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Cours de mathématique pour 1ère anné Bac
Erraji Elmahdi
July 17, 2016
Contents
1 Introduction à la logique
1.1 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Assertion . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Opérateurs . . . . . . . . . . . . .
1.2 Assertion a paramétre et quantificateur .
1.2.1 Assertion a paramétre . . . . . . .
1.2.2 Quantificateur . . . . . . . . . . .
1.3 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . .
1.3.2 Raisonnement par contraposé . . .
1.3.3 Absurde . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Raisonnement par contre exemple
1.3.5 Réccurence . . . . . . . . . . . . .
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5
5
5
2 Ensembles et applications
2.1 Ensembles: . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définisions . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Opérations sur les ensemble . . . .
2.1.3 Régles de calcules . . . . . . . . .
2.1.4 Produit cartésien . . . . . . . . . .
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Image direct et Image réciproque:
2.2.3 Injection, Surjection et Bijection .
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1
Chapter 1
Introduction à la logique
1.1
1.1.1
Logique
Assertion
Définition Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux
en mme temps.
Une assertion est noté par un des symbole latin p, q, r, ...
Example Les phrase suivante sont des assertions:
• p: Il pleut.
• q: Je suis plus grand que toi.
• r: 2 + 2 = 4
• k: Pour tout x ∈ R on a x2 ≥ 0.
La phrase suivant n’est pas une assertion:
p(x,y): x et y sont des elements de R tel que: x ≤ y
1.1.2
Opérateurs
Définition soit p et q deux assertions :
1. L’assertion ”p et q” est vraie lorsque p est vraie et q est vraie.
2. L’assertion ”p ou q” est vraie si au moins l’une des deux est vraie.
3. L’assertion ”¬p” est vraie lorsque p est fausse (L’opérateur de négation)
4. L’assertion ”p ⇒ q” est vraie si au moin ¬p est vraie ou bien q est
vraie (L’implication)
5. L’assertion ”p ⇔ q” est vraie si les deux sont vraie ou bien les deux
sont fausses. (L’équivalence)
2
Algébre
Professeur: Elmahdi Erraji
Tableau de vérité:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p et q
1
0
0
0
p ou q
1
1
1
0
p⇒q
1
0
1
1
¬p
0
0
1
1
Proposition 1.1.1 soit p, q, r trois assertions alors on a:
1. p ⇔ ¬(¬p)
2. p et q ⇔ q et p
3. p ou q ⇔ q ou p
4. ¬(p ou q) ⇔ ¬q et ¬p
5. ¬(p et q) ⇔ ¬q ou ¬p
6. (p et (q ou r)) ⇔ (p et q) ou (p et r)
7. (p ou (q et r)) ⇔ (p ou q) et (p ou r)
8. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Preuve Exercice: utilisez le tableaux de vérité.
1.2
1.2.1
Assertion a paramétre et quantificateur
Assertion a paramétre
Définition une assertion a paramétre est une phrase mathématique qui
dépends d’un paramétre appartenant à un ensemble arbitraire. Elle devient
une assertion lorsqu’on fixe le paramétre.
Example p(x) = ”x ≥ 1” x ∈ R est une assertion à paramétre.
p(5) est une assertion vraie.
1.2.2
Quantificateur
Définition soit p(x) x ∈ E une assertion à paramétre.
• L’expression ∀x ∈ E p(x), est vraie lorsque p(x) est vraie pour toute
x dans E. ∀ est le quantificateur universel.
• L’expression ∃x ∈ E p(x), est vraie lorsqu’il existe x dans E tel que
p(x) est vraie. ∃ est le quantificateur existentielle.
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Algébre
Professeur: Elmahdi Erraji
• L’expression ∃!x ∈ E p(x), est vraie lorsqu’il existe un unique élément
x de E tel que p(x) est vraie.
Example
• ”∀x ∈ [0.1] (x2 ≥ 1)” est une assertion vraie.
• ”∃x ∈] − ∞, 0[ (x ≥ 0)” est une assertion fausse.
La négation des quantificateur
• La négation de ”∀x ∈ E p(x)” est ”∃x ∈ E ¬p(x)”.
• La négation de ”∃x ∈ E p(x)” est ”∀x ∈ E ¬p(x)”.
1.3
Raisonnement
1.3.1
Raisonnement direct
C’est l’argument la plus classique est le plus utiliser comme argument pour
montrer les assertions on se basant sur des hypothèses. Si ona des donnée
(hypothèses) sous forme d’assertion p et on veut montrer la vérité d’une
autre assertion q, on justifie la vérité de l’assertion p ⇒ q puis on conclue la
vérité de q on se basant sur p.
si p est vrai et p ⇒ q est vraie alors q est vraie.
Example soit a, b ∈ Q montrer que a + b ∈ Q??
p
p0
et b = 0 avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
q
q
pq 0 + qp0
⇒ a+b=
avec p, p0 ∈ Z et q, q 0 ∈ N
qq 0
⇒ a+b∈Q
a ∈ Q et b ∈ Q ⇒ a =
1.3.2
Raisonnement par contraposé
Parfois les raisonnement direct parait inefficace pour ateindre notre objectif.
Dans ce cas on considère la nègation du résultat comme hypothèse et la
nègation de l’hypothèse est le résultat espéré, puisqu’on a:
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)
Example Soit n ∈ N montrons que n2 est pair alors n est pair:
Preuve nous supposons que n est impaire est montrons que n2 est impaire.
on a:
n impaire ⇒ n = 2k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 4k 2 + 4k + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 = 2(2k 2 + 2k) + 1 avec k ∈ N
⇒ n2 impair
d’où n2 pair ⇒ n pair
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Algébre
1.3.3
Professeur: Elmahdi Erraji
Absurde
Le raisonnement par l’absurde pour montrer que p ⇒ q consiste à admettre
que ¬q et p et vrai afin de trouver une contradiction.
Example Soit a, b ≥ 0 montrons que
a
b
=
⇒ a = b.
1+b
1+a
a
b
=
et a 6= b.
1+b
1+a
alors on a : a(1+a) = b(1+b) ⇒ a2 −b2 = −(a−b) ⇒ (a−b)(a+b) = −(a−b)
et puisque a − b 6= 0 on peut déviser par a − b
ce qui donne : a + b = −1. Or a et b sont des nombre positifs ce qui est
a
b
absurde donc
=
⇒ a = b est vrai.
1+b
1+a
Preuve Supposons que
1.3.4
Raisonnement par contre exemple
Si on veut montrer que l’assertion ”∀x ∈ E p(x)” est vrai il suffit de montrer
que p(x) est vrai pour tout x dans E. Ce qui est pas le cas si on veut montrer
que ”∀x ∈ E p(x)” est fausse il suffit de trouver un seul élément x de E tel
que p(x) est fausse. Le x en question et appeler le contre exemple.
1.3.5
Réccurence
Le principe de Réccurence permet de montrer qu’une assertion p(n), dépendante
d’un entier naturel n est vraie pour tout n. La démonstration se fait en deux
étape:
1. Etape 1 (Initialisation) : Montrer que p(0) est vrai.
2. Etape 2 (Induction) : Monter que p(n) ⇒ p(n + 1)∀n ∈ N est vrai
5
Chapter 2
Ensembles et applications
2.1
Ensembles:
2.1.1
Définisions
Définition un ensemble est une collection d’elément. On note les ensembles
par des lettre majuscule.
Example voici des exemple sur les ensembles:
• A = {0, 1, 2}
• B = {pain, lait, fromage}
• C = {a, b, c}
• un ensemble particulier qui ne contient aucun élément est l’ensemble
vide : ∅ = {}
Une autre facon pour définir un ensemble c’est de décrire ces élément
par une proprieté :
A = {x ∈ E / p(x) est vraie }
[0, 1] = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 1}
On dit que x appartiens à E si x figure parmi les élément de E. On écrit
x ∈ E.
x∈
/ E c’est la négation de x ∈ E.
6
Algébre
2.1.2
Professeur: Elmahdi Erraji
Opérations sur les ensemble
Définition Soit E, F et G trois ensemble:
• On dit que E ⊂ F si tout élément de E est élément de F .
(E ⊂ F ) ⇔ (∀x x ∈ E ⇒ x ∈ F )
• l’égalité E = F si E ⊂ F et F ⊂ E.
• P (E) l’ensemble des parties de E. C’est la collection de tous les sous
ensemble de E.
• Complémentaire: si A ⊂ E, le complémentaire de E est définit comme
suit:
Ac = {x ∈
/ A /x ∈ E}
• union: soit A, B ∈ E.
A ∪ B = {x ∈ E / x ∈ A ou x ∈ B}
• intersection: soit A, B ∈ E.
A ∩ B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B}
2.1.3
Régles de calcules
soit A, B et C trois sous-ensemble de E.
1. A ∩ B = B ∩ A
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. A ∩ ∅ = ∅ et A ∩ E = A
4. A ∪ B = B ∪ A
5. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
6. A ∪ ∅ = A et A ∪ E = E
7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
9. A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac
10. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
11. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
Essayer d’amuser a prouver les propriétés précédente c’est un bon exercice de logique.
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Algébre
2.1.4
Professeur: Elmahdi Erraji
Produit cartésien
Définition E et F deux ensembles. le produit cartésien de E par F est
l’ensemble des couples (x, y) où (x ∈ E et y ∈ F ).
E × F = {(x, y) / x ∈ E et y ∈ E}
Example :
1. R2 = R × R = {(x, y) / x ∈ R et y ∈ R}
2. [0, 1] × R = {(x, y) / x ∈ [0, 1] et y ∈ R}
2.2
Applications
2.2.1
Définitions
Définition soit E et F deux ensembles. Une application f : E −→ F , c’est
la donnée pour chaque éleément x ∈ E un unique élément f (x) de F .
Définition :
• Soit f, g : E −→ F deux application alors:
f = g ⇔ ∀x ∈ E; f (x) = g(x)
• Soit f : E −→ F et g : F −→ E deux applications. Le composé de f
et g est l’application:
g ◦ f (x) = f (g(x))
.
Example L’identité c’est l’application idE : E −→ E qui envoie x de E
vers lui même. (idE (x) = x)
2.2.2
Image direct et Image réciproque:
Soit E et F deux ensembles:
Définition Soit A ⊂ E et f : E −→ F . L’image direct de A par f est
l’ensemble :
f (A) = {f (x) ∈ F / ∈ E}
.
Soit B ⊂ F . L’image réciproque de B par f est l’ensemble:
f −1 (B) = {x ∈ E / f (x) ∈ B}
Antécédents : Soit y ∈ F les élément x de E tel que y = f (x) sont
appelés les antécédent de y par f .
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Algébre
2.2.3
Professeur: Elmahdi Erraji
Injection, Surjection et Bijection
Définition soit E, F deux ensembles f : E −→ F une application.
• f est surjective si :
∀x, y ∈ E(x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
• f est injective si :
∀y ∈ F ∃x ∈ E / f (x) = y
• f est bijectif si :
∀y ∈ F ∃!x ∈ E / f (x) = y
Proposition 2.2.1 f est bijective si et seulement s’elle est injective et surjective.
Preuve Exercice.
Proposition 2.2.2 Soit E et F des ensembles et f : E −→ F .
1. L’application f est bijectif si et seulement s’il existe une application
g : F −→ E tel que g ◦ f = idE .
2. Si f est bijectif alors l’application g est unique et bijective. g est appelé
l’application réciproque de f , noté f −1 de plus (f −1 )−1 = f .
Preuve (Execice**)
Proposition 2.2.3 soit f : E −→ F et g : F −→ G deux application
bijectives alors g ◦ f est bijective et :
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
Preuve Exercice*
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