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4Math
Fonction ln & exp Février 2012
Mbarki .J
Exercice N°1 :
Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x) = 2 + (2 - x)e2x. On désigne par ( ) courbe représentative
 
dans un repère orthogonal O, i , j  (unité graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)
1) Déterminer la limite de f en  .
2) a) Déterminer la limite de f en  .
b) En déduire que la courbe ( ) admet une asymptote () dont on donnera une équation.
c) Etudier les positions relatives de ( ) et () .
3) a) Montrer que f '(x) = (3 - 2x) e2x, où f ' désigne la fonction dérivée de f.
b) Donner une équation de la tangente T à ( ) au point d'abscisse 0.
c) Tracer () , T puis ( ) .
4) Soit G la fonction définie pour tout nombre réel x par : G(x) = 
1 2x 5 2x
xe  e
4
2
Montrer que G est une primitive de la fonction g définie pour tout nombre réel x par g(x) = (2 - x)e2x .
5) a) Hachurer la partie A du plan limitée par, la droite d'équation y = 2 et l'axe des ordonnées.
b) Calculer l'aire de A. En donner la valeur exacte en unités d'aire.
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm², à 10-2 près.
Exercice N°2 :
u et v sont les fonctions définies sur IR dont on donne, ci-contre les
courbes représentatives.
1) a) A l’aide des graphiques, donner le signe de chacune des
fonctions u et v
b) En déduire que f = ln  u et g = ln  v sont définies sur IR.
2) a) Indiquer, à l’aide des graphiques, les limites u et v en -  et en + .
b) En déduire les limites des fonctions f et g en –  et en + .
Exercice3
On a représenté ci-contre deux courbes représentatives
(C1) et (C2) d’une fonction f et de sa primitive F définies sur IR.
1. Justifier que (C2) est celle de la fonction f.
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ;1]. Calculer
l’aire de la partie du plan limitée par (C2), l’axe des abscisse
et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
3. Soit G la fonction définie par : G (x) =
ò
0
x
f (t )dt
a. Etudier le sens de variation de G.
b. Montrer que la représentation graphique Γ de G est l’image de (C1) par la translation de vecteur - 2 j .
4. Soit la fonction h définie par : h(x) = ln(f(x)).
a) Préciser le domaine de définition de h.
b) Dresser le tableau de variation de h.
Exercice N°4 :
Pour tout un entier naturel, on pose : I n =
ò
1
0
tn
dt
1+ t
1. a) Montrer que la suite (In) est décroissante.
1
1
et déduire la limite (In).
£ In £
2 (n + 1)
n+ 1
b) Montrer que pour tout
2. Montrer que pour tout n Î
1
.
1+ n
k+ 1 1
1
*
, on a : ò
dt £ .
k
t
k
k= n
1
*
, on a : å
³ ln (n + 1). Déduire lim
n® + ¥
k= 1 k
, on a : I n+ 1 + I n =
3. a) Montrer que pour tout k Î
b) Déduire que pour tout n Î
k= n
1
.
k
k= 1
å
k= n
4. Pour tout n Î
*
. On pose Sn =
å
I k . Déterminer lim S n .
n® + ¥
k= 1
Exercice N°5 :
I- Soit la fonction g définie sur]0 ;1] par : g (x)= 2 - 2x + ln x
1) Etudier le sens de variation de g.
ù 1é
úû 2 êë
2) Montrer que g(x) = 0 admet dans ú0, êune solution unique α et que : " t Î [a ,1]on a : 2t - 2 £ ln t .
3) Construire la courbe de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i , j )(Unité : 4cm).
4) Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et
x=
1
2
ù 1é
úû 2 êë
II- Soit F la fonction définie sur ú0, êpar : F (x) =
ò
x
2x
1
dt .
ln (t )
æx ö
ln çç ÷
÷
çè 2 ÷
ù 1é
ø
1) Montrer que F est dérivable ú0, ê sur et que : F '(x) =
.
úû 2 êë
ln (2 x)ln (x)
ù 1é
ú
û 2 êë
2) Montrer que " x Î ú0, êon a :
x
x
. Déterminer alors : lim+ F (x) .
£ F (x ) £
x® 0
ln (2 x )
ln (x )
é 1é
êë 2 êë
3) Montrer que : " x Î êa , ê, on a : F (x) £
1 2 x dt
. Déterminer alors : lim- F (x) .
æ1 ö
2 òx t - 1
÷
x ® çç ÷
÷
çè 2 ÷
ø
4) Dresser le tableau de variation de F.
5) a- Montrer que " n Î
*
ù 1é
úû 2 êë
l’équation : 1 + n F(x) = 0 admet dans ú0, êune solution a n .
b- Montrer que (a n ) est une suite décroissante et qu’elle est convergente