Espaces métriques produits

Espaces métriques produits
1 Introduction
La topologie produit va nous permettre de fabriquer des espaces métriques . Mais
il faudra la définir en sorte que les propriétés topologiques des espaces qui composent
le produit remontent sur la topologie du produit. Ainsi, si les espaces de départ sont
compacts, ou connexes, il sera appréciable qu’il en soit de même de leur produit.
2 Notions de base
On considère dans ce chapitre une famille d’espaces métriques
Xi di i 1 k
et
soit
k
X
∏ Xi i 1
Définition On appelle métrique produit la métrique d : X
par : si x x1 xk X et y y1 yk X alors
d x y
X
IR définie
k
sup di xi yi i 1
Démonstration On vérifie sans peine que l’application ainsi définie sur X est bien
une métrique .
On peut alors énoncer la définition :
Définition L’espace (X,d) est l’espace métrique produit des
Xi di i 1 k .
Proposition Soit r>0 et x x1 xk X. Soit B x r la boule de X de rayon x
et de centre r relative à la métrique d . Notons, pour i=1..k, B xi r i la boule de Xi de
centre xi et de rayon r relative à la métrique di . Alors B x r =B x1 r 1 B xk r k .
Démonstration Soit y y1 yk B x r . Alors, pour tout i=1,...,k, on a di xi yi r
et donc yi B xi r i .
Réciproquement, si, pour tout i=1,...,k, yi vérifie di xi yi r alors d x y r et y B x r .
Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur Xi l’application
Πi : X Xi qui à un élément x x1 xk de X associe Πi x xi .
Proposition Les applications Πi pour i=1,..,k sont 1-Lipschitzienne et sont donc
continues .
Démonstration C’est immédiat, via la définition des Πi .
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Proposition Les projecteurs sont des applications ouvertes .
Démonstration Soit i un entier compris entre 1 et k et soit U un ouvert de (X,d).
On veut montrer que Πi est ouverte, ce qui revient à montrer que Πi (U) est un ouvert
de Xi di . Soit x un point de U. Comme U est ouvert, on peut trouver une boule ouverte B x r incluse dans U . Mais cette boule est, comme nous l’avons vu, de la forme
B x1 r 1 B xk r k . Donc Πi ( B x r )=B xi r i . Cette dernière boule est donc incluse dans Πi (U), ce qui nous prouve que Πi (U) est ouvert et que Πi est une application
ouverte .
Proposition La topologie induite par la métrique produit est la moins fine pour
laquelle les projecteurs sont continues. C’est donc la topologie produit.(Cf les espaces
topologiques produits).
Démonstration On sait déjà que les projecteurs sont continues pour la métrique
produit . Montrons donc que cette topologie est la moins fine pour laquelle cela fonctionne. Supposons qu’il existe une topologie moins fine, , que celle conséquente à
la métrique produit et pour laquelle les projecteurs sont continues. Cela signifie qu’il
existe des ouverts de (X,d) qui ne sont pas éléments de . Comme les projecteurs
sont continues, les boules B x r =B x1 r 1 B xk r k sont des ouverts de . Des
réunions de telles boules sont donc encore des ouverts de . Mais tout ouvert de (X,d)
est réunion de ces boules. (En effet, par définition d’un ouvert U dans un espace métrique, pour tout élément x de U, on peut trouver un réél positif rx tel que la boule de
centre x et de rayon rx est incluse dans U. En prenant la réunion de toutes ces boules
pour chaque x appartenant U, on obtient U.) Donc tout ouvert de (X,d) est ouvert de et la topologie de (X,d) est équivalente à la topologie . On a ainsi bien montré que la
topologie définie par la métrique produit était équivalente à la topologie produit.
3 Suites dans un espace métrique produit
Théorème Soit xn n IN une suite de X. xn n IN est convergente sur X pour la topologie (métrique) produit si et seulement si ses suites coordonnées sont convergentes
pour la topologie de l’espaces auxquels elles appartiennent. De plus, la limite de la
suite xn n IN est égale à ( lim x1n ,..., lim xkn ).
n ∞
n ∞
Démonstration Soit la suite d’éléments de X xn n IN = x1n xkn n IN où xin n IN
incluse dans Xi .
On sait que si un application f est continue en un point x d’un espace métrique (X,d)
vers un espace métrique (Y,d) alors si xn n IN est une suite convergeant vers x, on
lim f xn = f ( lim xn ) . D’autre part, les applications Πi sont continues pour i=1,...,k.
n ∞
n ∞
Donc lim xin = lim Πi xn =Πi ( lim xn )=xi et les suites xin sont bien convergentes sur Xi
n ∞
n ∞
n ∞
. De plus, leur limite est xi .
Montrons maintenant que si les suites coordonnées xin n IN Xi pour i=1,..,k convergent
2
vers xi Xi alors la suite xn n IN = x1n xkn n IN converge vers x x1 xk X .
Pour ce faire, prenons ε 0 ainsi qu’une boule B x ε =B x1 ε 1 B xk ε k dans X.
Pour tout i=1..k, il existe N i ε i nIN tel que si n>N i ε alors xin B xi ε i . Prenons
N ε
k sup N i ε i 1
On peut alors affirmer que si n>N ε alors xn B x ε .
4 Application continue sur un espace métrique
On considérera ici, en plus de l’espace métrique produit (X, demment, un espace métrique (Y,d’).
déjà définit précé-
Proposition L’application f : Y X est continue sur Y pour les métriques respectives de X et Y si et seulement si les applications Π ! f sont continues sur Y pour
tout i=1,..,k.
Démonstration Supposons que f est continue sur Y. Alors comme la composée
de deux applications continues est continue , les applications Π ! f sont continues pour
tout i=1,..,k.
Supposons maintenant que, pour tout i=1,..,k, Π ! f est continue. Pour montrer que f
est continue sur Y, il suffit qu’elle soit continue en chaque point x de Y . Prenons donc
x dans Y et choisissons une suite xn n IN de points de Y convergeant vers x. Montrer
que f est continue en x revient à montrer l’égalité lim f xn = f ( lim xn ) . Si l’on note,
n ∞
n ∞
pour tout i=1,...,k, fi Πi ! f , on a, d’après le théorème précédent sur les suites coordonnées lim f xn =( lim f1 xn ,..., lim fk xn ). Mais comme les applications fi sont
n ∞
n ∞
n ∞
continues en x, ( lim f1 xn ,..., lim fk xn )= f1 x " fk x n ∞
n ∞
montré l’égalité voulue et f est bel et bien continue en x
f x . On a donc bien
Proposition Soit (X,d) un espace métrique. L’application d : X X #
IR est
continue ( et même 2-Lipschitzienne ) sur X X muni de la topologie produit héritée
de la métrique d.
Démonstration Posons
δ: X
X
X
X
IR
x1 y1 $ x2 y2 2
δ n’est rien d’autre que la métrique
produit héritée de d sur X
(
d x2 y2 %'& 2 sup d xi yi & 2 δ x1 y1 $ x2 y2 ( Cqfd.
sup d xi yi "
i 1
X. De plus % d x1 y1 5 Propriétés des espaces métriques produits
On renvoit ici aux cours sur les espaces connexes , les espaces complets et les espaces métriques compacts .
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