ A }. On a M ⊆ H en effet R: D’après le théorème (16) on a R R A Xd P = A E(X|A )d P pour tout A ∈ A c-à-d Ω XχA d P = Ω E(X|A )χA d P . D’autre part l’ensemble M est stable par multiplication en effet : On a χA χB = χA∩B ∈ M pour tout A, B ∈ A (car A est une sous tribu de F ). D’après le théorème des classes monotones de Dynkin on a H contient les fonctions bornées σ(M )-mesurables (i-e b(σ(M )) ⊆ H ). Pour terminé la démonstration il suffit de montrer que σ(M ) = A , Comme la tribu A rend les fonctions de M mesurables, alors par minimalité de σ(M ) on a σ(M ) ⊆ A . Réciproquement Soit A ∈ A , remarquons que A = χ−1 A ({1}) ∈ σ(M ). Théorème 18. Soient (Ω, F )un espace mesurable et X1 , X2 , ...., Xd des variables aléatoires réelles sur (Ω, F ). Soit Y : Ω 7−→ Rn une application σ(X1 , X2 , ...., Xd )− BRn mesurable. Alors il existe une application f : Rd 7−→ Rn borélienne telle que Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ). Démonstration Cas où n = 1 : On pose T = σ(X1 , X2 , ...., Xd ). 41 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM 3 CHAPITRE 3. APPLICATIONS Soit H l’ensemble des fonctions Y : Ω 7−→ R positive bornée T -mesurable telle que ∃ f : Rd 7−→ R borélienne telle que Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ). i) On a H est un sous espace vectoriel de fonctions bornées de Ω a valeurs réels. ii) H est stable par convergence bornée. On pose C = {X1−1 (A1 ) ∩ X2−1 (A2 ) ∩ .... ∩ Xd−1 (Ad ) / Ai ∈ BR } et M = {XC / C ∈ C }. Comme C est stable par intersection finie alors M est stable par multiplication, de plus on a σ(M ) = σ(X1 , X2 , ...., Xd ) et d’après le théorème des classes monotone de Dynkin on a b(σ(X1 , X2 , ...., Xd )) ⊆ H . Si f est bornée et n’est pas positive on pose f = f + − f − ∈ H , puis on passe au cas des variables aléatoires positives en utilisant le théorème d’approximation, puis des variables aléatoires quelconques en posant f = f + − f − . Cas où n > 1 : Soient Y1 ,Y2 , ...,Yn les composantes de Y, d’après le premier cas il existe une application fi : Rd 7−→ R borélienne telle que Yi = fi (X1 , X2 , ...., Xd ), pour tout i ∈ {1, 2, ..., n}. Considérons l’application f : Rd 7−→ Rn définie par : f (x1 , ..., xd ) = ( f1 (x1 , ..., xd ), ..., fn (x1 , ..., xd ) pour tout (x1 , ..., xd ) ∈ Rd , f est une application borélienne (car les composantes sont boréliennes) et de plus on a Y = f (X1 , X2 , ...., Xd ). 42 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM Bibliographie [1] Ph. Barbe, M. Ledoux : probabilités. Paris, Toulouse, septembre 2006 [2] W. Rana, Introduction to Measure and Integration, third ed., Springer-Verlag, New York, 2009. [3] Daniel R EVUZ. Mesure et intégration. Paris : Hermann, 1997. [4] Daniel R EVUZ. Probabilités. Paris : Hermann, 1997. [5] http ://www.wikipedia.org 43 3 BIBLIOGRAPHIE 44 AIT BELHOUSSAINE BRAHIM