Mecanqiue Generale - Chapiter 10 - THEORIE DU CHOC

S-Q-MOTAI-R-E
1ERE. PARTIE
CHOC ET PERCUSSIONS : THEOREMES GENERAUX
10.1.1. IMPULSION D'UNE FORCE - DEFINITION
768
A. Impulsion élémentaire
B. Impulsion intégrée
C. Dimension de l'impulsion
D. Remarques
1-0.1.2. FORME IMPULSIVE DE LA LOI FONDAMENTALE
771
10.1.3. DEFINITION D'UN PHENOMENE DE CHOC
771
A. Caractéristiques d'un phénomène de choc
771
B. Résultats complémentaires
773
10.1.4. THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL
773
A. Théorème de la somme géométrique
774
B. Théorème du moment cinétique en un point fixe ou au
774
centre d'inertie
10.1.5. CHOIX DES REPERES EN THEORIES DU CHOC
775
10.1.6. UN MODELE CAPITAL EN THEORIE DU CHOC. CHOC DE DEUX SPHERES 778
A. Définition du choc direct
778
B. Application des théorèmes généraux
778
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C. Indétermination du problème
779
D. Analyse du phénomène de choc
779
E. Levée de l'indétermination. Coefficient de restitution
780
F. Valeurs de €
782
G. Perte d'énergie cinétique dans le choc (cas général)
783
H. Percussion de liaison
784
10.1.7. ETUDE DU PHENOMENE DE CHOC COMME UNE PHASE DE MOUVEMENT
786
ORDINAIRE. THEORIE DE HERTZ
A. Etude du contact : Loi de Hertz
786
B. Etude du mouvement
787
10.1.8. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE
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792
2EME PARTIE
CHOC SANS FROTTEMENT ENTRE SOLIDES
10.2.1. ANALYSE GENERALE DU CHOC ENTRE DEUX SOLIDES LORSQ'ON
SUPPOSE LE FROTTEMENT NEGLIGEABLE
794
A. Effet d'une percussion sur un solide
794
B. Indétermination du problème de choc de deux solides
796
C. Etude du contact entre deux solides au cours d'un choc
797
D. Contact géométrique. Contact mécanique
797
E. Différents types de contact
798
F. Vitesse de pénétration
798
G. Les différentes phases du choc
799
H. Différents cas possibles
800
I. Calcul de la perte d'énergie cinétique au cours du choc
802
10.2.2. METHODE D'ETUDE D'UN PROBLEME COMPORTANT UN CHOC
804
A. Les trois phases d'étude
804
B. Exemple
804
10.2.3. UN PROBLEME CLASSIQUE : CHOC SUR UN CORPS TOURNANT AUTOUR
D'UN AXE FIXE
811
A. Schéma adopté
811
B. Mise en équation
813
C. Cas particulier remarquable : centre de percussion
814
D. Application : calcul du centre d'inertie d'une plaque
819
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3EME PARTIE
CHOC AVEC FROTTEMENT ENTRE SOLIDES
10.3.1. CHOC D'UNE PLAQUE PLANE SUR UNE AUTRE PLAQUE PLANE MOBILE
821
A. Théorèmes généraux de la théorie du choc
822
B. Application des théorèmes généraux
823
C. Relations entre les composantes X et Y et les dérivées
&L et ^ de la vitesse *VT (I) .
dt
dt
S
D. Discussion
824
826
!.. La vitesse de glissement initiale est positive
2. La vitesse de glissement initiale est négative
3. La vitesse de glissement initiale est nulle
10.3.2. METHODE GENERALE
826
835
840
842
A. Théorèmes généraux du choc
843
B. Lois supplémentaires
845
1. Loi de fin de choc
2. Lois de Coulomb
C. Théorèmes généraux des forces finies
846
D. Expression de V^f(I)
847
ib
E. Relation entre la vitesse de glissement et les composantes
de
*rs-
848
1. Etude du cas où il y a glissement
848
2. Etude du cas où il y a roulement sans glissement
849
F. Discussion du problème de choc
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849
IERE P A R T I E
CHOCS
ET
THEOREMES
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PERCUSSIONS
GENERAUX
- 767 -
INTRODUCTION
Dans de nombreux cas pratiques les actions mécaniques mises en jeu
agissent pendant un temps très court tout en ayant une grande amplitude. Soit
->
une actions F. Ses composantes X, Y, Z ont alors lfallure suivante :
Du point de vue de la loi fondamentale de la mécanique il n'y a pas de
changement de nature. Par contre du point de vue pratique la différence est fondamentale : du point de vue physique il est très difficile de mesurer effectivement ces actions mécaniques. Aussi dans certains cas a-t-on été conduit à une
formulation qui pour l'étude des mouvements permet de se passer de la connaissance effective de ces actions. C'est la théorie classique du choc. Nous verrons par
ailleurs qu'il y a une conséquence mathématique importante. Il y aura au cours
de cette phase [ t i> to1une brusque variation de vitesses que nous traiterons
mathématiquement corme des discontinuités. Pour trouver le mouvement à l'issue
de cette phase, nous aurons à résoudre des systèmes de Cramer où les inconnues
seront les variations de vitesse au lieu d'avoir à trouver la solution d'équations différentielles du second ordre, ce qui explique le fait historique que la
théorie du choc ait été développée très tôt. De nos jours il y a un renouveau
d'intérêt pour la théorie du choc du fait de l'accroissement des vitesses des
moyens de locomotion et des brusques variations qui peuvent survenir. C'est une
théorie importante dans toutes les questions de sécurité.
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- 768 -
10.1.1. IMPULSION D'UNE FORCE - DEFINITION
A. Impulsion élémentaire d'une force
Soit une force F agissant sur un système quelconque. On appelle
->•
impulsion élémentaire du vecteur F le vecteur
"dT= F dt
B. Impulsion intégrée
de temps t^-t
On appelle impulsion intégrée au vecteur F pendant l'intervalle
l'intégrale vectorielle
+
2
I =
f' *
F dt
S
C. Dimension de l'impulsion
-2
-1
La dimension de l'impulsion est MLT T = MLT
; c'est le produit
d'une force par un temps. En mécanique une autre notion se présente sous une
forme comparable : c'est le travail
dW = F.dSr
C'est un scalaire. Il a la dimension
2 -2
ML T
Le travail peut être nul sans que l'impulsion le soit.
-*•
-*
Exemple : Supposons F orthogonal à V
f
Jt
2
+
+
W = 0
-»
+
1^0
l
1*2
Jt
++
F.V dt = 0
+
Fdt^O
l
D. Remarques
Remarque 1 : le travail est un scalaire alors que l'impulsion est un vecteur.
Remarque 2 : l'impulsion a une signification bien précise. Reprenons notre figuration de la force très grande qui agit pendant un temps très court :
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Le vecteur I a pour projection
fc
C
2o
29
f
f
I X dt ; I Y dt ;
•"t
•'t
1
1
xz - J(* z dt
L'intégrale
rc2 X dt
Jt
est l'aire
l
hachurée.
L'intervalle de temps pendant lequel la force agit est très court mais la force
est très grande de telle sorte que l'intégrale
X dt
Jt
l
restera une quantité finie.
Remarque 3 : Dans d'autres branches de la physique on rencontre le même problèi
aussi a-t-on créé un modèle mathématique en introduisant ce qu'on appelle maint
nant la fonction de Dirac ô(t) définie de la façon'suivante :
6(t) = 0 pour
6(t)-*»
t ï0
pour t « 0
6(t) dt = 1
'o
On peut encore la définir de la
façon suivante
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6(t) = 0
t <0
6(t) - -i-
0 < t < e
ô(t) = 0
t >e
e +0
- 770 -
On peut donc représenter une quantité devenant très grande pendant un temps
très court à l'aide de la fonction de Dirac. Par exemple si une force devient
très grande pendant un temps très court nous pouvons envisager de figurer le
phénomène à l'aide de ces fonctions. On pourra écrire par exemple
X = XQ ô(t)
pour une force qui devient très grande à partir de t=0 pendant un intervalle
de temps très court.
Il faut essayer maintenant de comprendre comment ce modèle peut recouvrir la réalité physique car il n'existe pas dans la nature de telles actions
mécaniques.
Considérons une action mécanique qui serait donnée par l'expression
ti
X --L
a/rT
e"a2
C'est une courbe classique (courbe en cloche de la fonction d'erreur).
On sait que l'aire limitée par la courbe et l'axe des t>0 est égale
à l'unité :
I X (t) dt = 1
*P
Autrement dit quel que soit a l'aire limitée hachurée ne cesse d'être égale
à l'unité. Il en est en particulier toujours aussi si a-K). Le maxi de X tend
alors vers l'infini. A la limite pour a=0 X sera nulle en tout point sauf pour
t=0 où elle sera infinie. Elle coïncide donc avec 6(t). La force X est physiquement concevable.
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- 771 -
Remarque 4 : En fait 6 ne représente pas véritablement une fonction. C'est une
quantité qu'on a le droit, lorsqu'il s'agit d'intégration, de traiter comme une
fonction. En fait plus exactement 6 est ce qu'on appelle maintenant une distribution.
10.1.2. FORME IMULSIVE DE LA LOI FONDAMENTALE
->Soit F la force agissant sur P. La loi fondamentale s'écrit :
-*
->e
F -.J* (P) m
Multiplions par dt les deux membres de cette équation
F dt = m dg Vg (P)
C* •"•!&],-[*»],!
I - m A Vg(P)
Théorème : La variation de la quantité de mouvement d'un point matériel pendant
un intervalle de temps quelconque est égal à l'impulsion relative à cet intervalle.
10.1.3. DEFINITION D'UN PHENOMENE DE CHOC
Soit une force F agissant sur un élément matériel de masse dm. La loi
fondamentale donne
F - J8(P) dm
Si F devient grand pendant un intervalle de temps très court, il en sera de
->g
même pour J (P). Il y aura donc une variation très rapide de la vitesse. Précisons ce dernier point.
A. Caractéristique d'un phénomène de choc
'•• Çêl£Hl-âê_iâ_Yâ£ÎêJ:i2ïï ^e vites;se
Nous allons renoncer à suivre la variation de F pendant ce court
intervalle mais nous caractérisons son action par l'impulsion intégrée
2
I =
r' -
F dt
Jt
l
La loi fondamentale donne sous forme impulsive
| 2 F dt = m f(vg(P))2 - (vg(P) )2 1
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- 772 -
D'après le théorème de la moyenne on peut écrire
Ven. (t2-',)-»[(vg(P))2-(v8(P)),J
~*
~*
Supposons que F devienne très grand de manière que F
de
devienne de l'ordre
c'est-à-dire que ce vecteur soit de la forme :
vt
-F
'
-
= t—!!
—
moyen
o~ t i
TJ- étant un vecteur de module non nul
on a donc
* = m [(vg(P))2 -(v8(P)),]
La différence des vitesses est donc un vecteur fini. Il y a une brusque variation de vitesse, ce qui nous conduit naturellement à la traiter comme une discontinuité.
2
* tê«E2Ëi]ÈÎ2S^y-E2ÎS£«£^SÊ-£Îîâ2Êê-Erati2uement Eas l°rs de cette
klH£2H£«YêIîâ£Î2B-^£_YΣ꣣ê
Dans l'intervalle {t^t^ le vecteur Vg(P) reste naturellement
un vecteur "compris" entre les vecteurs / V8(P)] et ( Vg(P)j .
Le déplacement élémentaire du point P est
"dT= V8(P) dt
d'où
2
1 2 * r —
P
V8(P) dt
P
t
l
P
= Ct - ct ;} V
r P
lr2
^2
l
moyen
V
moyen est un vecteur "compris" entre / V8(P)^2 et /Vg(P) \} . C'est donc un
vecteur fini.
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- 773 -
Par suite si (t -t ) est "petit11 il en est de même de ^j^o"
Nous avons analysé ce qui se passe au cours du phénomène. On pourra
donc prendre comme critère de choc le résultat limite :
Lorsqu'il y a discontinuité âe vitesse sans variation de position* on dit que le
point a subi un choc ou une percussion caractérisée par le vecteur
+
ft2 +
TT =
F dt
S
Dans le cas du choc on emploie le terme de percussion à la place de celui d'impulsion.
B. Résultats complémentaires
1
• E£!£H£5i22_^lH2ê_!2!££--!isiê
Une force qui n'est pas instantanée, c'est-à-dire qui reste
finie pendant l'intervalle t -t donne une percussion
•*
->
P = F
(to-t.)
moyen
2 Y
-*•
Mais comme F
est finie la rpercussion est infiniment petite avec (t -t ).
moyen.
2 1
Elle peut être négligée devant les percussions finies.
2' ?êE£HS5Î22«^£-iîâiS25
On admettra que les lois du frottement sont les mêmes pour les
forces de percussion que pour les forces "finies".
3. Perçussionsjgxtérieure s^Percussions_interieures
- On considère que le postulat de l'action et de la réaction est
vrai également pour les percussions.
- Comme pour les forces on peut énoncer le théorème : les percussions intérieures forment un torseur nul.
10.1.4. THEOREMES GENERAUX A CARACTERE VECTORIEL EN THEORIE DES PERCUSSIONS
On part des théorèmes généraux de la mécanique ou l'on part directement
de la loi fondamentale. La première méthode est plus rapide.
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- 774 -
A. Théorème de la somme géométrique
d8 a8
+
F
•"
= —^—.
ex
F
dt
somme des forces extérieures
ex
F
dt « d a8
ex
J
Ç -*-M.-M.
mais
F
? +
ex
= ,L , F.
k=l k
(tl «, v"-[° ]2- [«*],
2
n
r- v —i
p-> -i
8
c
ou encore :
t»
|t|JA«-p]2-p],
t
2
J, |t] \--[sg]2-[°8],
k=i
^k
=
a
? ""
a
i
^\F Percussi°n ^ue à la force F,
'-•pj.-ro
Théorème : La somme géométrique des percussions extérieures est égale à la variation de la quantité de mouvement.
B. Théorème du moment cinétique en un point fixe ou au centre d'inertie
Prenons un point fixe C (nous reviendrons sur cette question).
Le théorème du moment dynamique donne :
£(« - ^i (c)
M
ex
»
(C) dt = dy (C)
g
ïT(0 dt = [v g (0 J 2 - [v g (O J j
• cl
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- 775 -
t
t,
Mais
M— (C) dt ex
Jf
Z CP, A F, dt
Jf —k *k
1
1
que l'on peut encore écrire
..
f'2 _*.
* —
M
(C) dt
ext
- k^l CPk A
Jt
C
l
n
- ,2
k=l
Posons
2
f „.
F dt
J k
l
^ —*CR A P.
k
k
n __^
^
+
, Z CP, A P, = M (C) moment des percussions extérieures en C
k=l
k
k
ex
Mex(C) - [>(C)]2- [^(C)],
Théorème :
Le moment des percussions extérieures en un point fixe est égal à la
variation du moment cinétique en ce point.
Remarque :
L'utilisation d'un point fixe n'est pas nécessaire car pendant le choc
il n'y a pas variation de position.
l.l.5. CHOIX DES REPERES EN THEORIE DU CHOC
Nous allons voir que le choix des repères n'est pas aussi strict pour
étudier une phase de choc que pour étudier un mouvement continu.
La loi fondamentale s'écrit
•*
-*o
F = Jg(P)
Soit (R,) un
re
pêre en mouvement quelconque par rapport au repère galliléen
J8(P) - Jk(P) -»• J,g (P) + 2 n ,g A Vk(P)
K.
K.
J (P) = J
T
~H> + TT A°? + "? A ("?A °?}
la loi fondamentale peut s'écrire
F - Jk8 (P) m - 2 J^8 A Vk(P) m = Jk(P)
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- 776 -
Multiplions par dt les deux membres et intégrons entre t. et t?
t
'
2
f
-*"
f+e g 1
r+e
1
ft2 + e g+k
F dt - m
I Vk (P) J 2 - I Vkg (P) J j - 2 m
^ ^ A V*(P) dt
Jt
Jt
l
= m
l
(vk(P))2 - (vk(P)) j
L'intégrale :
f 2 +g
-*k
^k ^ V ^
Jt
dt
est
Pet^te car
le
mouvement dans (Rk)
i
comme dans (R ) est tel que la vitesse a une variation finie. Cette intégrale
sera négligeable devant une intégrale telle que
Ct2 +
F dt
Jt
qui est finie.
i
On peut donc écrire
m A V^P) = TT - m A V,8 (P)
&
A signifiant comme d'habitude variation.
Cette formule est absolument générale. Supposons maintenant que le mouvement
de (R, )/(R ) soit continu, c'est-à-dire que (R, ) ne subit pas de brusque variation de vitesse pendant t -t . Alors
A Vfc8 (P) = 0
-M,
d'où
-*
m A V (P) = P
m
{pk(P)j2-pk(P)]l) = ?
ce qui signifie qu'on peut appliquer la loi fondamentale relative au choc dans
(R, ) comme dans (R ) .
o
D'où le théorème :
II existe une infinité de repères où l'on peut appliquer la loi fondamentale concernant le choc. Us sont tous en mouvement continu par rapport à
un repère galilêen.
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- 777 ~
Remarque : pour ce qui est du théorème du moment cinétique, qui sera déduit
de la loi fondamentale les possibilités d'application sont en fait plus larges
Soit R_ un repère d'origine G centre d'inertie du système et en translation par
rapport à (R ) (repère de Koënig).
o
Nous avons pour chaque percussion appliquée en P.
£. = m. A V^ft)+ m. A V8 (P.)
J
J
J
J
J
g*
V8
g*
mais
(P.) J
V8(G)
¥ (P.) : (R *) est en translation/(R )
J
g
8
TT. « m. A V8 (p.) + m. A V8(G)
CP. A ÏT. « CP. A m. A V8 (P.) + C?T A m. A V8(G)
Pour le système nous avons :
jl, CT A î. - .?, 3: A .. i^Cj)
Kx(C) - [»l\2 - ["C*J,
^
M
ex
S 1 C i G
1<C)
*
-I
f-"^^fe
+
+
jl, S] A -j 4 ^(G)
jl, "j ^ * * Î*<V
-j
' [«(G) J 2 - [/(C) J 1 *
^
—^
MCG A A VS G
< >
^<G>-[?«=)]2 -[?(«],.
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- 778 -
10.1.6. UN MODELE CAPITAL EN THEORIE DU CHOC. CHOC DE DEUX SPHERES
Ce problème a joué un rôle considérable en théorie du choc et même plus
généralement en mécanique. Il nous permettra de comprendre les problèmes qui se
posent en théorie du choc. Mieux, il nous permettra de préciser notre propos
initial à savoir que la théorie du choc est une théorie destinée à palier notre
ignorance des actions mécaniques. En effet dans ce cas nous pouvons étudier le
phénomène de choc comme un mouvement ordinaire car la théorie de Hertz nous permet de connaître la nature des actions au contact de deux sphères.
A. Définition du choc direct
Soient deux sphères homogènes S
et S f
de masse m
et m1 qui vien-
nent se heurter à l'instant t . Le choc est appelé direct quand à cet instant t
leur vecteur rotation est nul et que les vitesses de leurs centres G
et G* sont
dirigées suivant la ligne des centres.
Pendant l'intervalle de choc la ligne G t G 0 peut être considérée
->
I 2.
comme immobile. Nous la prendrons comme axe O.X
Posons
(v°(s))j • vj X0
( VP(SI))1 - V'jlÇ
à l'instant initial
nous
supposerons que les liaisons sont parfaites.
B. Application des théorèmes généraux
1. Tl}§2Eê5fË-.ËH.S25£S£«c^n^^i3Më à_chacjue sghère en G
* â
(S)
——•""—•—"—-
G
M~D
ex > ' <W°G) 9z. - (^°G).i
0
comme
=Î
G
«V 2 ~
(
^1
(fl°S) j = 0 —*~ (ft° s ) 2 = 0
Le mouvement qui était à t
une translation reste à la fin du choc t
mouvement de translation.
* à (S')
le résultat est identique.
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un
- 779 -
En conclusion on peut donc poser
(V°
1 = V X
\V S )2 V2 *0
/ V° ^ = V AX
V S'/2
2 0
2. Theorème_de_la_sonme_geomètrique
La somme des percussions extérieures est égale à la variation
de la quantité de mouvement. En projection
0 - m (V2-V,) + m' (Vf2-Vfj )
ce qui exprime encore que la vitesse du centre de gravité n'a pas varié.
C. Indétermination du problême
La théorie générale des percussions nous donne seulement une équation entre deux inconnues V - V et V -V .
Il faudrait une équation supplémentaire pour lever l'indétermination. Et il faut pour cela faire une hypothèse sur la nature des corps comme y
invite l'expérience qui montre que le rebondissement varie avec la nature des
corps (matière).
D. Analyse du phénomène de choc
Pour cela examinons d'abord d'une manière générale la façon dont
évolue la distance GG' = & pendant l'intervalle t -t . Il faut en effet abandonner la mécanique du solide indéformable pour expliquer le phénomène. On peut
distinguer 2 phases
*
#
phase t <t^t
Les actions
F
s/st
*
t < t2
et F
Q'/Q augmentent, il y a déformation locale : la
distance £ diminue.
*
phase t <t£t
Les actions F-, , et F
f
. diminuent et par suite £ augmente ensuite
légèrement par suite de l'élasticité plus ou moins parfaite de la matière.
La distance £ passe alors par un minimum. Ce qui implique que la vitesse
S
relative V ct est nulle ; en effet
D
GI
?.< >=!£ ^o = °
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- 780 -
Les vitesses des centres d'inertie sont égales
^•?'*?
0
- *? -~s
=
(Vf - V) XQ
vf = V
*
E. Levée de l'indétermination. Coefficient de restitution
1• t£s.£2EEs-Ë2St Eâlla^£eSen£-S2Hs
On dit que les corps sont parfaitement mous quand ils restent en
contact après le choc. Ce qui signifie que la seconde phase n'existe pas :
t
Vf
= t . On a donc alors
, en tenant compte de m (V2"vi) + m f (V f -Vf ) =
= V
m V2 + m f V 2 = m Vj + m Vjf
m V
V
2
= Vf
2
=
+ m'V
L
m A+ mf
2• të£-£2IEË«Ë22£-E§Elâ5£2£»£lâS£Î2HëË
On dit que les corps sont parfaitement élastiques lorsque dans
la seconde phase du choc les corps reprennent exactement leur forme initiale,
la puissance développée par les forces intérieures étant nulle.
On a alors :
«SI. °n
dt
T2 - Tj - 0
soit encore
y l m V£2 + m'V^2] - y I m V 2 + m'V[2| = 0
ce qui peut s'écrire
m (V22-Vj2) + m' (V22 - Vj2) = 6
m (V2 - Vj) (V2 + Vj) + m' (V'2 - V'j ) (V'2+ V, ) = 0
En tenant compte de la relation générale :
m (V2-Vj) + m'CV^-V'j ) = 0
2 + Vl
V
=V
2
V
+V
'l
2 "V 2 = V'l " V l
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Soit
on a
- 781 -
(v2-v'2) = - (Vj-v'j )
ce qui donne vectoriellement
tf'\ '-(<),
Au cours du choc le module du vecteur vitesse relative nfest pas modifié mais
il y a changement de sens.
On peut parfaitement déterminer V ' et V'
car nous avons les relations
m V2 + m f V f 2 = m Vj + m'V'j
f
vVv
V
2
2
= Vv1f -V lv
ce qui donne
V2 = V
V
2
'
=v
- 2
i
V - Vf
i
l
—
—•
i +^
m
1
+2
V
- V
TTÊT
m
£2£«r£2?2£!2H5èl££
a) m = m 1
V « vf
2
1
VV f = VV
2
l
II y a échange des vitesses : chaque sphère possède après le choc la vitesse
qu'avait l'autre avant le choc.
b) m' ^ °Q y.1
= 0
C'est le cas d'une balle rigide heurtant une paroi fixe
La balle rebondit sans perte de vitesse.
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V9 = - V
- 782 -
3 • ^§Ë.ʧ2êlêii-SZE2£îîâË£«^Ê_ïïê]ï£2S
Dans le cas réel les corps ne sont ni parfaitement élastiques
ni parfaitement mous.
La vitesse relative des deux sphères change de sens. Sa valeur
absolue est multipliée par un coefficient e moindre que l'unité appelé coefficient de restitution.
V
2 ~V2
=
"£
(V
1 "V'l)
°U enc°re (Vs') = " £ ( Vs' )
Remarquons que l'on retrouve les cas précédents :
- les corps mous correspondent à e = 0
- les corps parfaitement élastiques correspondent à e = 1
Cette relation supplémentaire nous permet de déterminer V
a maintenant le système :
et V' . Pour cela on
m V2 + m'V'2 = (m V} + m'V'j )
y
- Vv f
V
2
2
= - e (V - V 1 ;
)
^1
1
qui donne
+ m'V1
m V
V
-
'
2
- e m 1 (V
*
- V )
;
'
m + m1
De même
m V] + m'V1 + e m (V - V )
V* =
!
i
1_
2
m + m'
F. Valeur de g
On détermine expérimentalement la valeur de e :
billes de verre
billes d'ivoire
billes d'acier
billes de liège
billes de bois
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e = TZ
1D
e
8
" "o
e « —
"e = "o
e = y
- 783 -
Dans tous les cas nous avons suppléé à notre ignorance de la nature exacte du
phénomène physique par une hypothèse portant non sur les actions mécaniques
mais sur les vitesses. Nous constatons par ailleurs que nous avons simplement à
en résoudre des systèmes de Cramer.
G- Perte d'énergie cinétique dans le choc (cas général)
T
2- T . = ï m < v 2 2 - v 2 ) + I m ( v - 2 - v ; 2 )
mais on peut écrire
T 2 - T j = 1 m [V2 + V, ]£V 2 - V j ]
+ I m' [>'2 + V',] [V2 - V',1
Mais on a en outre la relation fondamentale
m (V2 - V^ + m'(V'2 - V'j ) - 0
VT, ' îm
(V
2+ Y
(V
2 - V
- I m'(V2
T2-Tj - I m (V2 - Vj) (V2 - V'2 + Vj - V'j )
d'après la loi de Newton
2 "Tl = Im
T
V_ - V
(V
2
)
"Vl) ° ~ e) (Vi ~ V'j >
'
,
' - -ï-S- (v, - »• ) - v,
m + m
m +m
•»• m'V1
m V
2 - Vl = —
V
v -v
'l} £ (V2-V,)
mais
= - e (V -V
m V + m'V
v2 - v, -
+V
- m V - m'V
m 7
+m 7—
tn'(V
!
-V )
m + m1
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,
U
e mf
(V
V }
—-T
m •*• m 1 - 'l
L_ - ^_E_ (V - v' )
m + m1
- 784 -
V
Donc
2 - V 1= -^
(1+£) (V
1 -V
____________«__^
- LT = - - mlm
l
2 m+m'
T
L
2
Ci
U
2
-£e;
) V(v
^ l
f
2
V V ;)
1
II y a toujours perte d'énergie cinétique dans le choc donc finalement perte
d'énergie mécanique. Deux cas particuliers sont remarquables.
1. Corgs parfaitement mous : e = 0
T
- T - - - mm>
L
2 •
1
2 m+m'
(yV - V
)2
V
^ l
i;
2. Corps^garfaitement^elastigues : e = 1
T2 - Tj - 0
On retrouve bien là un résultat conforme à la définition du choc parfaitement
élastique.
H. Percussion de liaison
Nous allons voir que si l'on peut déterminer la percussion de
liaison cette méthode ne pourra pas par essence nous fournir l'action de contact
et le temps de choc.
Nous pouvons facilement calculer la percussion de liaison. Posons :
^ss' =ffss'xo
avec
Vs = Vs xo
\
"ss' + Vs =0
Appliquons le théorème de la somme géométrique à (S) seul :
Vs'"^-^].
->
- - » • - * - -
•iï gls = m [V 2 - Vj J
V
mais
2 - V 1 = - ^ ( l + e) (Vj-V,)
vs--iw-< 1 + e > (v r v V>
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- 785 -
Prenons par exemple
e
m
m1
Vj
=
=
=
1
1 kg
1 kg
5 m/s
V'j = - 5 m/s
Vs = - 10
Mais la façon dfaborder le problème ne nous permet pas de connaître le temps
de choc.
Désignons par F , l'action de (S') sur (S)
: *~-»~
F
S'S
->
=X
X
S'S 0
Entre la force et la percussion nous avons la relation
,'2
x
s'sdt
VsJt
l
La percussion est connue bien que ni la force ^ccf n^ ^e terr%>s de choc ne soient
connus.
Si nous connaissions la durée du choc il serait facilement possible d'évaluer
l'action moyenne au cours du choc.
En effet on peut écrire
VS
=
[XS's]1
*-
- moyen
'
Ve!
A titre purement indicatif pour montrer l'extrême importance du rôle de la durée
du choc nous allons dans l'exemple précédent calculer X-f<J
en fonction de
L
J
.
moy
C _ct
t
: 2 l
__«______
t20 - t.
1
en N
nfJ
I|XS'S(moyen
0,01
1 000
0,001
10 000
mais nos équations ne nous fournissent aucun moyen pour calculer t -t .
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- 786 -
10.1.7. ETUDE DU PHENOMENE DE CHOC COMME UNE PHASE DE MOUVEMENT ORDINAIRE. THEORIE
DE HERTZ.
Nous allons voir que dans le cas des sphères, il est en fait possible
de connaître X oof en fonction du rapprochement des centres des sphères et par
bb
suite mettre en équation complètement le problème.
A. Etude du contact. Loi de Hertz
Appliquons à S f une
action
P = - P XQ
avec
->
YX
P>0
^
rr t
bbr
0 " A
o
£
*
- |GG
lrr f I
"
I
à lféquilibre :
îss, + PJ= o +
ss' = p xo
?
Posons
a = R + R' - £
a est le rapprochement
du centre des sphères.
La théorie de Hertz indique qu'entre a et P on a la relation
a
^LJL. (K+K')2 ^ff.p2
RR
16
.
v -
l
""
v
TT E
ÏT» =
K
]
i v t
" f
TT E
E
>
E?
> modules d'élasticité
f
v, v,
„. .
^
,, .
coefficients de Poisson
On sait par ailleurs que la pression est maxi au centre de l'aire de déformation
(cercle de rayon a) et vaut
3
p «j
P
j
avec
Tra
• - v-v- <«•) & . p
Nous pouvons exprimer P en fonction de a sous la forme
P
-\f~ï* 5- . ^
~ •
» T
p.pi
r -y
R+R
9*
(K+K')2
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a3/2
- 787 -
P est donc de la forme
P = n a3/2
./Te
n -y
=•
9 ir
avec
R
R
1
.
R+R'
1
j
(K+Kf)
Si entre (S) et (S1) agissait un ressort élastique linéaire on aurait
iC'i
= ka
B. Etude du mouvement
OG
- XG X0
Ô? = XG, XQ
GG' = H XQ
c t = R + R'-£
a>0
£ Q = R+R1
1. Actions_mécanigues_agissant_sur_^S)^_et_j(S^)
! 2
"*"
» ^Q)TGG^
Fss, = -na / en(£-£
ggr|
-»•
F
ss'
= na
3/2 •*
x
o
on a aussi
~*
F
s's = -n a
3/2
x *
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o
- 788 -
2 • §31îat ^2BS_ËH-52HYêS£S£«i§ll/i§i
Appliquons le théorème de la somme géométrique à S et S f en
tenant compte du fait que l'on néglige les forces ordinaires :
iÇs, = m' JV
Ts = »J~^
F
Ce-T cette fois Fqqt
e
^ ^qrq Qont connus.
j"^ = X»(G) 1Ç
JV-
X"(G') X^
m x"(G) = - n a 3 / 2
m' x"(G) = n a 372
*"c - - l ^
«"a- - £ »3'2
= „ S-t-il a. 3 / 2
G
mm
—>•f
-*•
GG = £ X
X"G,
mais
X
- *"
G* " XG
=
x l f r l - x"
(y
(y
£
= £ f!
mais
a = R + R' - A
a" = - (x"G, - x"G)
on a donc
a"fl A+ n
m-fm1
3/2
f a
=0
yii)!))
Equation différentielle du second ordre non linéaire.
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- 789 -.
3 - Ï2£ÉSEâiê-.ErS5îIïê-.Ë£-rêEEï2£ÎîêSËSJÈ-5§2ï
Multiplions les deux membres de l'équation par a 1
a f alf A+ n
m+mf
3/2 f f n
y- a
a = 0
mm
L'intégration est immédiate
a'2 A+ —_
m+m' —
2 . a5/2 = cte
_—
n
2
mm
5
Mais pour t=t
•
début du choc nous connaissons les conditions initiales
a = 0
• a'1 - - £'
a' = - fx'
l G'
- x! 1
cJ
a» » - [V - V]
a»
a
posons
= - fvf - V 1
L I
1J
1
W « V
- Vf
a
'i = w i
en portant ces deux conditions dans l'intégrale première
1
,2
2
m+m' 5/2
1 T7 2
T
+T
a
= -7
/ ex
3 n —rmm
z W1
1 / ,2
2
m+m'
T2 ,
•7 (a' - TW.
)=-•=• n
,-•
•^
1
3
mm
,2
a
TT 2
= W
l
a
5/2
4 m+m'
5/2 ,
~ 5nîS^" a }
Lorsque la vitesse s'annule le rapprochement est maximum et nous pouvons le
calculer. Désignons le par a*
*
a
/ I I mm't
" V 4 n m+m'
u2 \ 1 I
l / 5J
W
4. 2§termination_du_tem£S_de_choc
A partir de l'intégrale première on peut écrire
£ - ,Vw,2 - ï» «: «5/2
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..± ,
- 790 -
a) Phase du mouvement t
pour t=t,
1
•* t
*
(4r) i "• W >0
dt I
t. « t < t
*
donc £ > 0
on a donc
dot
dt
.O
4 ^ m + i n ya5 / 2
"Tn
* 1
5
mmP" *
,f .
T~ -V^,
d'où
dot
—
dt =
T
+ r~2
4
m+m
VW.
- T- n
;Y
1
5
mm'
Posons
T/T
*
'(X
•*
Posons
a
da
2
yV
- i n 2^1
a5/2
Y
1
5
mm1
o
— = x
a
pour
a = 0
a = a
->
*
x = 0
x
-> x = 1
• f\
t*-t
1
dx
=^
"• IxT^
on trouve pour l'intégrale
1
dx
= 1,47
V, - x5'2
^ O
b) 2ème phase t>t
mais
a fl
*
a"
donc connue
= - n
<0
a1
*
îfc
t £ t^ t
m+m f
yi^iii
a 1 décroit
-»•
MF
a *3/2
=0
a' est négatif.
On a
da =
dt
x/jTi
4
m+m'
- V W j - j ^r a
dt = -
da
ï/ï
—
V^2 . 4 «Haï a 5/2
^ 1
5 mm
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- 791 fO
«2 . «• . . ______
5/2
2
>, - * & °
da
•'a
0
dx
t 2 - t* - - wSL.
i
•J i
/
xyi
- xvT
Nous pouvons déterminer maintenant la durée du choc
t2-t, = t 2 - t* + t* - t]
(i
t2 - t, - 2£1
ta
jo VTT77
s
t2-t1=2,94 ^
5. 5§£ËI2ÎSê£Î2S-^ê«Iâ-l2££Ê-âH-£2!iïS-.du-choc
„
^
..
^
Nous savons que Fsgl = Xsgf XQ avec
pouvons connaître
__
3/2 , or nous
Xggf = n a
à tout instant en fonction de t en intégrant lféquation :
da
*/ 2
4 m+mf
5/2
dl'^V T7
Wj -In-1=r. a
En particulier nous pouvons facilement connaître (X
3/2
ssf) maxi
*
^SS^maxi = na
^« 2âl£iîI-.^S«Il⣣§IâEâ£îSB-£êI§£ÎYê
Lfaccélération relative peut aussi être connue à tout instant*
En effet :
«.....„ 2^1
a3/2
^^|i
Nous pouvons calculer sa valeur maxi
f
l aff
m-*-m.
*3/2
Vli
.» n
a
1
f
'maxi
mm
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- 792 -
L'accélération est souvent prise comme critère pour caractériser un choc.
7. Calcul
de la percussion
__«____.._.._.._
____....___
TT ^^f
Nous pouvons calculer la percussion comme dans la théorie du
choc ou par intégration (théoriquement)
w
ss- '. [ xss' dt
Jt
l
Nous constatons donc SUT cet exemple que si les forces sont connues parfaitement
au contact la théorie spéciale des percussions n'a plus qu'un intérêt de simplicité. La théorie des percussions au fond revient à remplacer les lois sur la
nature des actions mécaniques par une hypothèse portant sur l'état des vitesses.
8. THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE
La loi fondamentale pour les percussions donne pour un point matériel
^
' _^
rt
d-iï = dm
(v°(P)j2 - (.V°(P) }
avec
dir =
dF dt
Jt
î
que l'on écrira pour simplifier l'écriture
dïï - dm (V2 - V )
j
->
Multiplions les deux membres de la relation fondamentale par y (V
-**
. ^
—
dir
V
.
2
->
+ V ). D'où
•*•
+V
1
J
2
1
= 1
"*" 2
•*" 2
(V^ - V j ) dm
soit en intégrant pour le système
1
y
f
+2
\ \ +2
V2 dm - ~
Vj dm =
Jpes
Jpes
\
*2 * ^1 -^
-^-5—dTT (1)
Jpes
Théorème :
La variation d'énergie cinétique pendant un choc est égale au travail
qui serait développé pour les actions de percussion si le point d'application de
chacune d'elle avait pour vitesse la vitesse moyenne arithmétique entre
"*"
~*
77 et V • vitesses en début et fin de choc.
J.
Ci
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- 793 -
5£ïS£2Hê_!
La formule établie en (1) nous permet de donner une expression intéressante du calcul du travail effectué par les actions mécaniques au cours du choc.
Le théorème de l'énergie cinétique donne
Çy
=
TT
i& étant la puissance développée par toutes les actions
mécaniques.
ft^-^
§f dt
On a donc
2 "" T l =
T
Jt
avec
Up=
l
V(P).dF
Jpes
L'intégrale
{•L
C3r dt
Jt
est le travail par les actions mécaniques entre les
i
instants t et t..
En comparant cette expression et celle obtenue à l'aide des percussions on a
W 12 - f ^^2 - d7
J
2
P6S
5£2?2£2H£-^«
II existe d'autres théorèmes énergétiques en théorie du choc mais leur
emploi est en général restreint par suite des hypothèses d'applications très
strictes. Ainsi en est-il du théorème de Carnot.
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2EME P A R T I E
CHOC
SANS
ENTRE
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FROTTEMENT
SOLIDES
- 794 -
10.2.1. ANALYSE GENERALE DU CHOC ENTRE DEUX SOLIDES LORSQU'ON SUPPOSE LE FROTTEMENT
NEGLIGEABLE
A. Effet d'une percussion sur un solide libre
Soit une percussion TT appliquée en A6(S). Posons
TT = TT u
Les théorèmes généraux des percussions appliquées à (S) donnent :
Théorème de la somme géométrique :
Î-. K^co),-(?<«),)
posons
ÂV = (vî(G))2 - (v^G)),
(^)2-*2
( ~G),= ',
->
—*•
TT = m AV
Théorème du moment cinétique en A :
ÔTA î - ( P T (G)) 2 - ( y 7 ( G ) ) 1
- > • - > • - > •
Désignons par (G, Xg, Yg, Z ) le repère principal d'inertie
7(G) = TG ti*l
=
avec
I- =
]"A
0
LO
o o~
0
o cJR
B
S
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- 795 -
( y°7c)) 2 - ( 17(6)) j = TG Afl°s
en posant
^s - < ° V 2 - < â î > i
Donc
^
_
GA A TF = I
—*• A£2°s
d'où
II1 GA A î -' Aft° c
b
b
o
~j_
o
V- • i «
°
-°
HRs
Nous allons montrer que l'on peut relier la percussion ir à la projection de
V° (A) sur la direction ir
V° (A) = V^G) + fl° A ~GA
b
•^>
Projetons ce vecteur sur u
V°(A).u - \F7c).u + (Q°0 A GA) u
b
Posons
V°(A).u. = W°
b
La projection du vecteur vitesse de A sur y est
; "^ = w°s «
W^ - '( V^A). u) . u
Pendant le choc y et GA sont fixes.
AW°C » Âv".u + (GA A u) AÎ2°0
b
b
AW°. = - . ~ÏÏ + (GTA~Û) . î "' (GA A u) . ir
D
m
AW°S . î- -^- u + TT (GA A u î "' GA Au) u
Soit encore
+
->
^
__
^
]
AW°0 - - + (GA .A u) . ï " (GÂ A u) T
b
m
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- 796 -
^ ->- r * "
Posons
GA A u =
m
.°k
on peut donc écrire
+
+
^c = 1
S
+
n2
2
2
î( JL. + SL + S_ )
m
A
,
-»•
fl2
B
2
C
2
«•s-< = *£*¥*%•>'
On peut donc écrire
AW°C = K2 m
b
Remarque : Si G 6 l'axe (A,u) on a GA AÛ*= 0. D'où £ = 0, m = 0 , n = 0
à-t-i*
B. Indétermination du problème de choc de deux solides
Faisons le bilan des équations et des inconnues.
Equations : on peut appliquer les théorèmes généraux à chacun des deux solides
(S) et (S1). Au total nous aurons 12 équations.
Inconnues :
paramètres inconnus : les positions de chacun des solides ne varient
pas au cours du choc. Il suffit donc seulement de connaître l'état des vitesses
après choc, c'est-à-dire finalement les dérivées des 12 paramètres.
inconnues dynamiques : c'est la percussion de contact ir DD , = - ^ bc i cb II suffit de connaître sa valeur algébrique. Il y a donc une inconnue
dynamique.
Au total il y a donc 13 inconnues dynamiques alors que les théorèmes
généraux nous fournissent seulement 12 équations. Le problème est donc indéterminé du fait que jusqu'ici aucune hypothèse n'est faite sur la nature du contact.
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- 797 -
C. Etude du contact entre deux solides au cours d'un choc
Soient deux solides libres (S) et (Sf).
La mécanique du solide invariable suppose invariables les distances
des éléments mais ceci est difficilement compatible avec le phénomène de choc
où les déformations locales ont une grande importance. La mécanique classique y
supplée de la manière suivante en supposant que les déformations ne sont sensibles qu'au voisinage des contacts. On suppose que chaque solide est formé de
deux parties
"- un noyau (N) parfaitement rigide limité par une surface (a)
- une pellicule de masse négligeable qui subit seule la déformation. Elle est
comprise entre (a) et (Z).
D. Contact géométrique. Contact mécanique
- Contact géométrique : II est réalisé lorsque les deux surfaces (a) et (af)
viennent en contact.
- Contact mécanique : II est réalisé lorsque les deux surfaces externes (Z)
et (Zf) viennent en contact.
Cette façon de voir correspond à l'observation du problème d'une part et d'autre
part à une façon de voir généralement adoptée :
Par exemple si deux solides (S) et (S'
sont liés par un ressort on ne considère pas qu'il s'agit d'une liaison au
sens de la géométrie ou de la cinématique car chacun des solides peut du
point de vue géométrique se déplacer
sans être gêné.
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- 798 -
->•
Dès que le contact mécanique est réalisé il existe une action F
=
f
->
"" F QÎQ et
comme il n'y a pas de frottement elle est dirigée suivant la normale commune II1.
E
- Différents types de contact
1°) Pendant la durée du choc t - t
les deux corps sont en contact
géométrique : alors la liaison est dite permanente ou de première espèce.
2°) Pendant la durée du choc le contact mécanique est réalisé et
le contact géométrique n'est réalisé que pendant une partie de l'intervalle. La
liaison est dite non permanente. On peut alors distinguer 3 cas.
a) le contact géométrique est réalisé seulement pour t=t . La liaison est dite
de seconde espèce.
b) le contact géométrique est réalisé seulement pour t-t-., la liaison est dite
de troisième espèce.
c) le contact géométrique est réalisé pendant une partie de l'intervalle mais
ni au début ni à la fin. La liaison est dite de quatrième espèce.
Cette distinction a une grande importance : dans le cas d'une liaison
de 2e, 3e ou 4ème espèce; chaque solide est libre de se mouvoir indépendament
de l'autre du point de vue de la géométrie. Au contraire dans le cas d'une liaison de 1ère espèce le mouvement des deux solides ne peut être indépendants. En
particulier nous verrons que toute transformation virtuelle compatible devra
s'effectuer de manière à respecter cette liaison géométrique.
F. Vitesse de pénétration
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- 799 Soient 0 et 0:| deux points appartenant aux noyaux de (S) et de (S1) et situés
sur la normale commune ; posons
00f
-> _
\ÔO'\
Soient deux points P. et P? appartenant aux noyaux. D'après la cinématique du
solide invariable
v|,(P2) -^.(p,).+ 0*. Ap-^2
v|,(P2).n - v|,-(Pj).n
Ce n'est autre que le théorème de 1'équiprojectivité ; tous les points situés sur
la normale commune ont même projection sur cette normale commune.
S
i S
1->1 \ n->
Posons
Wb f * IVctCP,)//
soit encore
\ b
1
' -w|, - w|t. . n
avec
w|, = v|, (Pj).n
^
- v(^<P,) . -E- )-Sr
b
.
joo'l / |oo'.|
(v^(P).Ôo"') . ÔO7
V S -1
/
w5,
- —p-j
S
(OO1)2
s
W , est appelé vitesse de pénétration de (Sf)/(S).
S- Les différentes phases du choc
- Il y a d'abord une phase de compression pendant laquelle Ws
0,
b
est dirigée vers (S). Les deux corps se rapprochent, les pellicules se déforment.
Q
- La vitesse relative W
et elle change de sens.
t
s'annule pour
^
t=t
e^t., t^C
- Ensuite les pellicules reprennent plus ou moins leur forme
primitive. C'est la phase de restitution.
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- 800 -
H
- Différents cas possibles
'• iês-£2EE£_£2E£-EêE£êi£Ê2e5£_22H£
Seule la première phase existe. La déformation subsiste
t~s\
\Wct J
=
\ S /2
0
soit encore
w|f(P).n - 0
(
\w°
b7(P) ~ V*7P))
b
/ n -0
2 • Lê5.£2EES.<Ë2S£«E5Elêî£Ê5îëïîi-iiâ5£Î3îiëS
On dit que les corps sont parfaitement élastiques s'ils reprennent après choc leur forme initiale, le travail développé par les forces intérieures étant nul.
Nous allons voir que cette hypothèse conduit au fait que la composante normale de
—^
W;?,(P)
change de sens pendant le choc sans changer de valeur absolue.
*
1e méthode : utilisation de la formule qui permet d'évaluer le travail des
actions mécaniques.
T
2 " Tl
comme W 1 0 ^.
.
=0
12 élastique
=
^^élastique + ^^liaison
on doit avoir
(W
12^1iaison ' °_
-*. [v;,<p>].2 +[v;,(p)]j
W]2
= TTgg,
soit encore comme
_
ir
DO
, + Tr 0 , c * 0
^
D
D
_
+Tr
^
^
[vg,(p)]
*rv|.w]
2
1;
ss1
= ir
mais v|,(P) =
V^,(P).n
n+nAVg,(P)An
Vg,(P) - Wg,.n + n A v|,(P) A n
Comme TT OO I = itcc, n
DO
(liaison parfaite)
OO
CM
•) = *
kW
12;L
^SS'
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(wp
1
b z2+(w^,)
b
*
2
+
_
^ Ev;(p)]2 [v;(p)l,
S'S-
- 801 -
(W _) = 0 entraîne donc comme T CC , ^ 0
1Z. JL
oD
S
/ S \
( Ws,)2 = -( W gf )j
soit encore
(?.);<?,),
* %ème méthode :
(W
2
r^
f' + +
^S'S^(P)dt+
12>L-
^SS'^'(P)dt
Jt
^^
^s-s
+ ?
ss'
=
avec
°
F
ss'
'
= F
ss""
Vg(P) = (Vg.n) n + n A V°s A n
V ° , ( P ) = (Vg,.n) n + n A V°, A n
Posons
W°g = Vg .ï
W°s, = V°, . n
\2
(W
)
12 L
=
Jt
(W
12 } L
=
f*
F
S'S- W °S
dt
+
l
^2
Jt
F
SS'- W V
J'i
F
SS'
W
S'
dt
mais
l
g
2 —*~
AWgf = k ïïg ,
ce qui donne ici
s' = fc2 ^ss'
AW
mais :
C- "è ^'
F
dt
SS'
F
ss' = dT ^ss'
"
= J- A
k2
dfc
s
Ww
S'
^2
.2> ' ^
(W
Jt
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!
^. d WSS,
- 802 -
On a donc finalement
,fc2
S' d WS' = °
W
Jt
l
Kl - MO, ' •
[K,>2*^,),][(»ss,>2-<»*,)]= o
soit
(H*,) = - (WJJ,)
Remarque : La démonstration a été faite dans le cas de solides libres mais elle
subsiste dans le cas où il y aurait des liaisons qui donneraient un travail nul.
3. Cas^general_£_cor£S__2uelcongues
Les solides ne sont jamais ni parfaitement mous ni parfaitement
élastiques. On adopte alors l'hypothèse de Newton.
On pose
si
(w;f) =-S (w^ )
2
1
£-0
les corps sont mous
6=1
les corps sont élastiques
I. Il y a toujours perte d'énergie cinétique dans le choc sauf si les
corps sont parfaitement élastiques
On a
T2 - T, - (W,^ + (W,^
(4)
T
mais on a
T
2- l
=7f
S S ' ——2
( W°f ) - ( W^f )
(^2
-'(^.)
=
k
l
TF^,
H?), ' k' Vs
(^)2-(^.jj
>
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• (^2>k'2) ^,
- 803 -
ce qui
donne
î~
( WS )
—*~
\ V '2
=
îfoo»
""?"" v
- V( WS ;
S' 1
2
2
k^ + k ' ^
&b
(ws')2-(wsS')i
*SS' "
k 2 + k' 2
On a donc
F
T
?
?"
( W S< )
' (WS')
L
2
1 .
]
22 " T l - î
2
Z
'
k22 + k f 2
Compte tenu de l'hypothèse de Newton
2
T
;)
12 - Tij = - —
2 U(l - 'G
k2 +
*
f2
S
2
;
^ S ?CW
1 )
La perte d'énergie cinétique est maximum pour €=0, elle est nulle pour £=1.
Remarque 1 : G et G' appartiennent à la normale
. ,2
, 2 1
k
»—
m
k
1
=T
m
T2 - T\ « - 2
1 n - s2m+m
) mmt
1
l
U
;
s
rw
y
^^\
f
et l'on retrouve une formule connue.
Remarque 2 ; La percussion est deux fois plus grande lorsque le corps est
parfaitement élastique au lieu d'être parfaitement mou.
—*~
"rïqq»
bb
~
("s?* 2) - s>(?
])
o
o
k2 + k'^
c
(wc,)0'« 0
Si les corps sont parfaitement mous
o
^
(w^),
^
^SS^M = -k2 + k,2
C
Si les corps sont parfaitement élastiques
C
(wc,)0 = - (w , )
b
£
O
1
(7rssi>E
2 2
( , "" kiM
+k'
(ir
SS'}E
=
2
(ir
SS'}M
Ceci a une grande importance dans le choix des matériaux constituant les corps
subissant des chocs,
\
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- 804 -
10.2.2. METHODE D'ETUDE D'UN PROBLEME COMPORTANT UN CHOC
A. Les trois phases d'étude
Un problème de mécanique comportant un choc s'étudie en 3 étapes.
1e phase : le mouvement avant le choc : C^/>> *yl
L'étude du mouvement avant choc permet de connaître position et vitesse
en début de choc c'est-à-dire les conditions initiales du choc.
2e phase : le choc proprement dit : £t7., t~\
L'étude à l'aide de la théorie du choc permet de connaître l'état des
vitesses en fin de choc. Comme la position du système n'a pas varié, la position
est connue. On connaît donc les conditions initiales pour la phase suivante.
3& phase : le mouvement après choc
II s'étudie comme la première phase avec comme conditions initiales les
conditions de fin de choc. C'est cette fin qui sera très importante pour l'étude
des sollicitations du système.
B. Exemple : nous allons traiter ainsi un exemple classique : la traction
par choc lorsque le choc est mou
La masse (S9) tombe sur
(S ) d'une hauteur h.
' • §£H^ê-^H_S2HYê5?êB£
§YâS£.£Îî2£
Elle est élémentaire ici.
Donnons simplement les
résultats fin de 1e phase:
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- 805 -
—*~
* "*"
position définie par OA' = z Zn
Solide (S)
.
''""
->•
vitesse
V
.
-)•
= V
Z
position définie par
^
+
vitesse V = V ZQ
Solide (S')
avec
V
= / 2 gh
—+~
*+
OA = z Z~
avec
Vfj = 0
Mais cette étude peut être elle même un problème complet.
2. Etude_de la^E^âSê.de^choc^^Vitesses^en^fin_de_choc
Le choc crée une brusque variation de vitesse sans variation de
position.
-»-
Le théorème de la somme géométrique en projection sur Z
m (V2 - V j ) + M (V'2 - V f j ) = 0
mais
V1
= 0
V
= V2 (choc inélastique)
(corps initialement immobile)
m[V2 - V^ + MV 2 - 0
v
2
m
=
M+ m
V
1
mais
V} = V2 gh
V
V
2
= —2— \/2z ahn
M+m V 8
^ • l3Hâ£Î£2-^H-E2HY£2Ê2JÈ-.^£-.ilêSSêSfeIê-â£lIS-£Îî2£
F^ -»• P - (M+m) J°(G)
R
- K (zmais
On a
z= z
^
•—
+ z
Z Q ) + (M-i-m) g « (M+m) z"
avec
zn
longueur sans contrainte
z
longueur dans la position d'équilibre statique
z
déplacement à partir de la position d'équilibre
- K (z - ZQ) + mg = 0
V
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donne
- 806 -
L'équation différentielle peut s'écrire
- K (z* + z" - ZQ) + (M+m) g = (M+m) z"
- K "z + mg
= (M+m) "z"
L'équation peut donc s'écrire
(M+m) z" + K z = mg
soit encore
p. + -L. I . JÏÏL
M+m
M+m
L'équation sans second membre a pour solution
z = A cos Œt + B sin flt avec
" = V^
La solution de l'équation avec second membre est
~~
- mS M+m
Z
~ M+m K
I = M
K
z" = A cos Qt + B sin Jît + ^
K
II suffit maintenant de déterminer A et B d'après les conditions intiiales
(fin de choc)
t = t
BR
•"
nig
z - - -f
__
z =
^
2.= °
I
2=M^V^r
gh \/M*™
\/9~Il,
- ï5ï • V2
V-R-
-
m
^
m v 2 gh ^ / M+m
. ^
cos fit
+ -—&V — sin
fit H- me
J
m \/2 gh
(1 - cos Qt) + —
—
VK (M+m)
sin ftt
^' Flëche^maxijwjm^ou^flèche dYSa5ji3uê
Le déplacement maxi est z
. tel que
H
maxi
% r* 2
|| = V 2 g_
maxi !
'
K2
= 2£
K
2~
K
+ V
V
+
i TT
gh
K (M+m)
2 m
EÊ )
VK;
(
+
Z2
+
Ei.
K
2& ^2-. nh
K M+m
est la flèche qui serait due à la masse m (flèche statique)
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- 807 -
2
T
Ûmaxi.) - fs +Vf
s
+
2 f sh -2M+m
on peut encore écrire
(7 . ) = f ( 1 ••• Y 1 + 2 •£• —^
maxi
s y
fs
j+ M /
m
)
On appelle coefficient dynamique
"• "\/'*2£ 771m
Nous allons voir que les flèches en dynamique seront infiniment plus grandes
qu'en statique.
5• AEElΣâM25_5H!?ÊïîSHê J22H^
grandeur
Prenons les données suivantes
M = 0
h
= 0,25 m
A
*
>t = 2 m * z
E
= 2.1011 N/m2
m = 8 kg
a) Calcul de la flèche maxi
f
d = fs + V/fs2. + 2h.fs
fd - fs n
avec
n = 1 +Y 1 + 2 js
b) Calcul de fco
A£
n»E—
La loi de Hookedonne
avec
A/
l-Ef
D'où par identification
sou
ES
K= —
A»
v
K
_ 2.1011 x 4.10~4
-2
K = 4.107 N/m
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P.f«
P
n = —
D
- 808 •
La flèche statique est
me
f = -r~
fs = ^-^r =
S
4.107
2.10"6 m soit 2 y
c) Calcul de n coefficient dynamique
n .1+Vi+^^
2.10 •
n = 1 + \l + 25. 104
n - 5.1-02
Lfamplification est donc considérable.
d) Calcul de la flèche dynamique
— f\
f, = 2.10
d
_o
* 500 = 10
m soit 1 mm
e) Calcul de la force maximum de traction
La flèche totale est
f
td = ¥ + f d =¥*v (ri)
Me
td
=
Ma
(m+M )
K
g +X/f
r
V
2
s
+ 2 rf nh-Hs M +m
La force maximum de tension de la barre
'-* [=1-• *V*.2 ***.-H^ ]
F.K[=^L gtV(f,\2f
F
= <mtM
MXi
>
8 +
fcjjSj]
Vw^amgkhjjij
'«!-•«•*.-. ( i * V i + 2^ HTS
F
. = Mg
6 + mg.n
6
maxi
F
. = &g LF M + n mJ l
maxi
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)
- 809 -
F
. = mgn
maxi •
= .8. 10.500
F
.' « 40 000 N
maxi
La force est considérable.
6. 5î2i2H^î22-^Ë-Iâ-^2E£Ê«5ê5Î
Pour réduire F
. il faut réduire le second terme qui est prémaxi
pondérant, c'est-à-dire réduire n. On peut y parvenir :
- en augmentant M
(on ajoute une masse)
- en augmentant fs (c'est-à-dire en diminuant k, par exemple en ajoutant
un ressort en série avec la barre précédente.
Illustrons cette méthode par une application numérique.
Modifions le système de la manière
suivante :
- on ajoute une masse
M
= 16 kg
- on ajoute un ressort de raideur
j^ en série avec la barre
K. = -rprécédente.
Le nouveau coefficient d'identification est
»' • ' * V. + * £s TT^—
+1
m
La nouvelle raideur est Kf telle que
JL..!
+ _L
K'
K
Kj
-*
K
K
F. - *'
KH-K
" 3
La nouvelle flèche statique f' est telle que
s
fl . i
.J 3
f
K1
s
f
s
- 2.10~6 x 3
-•--V,4^.i
„• .^
On a divisé l'amplification dynamique par 3.
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- 810 -
La nouvelle force maxi est
F1
. = m 16g + 6mg n f
maxi
F'
. = 16.10 + 8.10 . •—.
maxi
3
= 160 +
Ai^OO
„ 40^000
N
4_MO
Remarque : Le fait d'éjouter une masse M
d > N = 1333d<N
augmente certe F
. de M g mais
max i
diminue considérablement r\.
7• A££lications
Les applications des principes mis en oeuvre dans la traction par
choc sont très nombreuses soit directement soit indirectement.
a) Application directe
Exemple : l'arrache moyeu à inertie
Pour désolidariser (2) de (1) on lance la masse pour lui communiquer une vitesse
V . On peut obtenir une "force" d'arrachement considérable.
b) Applications indirectes
Elles sont très nombreuses par exemple en isolation contre les chocs
de nombreux dispositifs de sécurité. Citons :
- conception (et modèle) des automobiles (habitacle rigide entre
deux parties déformables)
- ceinture de sécurité en automobile.
- fixation de sécurité en ski.
- emballage des produits fragiles.
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- 811 -
10.2.3. UN PROBLEME CLASSIQUE : CHOC SUR UN CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE FIXE
A. Schéma adopté
II est le même que celui qui est utilisé pour étudier le mouvement
autour d'un axe fixe
- en 0 la liaison est sphérique parfaite
- en A la liaison est fsphérique parfaite
(prismatique parfaite
On a désigné par :
M
la masse du solide
G
le centre d'inertie
I
le tenseur d'inertie
A (SQ) on lie le repère (RQ) (0, XQ, YQ, ZQ)
-+
Z^ porté par l'axe de la rotation de sens arbitraire
->
X vertical ascendant
0 = Z0 A *0
?
A (Sj) on lie le repère (Rj) (0, Xj, Yj, Zj)
-*•
-»•
Z =Z
l 0
-*
X
?
arbitraire
i-JrAV
On repère la rotation de (R )/(Rn) par
e = (XQ, x^
Le centre d'inertie est défini par
ÔG - |a, b, c|
1
Le tenseur d'inertie est défini par sa matrice dans (R.)
T0 =
"A
-F
-E~|
-F
-E
B
-D
-D
Cj
R
l
On applique au solide un torseur de percussion défini par
9ft(0) = |
> ^y'^zV
W
=
f x' ^ \ ] R,
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- 812 -
II y a en outre un torseur de forces données
w>-[VVMJ*,
F
= FFx , F , ZF~L
R
L
y
J!
La contribution de ce torseur sera nulle pour la phase de choc car il donnera
des percussions négligeables.
Les liaisons en 0 et A conduiront a priori à des percussions de liaisons
dont les éléments sont :
- en 0 : comme la liaison est sphërique parfaite
_
($1 \
=
[ÏPl* 1
6p\
—
& i est une percussion de liaison
£P2z R
L
J !
" 0"
Mj(0) =
0
L»J R l
" en -A :comme la liaison sphërique parfaite se double d'une liaison
prismatique parfaite
\
[^2x1
sr?*\
^^
t/ 2 ~ gT2y
L ° J,,
r o"
M 2 (A) =
0
L°J.,
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{J75 _ est une percussion de liaison
J
L
- 813 -
B. Mise en équation par les théorèmes généraux
1 • ï-£2Iê!?£-.^£-iê-S2™!!ê-.S^2inÊ£lismê
é^i +&2 +Sp= (°0)2 • ( ° 0) i
avec
a° = M V°(G)
V°(G) =~n ] A OG
~0~]
0
6
A
fa"
b
L c J-JR,
p
>-
'- R
R,
|~~ be r
V°(G) =
+ a6 f
L «J.,
On posera 0 f = ça vitesse angulaire du solide (S ) .
Le théorème de la somme géométrique en projection sur les axes donnent :
é^x + ^x + C - -*> <-2-»i>
é/V^2y
£?1 Z + ^
+
^
=
(1)
-Ma^-.,)
'
^
°
(2)
^
ça et o)« désignant les vitesses angulaires respectivement au début et en fin
de choc.
2 • ï!î§2Eë5ë_^ii^525?êSJË_£iïîê£i2yë-êS-2
M 7 o ) + ô T A ^ | = [^0)]2 - lV( 0 >]i
- A r°i r^i
OA A^ =
0
A
. * JR]
QA A^2 -
^>2y
. °
ï-^y]
l.£f>2x
L ° -I.,
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JRi
- 814 -
7(0) -~0.^
."A
-F
-F
B
_ -E
-E~| F o
0
-D
c
-D
0
J L ' -
•["- Hé1""
y°(0) -
- D0 f
C0f
0' =
u)
-
Posons en outre C=I moment dfinertie par rapport à l'axe pour être en accord
avec la notation généralement employée.
En projection sur les axes on aura :
M
x "£^2y = "E
(u)
(4)
2 "V
My + A(P2x = - D (u>2 - to,)
MZ
= C (u>2 - MJ)
(5)
(6)
Nous avons 6 équations pour déterminer 6 inconnues. A savoir
- la différence de vitesse u« ~ u).
- les composantes des percussions de liaison
#,• ^y> ^. ' ^fcy'
Le problème peut donc être résolu dans ce cas. Notons encore à propos de cet
exemple que nous avons à résoudre un système d'équations algébriques et non
comme cela arrive avec des actions finies un système d'équations différentielles.
Il n'y a pas à introduire de relation supplémentaire.
C. Cas particulier remarquable. Centre de percussion
Pour continuer l'étude il faut se donner le torseur des percussions
extérieures qui variera pour chaque exemple traité. A titre d'exemple prenons
le cas qui se rencontre fréquemment où le torseur des percussions extérieures se
réduit à une percussion unique ir appliquée en p tels que
a
* h~
ïï =
Z
L *Z
JR
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-\ '
TT
OP
=
g
Y
1
L
I
JR
1
- 815 -
* • î?i£Ê»£S-É2HâJÈîon
Dans ces conditions on a :
&[""'y
*
/
TT
'
M(0) = "ÔP" A î
F 7F
a
=
6
A
.YJ
-gir z
-
Yïï
X
aïï
r« .
-
Y ir y "
- (Xïï
Z
- gir
y
L
X
• iry
X
T?
JR,
Les équations 1-2-3-4-5-6 deviennent donc
^x+^L
+
*x
éP\j*02j+*j
--.^(«2-»,)
(')
=
(2)
fàz + \
**.<»2-»J
=
BTTZ - Y ^ y - £^2y . Yir
x "
a7r
z
+ £
^2x
air,yr ~ BTTxV
=
"
(3)
°
E
D (a)
(o>2 - <o,)
2 ~ "^
- I (w,^ - ai.)
i
(A)
(5)
(6)
•2* Ç2S^î£Î2S-E2H£-âï2ÎE-^êS-EêE£HSSÎ2SS«SlliIêS-£l裫iIâ2ê
Nous avons vu que les chocs conduisent à des forces instantanées
mais très grandes. Si on ne prend aucune précaution en 0 et A nous aurons donc des
forces de liaison qui risquent de détruire les paliers. Il est donc d'une importance capitale de rechercher à quelles conditions les percussions en 0 et A peuvent être nulles. Elles donneront alors pendant le choc des forces nulles.
->
->
La condition cherchée se traduit par ffl - 0
^P? = ^
£P,x-°
^2*-°
é/V°
#V°
^j.-Û
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- 816 -
Les équations deviennent :
ïï = - Mb (a)- - a),)
x
2
1
1
= -Ma (u)« " 0 3 . )
2
ïï
ïï - 0
z
3ïï
yïï
aïï
z
x
y
- YÏÏ
- aïï
- gïï
3
y
= - E (o)0 - a).)
z
I
4
z
= ~ D (ca9 " a) r )
^»
i
5
x
= 1 (a>9 - a).)
A.
i
6
Nous allons interpréter de façon concrète ces résultats en montrant que la percussion
miné.
est alors un vecteur glissant dont le support est parfaitement déter-
a) la percussion
et contenant G.
L'équation (3) donne Jt
doit être orthogonale au plan passant par (0, Z..)
= 0
ce qui signifie que la percussion est orthogonale
à l'axe (0, ZQ). En outre les équations (1) et (2) peuvent s'écrire :
ïï
U
2 ~ "l
=
" ÛTb
ÎT
m
2
— m
1
—
*
M.a
ce qui se traduit par
ïï a + ïï b = 0
x
y
Mais ce résultat a une signification simple. Calculons le produit scalaire
Ôclïï
+
OG.ïï •* £a,b,cj
ïïx
ïï
ïï
z
= ïï a + ïï b
x
y
On a donc
OG.ïï = 0
+ orthogonal à (0,"*"
"^"est perpendiculaire au plan formé
En conclusion ïï
Zn) et OG
par ces deux vecteurs.
-*
•**
b) Le plan contenant ïï et orthogonal à (0, ZQ) coupe cet axe en un
point K où l'axe (0,ZO) est principal d'inertie.
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- 817 -
Compte tenu de l'équation (3) les équations (4) et (5) s'écrivent
y-tf
=
y-rr
« - D •(<*)' - œ )
^
i
-
Mais en éliminant TT
x
x
et TT
y
-
£
(0*2
~ 0). )
grâce à (1) et (2) on a après simplification par
œ2 - e u ,
E = Y Ma
D = y Mb
Nous savons que cela signifie (voir cours de géométrie des masses) que pour
—»
->
-+
le point K tel que OK = Y Z l'axe (0,Z ) est axe principal d'inertie.
Le point K est parfaitement défini
y
s=
r
E—
Ma
-»•
c) La distance à l'axe (0,Zfi) du point 0' où le support de la percussion
ïï rencontre le plan (0, Zn, OG) est égale à la longueur du pendule simple synchrone du pendule composé.
Pour finir de déterminer la position du support de TT il nous suffit
de calculer a et g. Mais il sera plus profitable de calculer la distance du point
O f à lfaxe de rotation afin de retrouver une notion remarquable de dynamique.
Dans l'équation (6) remplaçons TT
et TT par leur valeur tirée de
x
y
(1) et (2). On a après simplification par o)2 - a)
I = (aa + gb) M
Désignons par :
d.
d
r
->
la distance de G à (0, Z0)
->•
la distance de P à (0, ZQ)
•+
la distance de 0' à (0, Z )
On a immédiatement
dj
-J7T7
a2 = Va2 + e2
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- 818 -
->-
En outre soit p le rayon de giration relatif à l'axe (G,Z ). On peut écrire
2
2
I = M p + Md (Théorème de Huyghens).
La relation
I = (aa + gb) M devient
p 2 + d 2 = (aa + gb)
Ceci n'est au fond qu'un simple changement d'écriture.
Désignons par h la distance PO'. On a immédiatement
2
2
2
,2
r = a + n6 - h
-»•
Calculons la distance PO' qui est la distance de P au plan passant par (0,ZQ)
et contenant G. Soit M un point courant de ce plan :
°" = [x'y'z]R]
L'équation de ce plan est l'équation d'un plan dont un vecteur normal est
ïï =[jr , TT , 0"J et qui passe par 0. Son équation est donc
ôïT. t = o
X.7Tx + y.7Ty = 0
ce qui donne en éliminant TT x et TT
TT
2\.
grâce à
Y
= - Mb (o)9 - ça )
1
JL
= Ma (u>2 - o>j)
TT
- xb + ya = 0
La distance de P telle que
h2 =
OP = [a, 6, yJR
(- qb + ag)2
a
+ b
On peut donc calculer r
r2
_ a2 t
62
_ (- db * a 6 > 2
a
•«• b
2 2 2 2
- a a + b B + -2 ab a g
"
v 2 - (aa+ bg) 2
"
r =
^,2
aa -H bg
d
i
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= Md
I
i
à ce plan est h telle que :
- 819 car la quantité qui est au numérateur est positive d'après la relation
I = (aa + gb) M
p
En éliminant
2
2
+ dj
ou
(aa + Bb)
aa + $b
p
2
+ d
2
= rd
d'où
' -*,+ §7
On a là un résultat bien connu. En effet nous avons la disposition suivante dans
le plan passant par l'axe et contenant G.
Le résultat s'écrit encore
p 2 = d 1 (r - dj)
->•
->
Cela signifie que les axes (0,Z0) et 0',Z ) sont les axes réciproques du pendule
composé. Le point O 1 est appelé centre de percussion.
Il y a donc 3 conditions pour obtenir le résultat souhaité. Les résultats cidessus ont une grande importance pratique.
D. Application : Calcul du centre d'inertie d'une plaque plane
tournant autour d'un de ses côtés
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- 820 -
1° ______—
Détermination de Y
_^
_^
Prenons comme plan (0, Z , X ) le plan de la plaque. Pour qu'au point
->*
"*
K appartenant à (0, Z ) l'axe (0, Z ) soit principal d'inertie on doit avoir
E = 0
(E =
xzdm)
Jpes
D = 0
(D =
yzdm)
Jpes
La deuxième intégrale est nulle car pour tout point M de (S.) la cote y est
nulle. Pour que la première soit nulle, il faut et il suffit que K soit l'axe
-*"
*
de symétrie (G,X ). C'est le point K .
Remarque : On aurait pu obtenir ce résultat de la manière suivante :
Y =
a
E
Ml
ii
~ 2
o
E = o+ M
y
o
1
3
4
.
_
H
£
'*l
3 _
1
£
Y
3
" 2
2° Détermination du centre de percussion à l'axe de percussion
2
On a
r= d +V
d
ou encore
r = —
Md
Le moment d'inertie par rapport à l'axe 0,Z
2
!-l£
1
3
K1
r
2
1
"~ ' 77
2
-I'
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est :
- 820 bis -
3EME
CHOC
AU
P A R T IE
AVEC. . F R O T T E M E N T
CONTACT
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DE
DEUX
SOLIDES
- 821 -
Nous allons d'abord étudier le problème en détail dans le cas d'un
système plan et ensuite faire une étude générale.
10.3.1. CHOC D'UNE PLAQUE PLANE SUR UNE AUTRE PLAQUE PLANE MOBILE
-*
-*•
La plaque (S) est mobile dans le plan (X ,Y ).
-> ->
u u
(!,XQ,YO) est un repère utilisable pour la théorie du choc.
Yn
normale extérieure à (Sn)
Z~
"**
XQ
normale au plan de la plaque
choisie de manière que si l'on désigne par £a,b,Cf] les coordonnées
de G on ait
ab > 0 (coordonnées de même signe).
En I l'action de contact est F
(Jo
l'écriture
F
= [X,Y,Z J R
« u[Xnc, Ync, oT
1
V°(G) = £a,e, 0 JR Q
V^Tl) =
Ub
- K^.
. Elle donne lieu à percussion :
^os =LV w y» \1
On posera
Ub
[u, v, O j R Q
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ou pour simplifier
- 822 -
La vitesse de glissement de (S)/(Sn) est le vecteur V° (I) lorsque l'on suppose
U
k>
la vitesse de déformation v nulle. C'est donc
~V*"= n A "v^ A n
g
S
\mt*> -o, O:IRO
A. Théorèmes généraux de la théorie du choc
' • Zîîê2ll5ê-^ê-iâ«S25E?Ê-ʧ2mË£ïi31îê
TTX = M (a 2 - O j )
(1)
7ry = M (e 2 - 3 j )
(2)
2. Theorème_du_moment_cinetigue^en^G
^^s-f^-K),
ïï
-a
^"A "os
~b
=
i-
%
0
J
o
L
0
J
o
0
=
0
- air + bir
. y
x- J o
7(0 - "G . ^
y°(G)
On posera
C = Mp
2
-
o 1 f o"
[A
-F
-F
B
0
0
°
c
0
J
L
w
.
p étant le rayon de gyration.
Donc :
9
- air
+ bïïx = Mp (a>2 - Wj.)
(3)
Le problème serait parfaitement résoluble si l'on connaissait :
* les lois qui régissent la percussion de contact (loi de Coulomb. Mais il
faut pour cela connaître l'état de la vitesse de glissement).
* la condition de fin de choc. Nous prendrons provisoirement celle de
DARBOUX
V2 = - e Vj
(4)
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- 823 -
Les lois qui régissent l'action de contact et donc aussi celle de la percussion
de contact seront connues lorsque l'on connaîtra Vg donc en étudiant ce qui se
passe pendant l'intervalle Cti'toII ^ l'aide des théorèmes généraux pour les
forces finies.
B. Application des théorèmes généraux
' • ïîî^2rëinê ^lë-.Ia Ëoime_Êê2Së£!ÎSHë
M£ -
X
(5)
M |
| - Y
(6)
2. Théorème dujnoment d^namicjue
Mp 2 â| = bX - aY
(7)
Pour résoudre le problème il faut connaître par les lois de Coulomb la relation
entre X et Y donc connaître la vitesse de glissement.
3. Calcul de
V* (I)
— ———————•!-
k
v° s (i) - v^(G) + n^" A GI
" a "'
g
" °1
+
. 0j
0
L
w
.J
"-a"
A
-b
L°
a + bco
=
Donc :
3 ~ aa)
L o J RQ
u « a + ba)
(8)
v « .g - aa>
La vitesse de glissement est rappelons le
Vg « (a •+- ba)) XQ
\T"= u . XA
g
0
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ou
- 824 -
Remarque : On peut passer des équations (5), (6), (7) aux équations (1), (2),
(3) par intégration par rapport au temps et en négligeant les percussions dues
aux forces finies (il n'y en a pas ici) et en admettant qu'il n'y a pas variation de position
Mda - X dt
Mdg * Y dt
Mp2 dû)= b X dt - a Y dt
.H
M [<x2 ~ ΠJ ] -
X dt
Jt
M[6 2 -e,]=
l
(t
Jt
^ dt
l
2
Mp^ [o>2 - o)j J - b
(^9
Z
(Z
^9
11
^t
X dt - a
ft
mais
X dt = TT
Jt
x
;
\
f Y dt
Y dt
'
= ir
y
\
l
et l'on retrouve bien les équations du choc.
C. Relation entre les composantes X,Y et les dérivées ~nr et ~r~ dhe
la vitesse V°£ (I)
(8) et (9) donnent
du _ da
dt " dt
, da)
dt
dv _ dg
da)
dt = dt "" a dt
en tenant compte de (5) et (6) on aura
,
bX - aY
v
Éi = 1 + K
5—
dt
M
Mp
dv
Y
bX - aY
dt " 5 " * —^2~
g.J^
dt
_. 2
Mp
S01t enC re
°
(p2 + b2)x.J^z
T
Mp
X ( a2)ï
^•-^ ^ ^
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- 825 -
—"- et -—
s'expriment linéairement en fonction de X et Y sous forme matricielle
r
j
du
r p2
-T
"
2
+ ub
u
ab
Mp 2
~Mp 2
~) rY ~\
(8)
dv
dt
J
|_
"'
2
2
p + a
_. 2
Mp
J
ab
2
Mp
Y
Y
L
On désignera par QG] la matrice de (8).
2
~
On pourra poser encore
2
uab
f0 = —
rz
2 , .z
p + b
p A+ a
f = 1
ab
Remarque :
f
1 -
(P
?
?
9
'?
+ a2) (p^ + b^)
f
£l>>1
^
(ab)2
f
2
f
2
On peut ainsi écrire :
O
O
du _ p
dt
-f b
F
X
ab
1
" ~ V ~ L "7T7 J
g.. j*
r pi-aï Y . x ]J
Mp L ab
dt
2
^-^
['-^«J
Mp
^>
^1
dt = ^L2 [",f Y _ X "]
J
Mp L i
( 7 ,)
L
J
On peut naturellement exprimer X,Y en fonction de -7^-, T^ par la transformation
dt dt
inverse :
Le déterminant de la matrice [G] est
.
4
P2 + a2 . b2
—T7~
~
rr T-'l
.
t
"
J
2 2
Mp
p
2
+ a
Mp
2
ab
"""5"
o
Mp
2
2
?
p . + a + b
ab
Mp2
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p
2
+ b
Mp 2
2
- 826 -
Dfoù
" Y 1
X
F M P 2 * a2
M - y - 2
p + a + b
M ab
2 2 . 2
p + a + b
2
1
\du
dt
(9)
2
M ab
2 , 2
p + a + b
Y
M
2
2
p + b
2
2
,_2
p + a + b
dv
dt
X'et Y s'expriment linéairement en fonction de — et — .
dt
dt
D. Discussion
Elle se fait en fonction de la vitesse de glissement et en particulier de sa valeur initiale u . Trois circonstances peuvent se présenter :
Uj < 0
Uj > 0
Uj = 0
on suit l'évolution de la vitesse de glissement en cherchant le lieu de l'extrémité du point M, tel que OM = £u,v,oj . La courbe décrite est l'hodographe du
choc.
1. La vitesse de glissement initiale est
u. > 0
La composante tangentielle X est donc négative au début du choc
|X| - f|Y|
X
donc
= - f |Y|
mais Y > 0
(choc). Donc
X = - fY
Les relations (6f) et (7') donnent alors :
£ • - ^ « *v *
£•*£«**,>'
<"»
Mp
avec Y > 0
La relation (10) montre donc que u est une fonction décroissante du temps.
En faisant le rapport membre à membre de (11) et (10)
f
du
22
£r--
f+ f,
l
(f+f2)
dv
Donc — est constant,
du
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(12)
- 827 -
La trajectoire du point M est donc une droite d'équation :
v
~ vi = ~ f2
f +f
T^~r2 (u"ui}
l
(v 1 est négatif du fait même qu'il y a choc).
Cette équation est valable depuis t = t
^ =-
P
*2b
j u s q u ' à un certain temps t
(f + f 2 ) Y
6 J t , t^ [
avecY>0
M p
u est une fonction décroissante. Par suite les circonstances suivantes peuvent
se présenter :
- u ne s'annule pas pendant la phase du choc et reste donc positive jusqu'à la
fin du choc.
- u s'annule. Deux éventualités peuvent se présenter :
- u reste nul jusqu'à la fin du choc
- u reprend une valeur non nulle jusqu'à la fin du choc.
Remarquons tout d'abord que jamais u ne peut redevenir positive si
elle s'est annulée.
En effet s'il y a glissement positif on a toujours :
2
2
ÉE . - P * b (f
(f
+f Y
^ y
+
dt
2
V
u
M p
La fonction u ne peut être que décroissante. Si elle a la valeur zéro elle garde
donc la valeur zéro. On a donc à envisager les éventualités suivantes :
- u ne s'annule pas et reste positive jusqu'à la fin du choc
- u s'annule et reste nulle jusqu'à la fin du choc
- u s'annule et devient négative jusqu'à la fin du choc.
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- 828 -
On peut représenter graphiquement ceci de la manière suivante :
a) 1e hypothèse
u>0
jusqu'à
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t=t
-829-
n
et v
Nous allons maintenant chercher quelle condition doivent vérifier
pour que les conditions de l'hypothèse soient remplies pour une po-
sition de choc).
Pour être dans ces circonstantes il faut et il suffit que le choc
soit terminé lorsque u est toujours positif (ou éventuellement nul).
Lféquation de l'hodographe donne :
f+f
V
i
2 ~ V 1 = "f2 TT-fJ- (U2 'V
(1+e) v
i = f 2 T^T2
(U
2-V
f+f
u
= u
2
+ (1 + e)
f2'(f + f,)-
v
'
u9 doit être positif ou nul
u +
i f 2 (f*v c + o v *o
f
u
i - hl
l+f2
i ^ " f 2 (f 1 + f) (1 + e) v i
f, + f 2 + e v
u
i * f—(f+f ) c ^ l jl
u
v =
soit enc re
°
f +f
l^pïT^0'0
autrement dit il faut que u. soit suffisamment grand par rapport à |v | .
Si l'on est dans ces circonstantes les équations sont valables du
début à la fin du choc. Nous pouvons maintenant déterminer complètement le problème.
DêteTïïrLnation des inconnues
Les inconnues du problème sont ou, 39, ou , TT , TT . Pour les déter&
£
z.
x
y
miner nous avons :
- les équations du mouvement :
\ "M
(0
2 ' V
% -M «2 -61}
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- 830 -
bïï
X
- a-rr
y
= M p
2
(co
*.
- a) )
J
Remarquons qu'au lieu de déterminer a 7 et g« il est suffisant de déterminer u~
et v« pour connaître l'état du mouvement après choc. En effet :
u = a + ba)
(
v = g - aa>
- la condition de fin de choc
v2 = - e v,
- en outre s'ajoute maintenant la loi de Coulomb dont nous venons de préci
ser les conditions d'application : il y a glissement du début à la fin de choc
et glissement positif.
|u |= f [IF |
I
X
TT
l
yl
I
j
= - f 7T
x
y
ce qui nous fournit la relation supplémentaire qui nous manquait. Nous avons
maintenant 5 inconnues. On peut remplacer dans les équations du mouvement les
termes en a,3 par des epxressions correspondantes en u, v :
a
or
2 " al
= U
2 " u l " b ^2 " ^1^
B2 " P j
= V
2 " vl
^2 " ^1^
= M
7F
= M [ v 2 - V j + a (o>2 - o ) j ) ]
TT
x
= - fir
- (bf + a) TT
%
2
=
" uj "b
(a)
%
[
U
+ a
2 "'"i^
y
= Mp
2
M p2
'
"TTbf
\=!Tbf
f
(co2 - ça )
(Q)
(a)
d'où
,
w }
2 " i
2 "ttl>
M 2
M [ v 2 - v 1 + a ( W . 2 - c o 1 ) ] - — S ç j (o)2. - co,)
^2 " w l
=
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2 a Vf
. (1.+
a + p + uabf
£) V
l
soit
- 831 -
.„ y ---JL^
4- $
a
V-IT^l
x
&
-f <
1 + £ ) V
+ abf
,
'
2
M
-j
1
a + p + abf
U
f (o>2 ~ u > j ) - M [ u 2 - U j - b (u>2 - c ù j ) ]
2~ i
2
=U
1
2
b
u =b +
U
a -a
+ç
(I + e ) v ,
+ abf
r£bT '^-"V
ab + b2f + Q2f ,. _,_ ,
~2
2
T T ( 1 + E ) Vl
a + p + abf
+
2
a b + b f +
= —5
^
a + Q +
2
p f , .
N
K— (1 +e)
v
abf
,
a+bf
,,
- b -=
»
(1 +Ne) v
a + p + abf
2
a_-a. =-5—£-5
f (1 + e) v
J
^
' aZ + p + abf
P 2 -e, - - (1+e) v + a
a
2
a
bf
(l+e)v
+ p + abf
2
2
6 9 - $, = 7 " %
(1+e) v
L
' a^ + pZ + abf
'
En résumé le mouvement en fin de choc est défini par :
2
a =a +
2
i T—T
a + p
f (1+£) v
+ abf
i
2
39 = 6, ~ j P?
(1 +e) v.
]
^
* + p^ + abf
'
a
«o2 - a), +
a
.* bf
(1 +«)v
+ p + abf
La percussion de liaison est entièrement déterminée par :
+
M n2
V" ~T—S
a^ + ç
X
f (1 +e v
+ abf
>i
.y-'-rTV-—
<•*•)',
a + p + abf
7
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'
- 832 -
f +f
1 2
Uj < - (1 + e) -—(f + f )
b) %e hypothèse
v
La vitesse de glissement s'annule pour
i
t = t ^Jt,t 2 [ et reste
nulle pendant un certain intervalle de temps.
On a £ = 0
ut
A
comme
du
— =
2
t
2
p + b r vx
^— L
r v ~l
~ ^Y J
M p
X - f2Y = 0
Y >0
or dans la phase précédente nous avions :
X = - fY
Y >0
La composante tangentielle devient subitement positive X = f^Y. L'action de
*
.
.
contact est donc discontinue pour t = t . Le non glissement exige d'autre part :
|X| < f.Y
Le roulement sans glissement se poursuit donc si :
f2Y < fY
£
2
donc si
<£
§k_< f
P
2
^ K2
+ b
Les conditions de déroulement du choc étant connues nous pouvons maintenant
déterminer a,^, 32, <o2, v^9 TT .
o) 3e hypothèse
La vitesse de glissement qui s'était annulée pour t = t . devient
négative.
La vitesse de glissement étant forcément
négative on a
|X| = f|Y|
X
= + fY
On avait précédemment X = - fY.
Il y a donc ici aussi discontinuité.
du _ ^ 2 ^ , 2
dF
£-V-[f- f2l Y
M p
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- 833 -
t
Comme u doit aller en décroissant on a donc nécessairement pour quelhypothèse
soit réalisée
f - f2 < 0
f <f
f
2
< _JÏÎ>
2
2
p +/u
b
On a en outre
r
dv ._ ab
^~Mp
_
2 L
-i-Y
J
'
*
et l'on va pouvoir préciser l'hodographe du choc dans sa partie M M
,
ab
dv
du=
2
+
£
'f2
b2
liH
f-f 2
-f
2
avec
f, -f
_J
e
(3 hypothèse toujours vérifiée)
f < f2
Vf,
f< f
V i
v - v = f2 .f _ f
*
Sur la partie
MM
)t
/'
*X
(Uj = 0)
X
*
nous avions
f+f
v
(u-u )
1
v
~ l
=
f
" 2
i
fTfJ<u-ui>
ou encore comme la droite pase par M
v
'
v =
-
f
*2
f+f
i
TTIJ
<(u'u^>
Nous avons donc à comparer la position des deux droites :
f +f
y j -y
= - f2
f+f
i
x
(arc MjM )
x
(arc M M £ )
f f
r
y 2 - y = - f2 j~f
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ON
- 834 -
(le changement de notation étant fait pour éviter les confusions)
f+f
r
!
y, -y . • - 2 f + f
f
2
~ f2
2
f
y
i
f -f
x
2
(f + f > ( f - f ) - (f + f > (f - f )
y
y
l" 2
=
f
~ 2
(f + f 2 )
f
v
y - yv
l
= - ? f£
2
"2
(f2-f)
2 - fl
( f + £2) ( f 2 - f )
Xv
Or dans la phase qui nous intéresse nous avons toujours
f,-f2
y
donc
y
l" 2
= 2 f f
y <y -
' 2
(f + f 2 ) (f 2 -f)
pour x < 0
et nous avons donc la disposition suivante :
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X
f <f
<f
x<0
- 835 -
2. La vitesse de glissement initiale est négative : u < 0
La composante tangentielle X est donc positive au début du
choc
X = fY
Les équations
*L = P +2b
dt
M(?
fx
LX - ff2Y~l
Yj
— - -^r f'Y - x i
Mp
2
dt
L
J
deviennent alors
&• =
dt
g2 + b2
ff - fr 1 YY
MM p2
r 2J
fr-A [«;-<]*
M p
La trajectoire du point M est donc définie par
A
dv
f
abU
_J, -
dU
%2+b2
f
f
-f2
,
f, -f
dv = f J
du
*2 f-f2
f f< f f
2
l
u
i<0
f -£
v v
" i
=f
(u u }
2 f^TJ
"i
équation valable au départ.
C'est la position de f par rapport à f
et f
qui va permettre de conduire la
discussion.
a) Ie hypothèse f<f0Ci
On aura donc la disposition suivante :
'«««".('«TV^)
*L = P
dt
+b
2
M p
M
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TfL - f21 Y^
r
±
J
- 836 -
La vitesse de glissement est donc décroissante, le glissement négatif se poursuit donc jusqu'à la fin du choc. On a donc le diagramme suivant :
b) 2e hypothèse
/2</</I
La vitesse de glissement est négative mais croissante. Elle peut donc
s'annuler ou non avant la fin du choc.
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- 837 -
a
) Ç£BïîîJ:î22_E2Hï_SBË_l§J£iJÈê£Ëê_^
On doit avoir tu < 0 en partant de la formule valable depuis le
départ.
f
~
ev
v
-
0+e) v
i " i
= f
r f (U
2 T=~T2
i - f 2 Fhç
2" U 1 }
(U
2-V
f -f
U
2
= u
l -
(1 +e)
f2 (fj-f) V l
La condition est donc
, - (1+£) f2 (f/J) v, > 0
u
On peut faire porter la condition sur f
u,-f 2 (f,-f) - (1+e) (f-f2) Vj > 0
- f ^f 2 Uj + ( 1 + 8 ) v, 1 + [ u , f 2 f I + ( 1 + 8 ) f 2 v l > 0
f
u f
<
' '
+ (1 + e ) - V ,
L rf
f 2 U j + (l + e ) V j
2
On peut facilement démontrer que le second membre est compris entre f
Soit x ce second membre, calculons x - f„ et f -x
Ujfj + (1 +e) V,
X
x
f
" 2
= f
"f2
_ f _ £ 2 ( f i-V"i
2
Comme
2 f2Uj + (J +e) V r
u et v
f2Uj +• (1 +e)Vj
< 0
f,>f 2
f2 < x
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—*- x -• f- > 0
et f .
- 838 -
f
l~
X = f
u ] f j + (1 + e) V j
l ~ U , f 2 + ( 1 + e ) v, f 2
(1 + E ) v
f
*2
_
Coinme
-x
=
X
U,f2
(f -f
'
'
l
> f
)
+ (1 + E) V j
u, et v, < 0
1
1
f
L
_
f
Q
2
X < f
l
3) Conditionj3our_que_la_vitesse_de Êiî£sêSêB£_EHi5Ëê_£l§n2HiëE
f - f2
u. - (1+e) -—7T——rr v
1
< 0
ou encore
r ^ v l - j " " ' / !
f >
u-f.
l J + (1 + e) v-
L
f
f2Uj + (1 + e) Vj
2
Nous allons montrer qu'alors la vitesse de glissement reste toujours nulle
par la suite :
- si u reprenait des valeurs négatives on aurait nécessairement —
< 0 . Or
dans le cas du glissement négatif on doit avoir comme au début
— dt
mais f> f9
p
*b
2
M p
w
Tfr - f 1 Y
L
r2-l
dans l'hypothèse envisagée. La fonction u ne peut être que crois-
sante. Elle ne peut donc devenir négative en partant de zéro.
- si u prenait des valeurs positives on devrait avoir
—
> 0 on aurait
|X|=£|Y|
X
soit
« - fY
^--^r- "'V
la fonction ne peut être que décroissante pour
ï>0
u>0.
Par suite si la vitesse de glissement s'annule on doit avoir obligatoirement
u = 0 de t = t* à t = t2.
Vérifions alors que les lois de Coulomb pour le roulement sans glissement sont
toujours vérifiées.
On doit avoir
|x| < f|Y|
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- 839 -
mais
-•— = 0
(u E 0)
X - f2Y - 0
X
= f2Y
or dans cette hypothèse
donc
f 9 <f
X < fY
e) 3e hypothèse
/> f
On a donc la disposition suivante
f2 < f, < f
2
2
du _ P + b
/f_f }y
f ;Y
(f
dt
2
2
M
M p
f -f
V
V
~ 1
—
du _ _ab_ . _ .
dt ~
2 (f 1 f) Y
M p
= f
> 0
2. f^fj (U"U1}
la vitesse de glissement est croissante. L'hodographe a
l'allure suivante :
La vitesse de glissement s'annule donc nécessairement. Nous allons montrer que
par la suite elle restera toujours nulle.
- Supposons qu'elle reprenne des valeurs négatives, alors cela exigerait :
du
.
— < 0 mais si u est négatif on a
JËH.
.M ^
P *b(f(f
-fY) y
f2)
dt
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> 0> o
- 840 -
- La fonction u ne peut être que croissante.
- Supposons qu'elle prenne des valeurs positives. On doit avoir nécessairement
pour cela —
> 0 ; mais si u > 0 on a :
S'-
L
f
&
M p-"* 2>*
<°
u ne peut être que décroissante.
En conclusion u reste toujours nulle. Vérifions que la loi de Coulomb
relative au roulement sans glissement est vérifiée.
Si
U E O
donc
-^ |£ = o
dt
X - f2 Y = 0
X - f2 Y
mais
f
donc
< f
X < fY
3. La vitesse de glissement intiiale est nulle
u. = 0
Trois cas peuvent se produire après l'instant intitial
u
reste nul
u
devient positif
u.
devient négatif
a) u peut-il rester nul ?
S'il en est ainsi nous aurons
du = 0
r\
-rr
ce qui• j
donne
X - f2 Y = 0
or la loi de Coulomb dans le cas
du non glissement indique
W < f|Y|
X
< fY
Pour qu'il y ait roulement sans glissement du début à la fin on doit donc avoir :
2 <f
f
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- 841 -
b) u peut-il devenir négatif ?
Pour cela on doit avoir
—
<0
dt
mais pour u négatif on a
(f £ )Y
£-4^
M p - '
si f > f 9 v c'est impossible : glissement nul jusqu'à la fin du choc
si f < f? c'est possible. On retrouve un cas connu : il y a glissement
persistant jusqu'à la fin du choc.
°)
u
peut-il devenir positif ?
Pour cela on doit avoir — > 0
dt
si u est positif
jg--
mais
— est donné par :
p2
* f (f + f 2 ) Y
c'est-à-dire
M p
3ÎT<°
u ne peut donc devenir positif si sa valeur initiale u est nulle.
En résumé si u est nul deux cas peuvent se produire suivant la
valeur relative de f et f9 :
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- 842 -
^2
<
*
il y a roulement sans glissement du début à la fin
%2
>
*
il y a glissement négatif jusqu'à la fin du choc.
10.3.2. METHODE GENERALE
—^
Soient deux solides (S) et (Sf) en contact au moment du choc au point I.
Z est la normale extérieure à :
ÏG"- [a, b, C]RQ
î?~= |a', b', c' |R0
avec a,b,c,a',b',c?, croissant au cours du choc. On posera en outre :
V^(G) -[«, B, y]
Ô^ - [p,q, rjRQ
V-i(G') -[a', 3', y']
^, . [p'f q'f r']
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- 843 -
A. On applique les théorèmes généraux du choc à (S) et (S1)
Posons que la percussion est
TT _ f -jjr ,TT , TT~]
SS
x y z
D'après le principe de l'action et de la réaction applicable aux percussions
*ss' + Vs
=
°
1. Théorèmes^generaux du choc^à^S)^
*
V
s
= M (V°7c))2 - (V^(G))1
- TTX = M (a2 - a,)
(1)
- iry - M (g 2 - 3 j )
(2)
- irz = M (Y 2 - Y,)
(3)
* ^A vs = (^4 - (^4
Pour le corps (S)
7B = î ^
""A
«
-F
—+~
I" p ~
-D
B
m~E
»
-E"]
-F
q
-D
CJ
Ap
«Fq
-Cr ""
-Fp
+Bq
-Dr
__-Ep
-Dq
+Cr _
-
^
Gl A TI ,
a "1
- b
SS
L.
-
bîT
=
C
z
C7T
F -TT
x
A—rr
J
L.
-
CTT
-
aTT
X
r ^
m
y
-TT
z
J
y
Z
é
air
L y
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-
bîrz
JRo
- 844 -
•
birz - C7ry
= A (P2-P,) - F (q2~ql} "
CTTX - airz
= -F ( p 2 - P ] ) + B ( q 2 - q ] ) - D ( r 2 - r j )
aïï
y ~ bïï x
=
~E ^2~Pl^ ~ D
(q
2~V
E
(r
+ C (r
2~ri}
(4)
(5)
2~ri)
(6)
2 • ïîîê2E^HÏÈS_SêS§EêH5_âEBli3H§£_ê_i§li
• ÏS- •"' [(^(G-^H^V)),]
On obtient donc des équations comparables à 1,2,3
TTX = M' (a'2 - o'j )
(7)
iry = M' (g«2 - g'j )
(8)
= M' (y'2 - y', )
(9)
7r_z
*^TA^S, = (7;,)2 - (7"G,) i
II s'agit du moment cinétique du solide (S1). On obtient des équations comparables à 4,5,6 :
- bTr z + CTTy = A ' ( p ' 2 - p ' j ) - F ' ( q ' 2 - q ' j ) - E'(T^- r ' j )
(10)
-
C1ry
+ . a i r z = - F ' ( p ' 2 - p ' j ) + B ' ( q ' 2 - q', ) - D ' ( r ' 2 - r', )
(11)
-
airy
+ bTrx = - E ' ( p ' 2 - p ' j ) -
(12)
D'(q'2-
q ' j ) + C'(r'2- r'j )
On constate qu'il y a alors :
12 équations
15 inconnues : <*2, 62> y 2 » P 2 » ^2 r2 ; a 2 '
TT
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x
,7T
,7T .
y z
B
2f
Y
2'
P
2'
q?
25
r?
2
;
- 845 -
B. Lois supplémentaires
1. La_loi_de fin_de choc
Elle s1exprime par exemple sous la forme de Darboux par
K')2--.*(4)i
w
s-=-^7 PCP) -^I)~:
w
s- "(^'(prV-
(z }
o
v^S'(P) = v°S'(P) - v°S(P)
g
V(P) • Y 1 - Y
s' = (Y' - ^ K
w
y^ ~ Y2 * "€ (V\ "" Yj)
on a donc
2- îfêS«l2ÎS«Ëê £°y^2mfe
- Elles dépendent comme on le sait de la vitesse de glissement.
Comme il peut y avoir des phases de glissement ou de non glissement qt^i correspondent chacune à une forme appropriée des lois de Coulomb. Posons : gsf(l)
vitesse de glissement de (Sf)/(S).
S
"*"
S
"*"
g ,(I) = n A V f A n
c'est-à-dire ici
s
s
J(I) -^ A vff A n
*
Si gSf(I) ^ 0 : il y a glissement
s
Vu
2
x
*
+ TT2
y
= fk
I
' z1
Si g f ( I ) = 0 : il y a roulement sans glissement
s
\/Tr2 + Tt2
x
y
<
f lir I
' z'
i\ V^ ^y"^'"?^1) < ° ~ (7A ^'
avec^;, = w x X 0
+ 1ry
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YQ
+
^^
A
^) ' 7' < °
- 846 -
L'application des lois de Coulomb exige la connaissance à tout instant
de la vitesse de glissement. (Il faut donc pour cela suivre le mouvement a chaque instant de l'intervalle de choc et non plus globalement).
Pour préciser les circonstances du choc on procède comme précédemment :
- on écrit les théorèmes généraux pour les forces finies.
- on calcule la vitesse de glissement en fonction de l'état de mouvement de
chaque solide.
- enfin on exprime les dérivées des composantes de la vitesse de glissement en
fonction des actions de contact.
C. Théorèmes généraux de la dynamique des forces finies
On a immédiatement en posant
1
F
f
= [*X,Y,Z ^JZO
• £2HE_iê_£°IîÉê_de_(S)
- X = H^
(!')
- Y = M j£
(2')
dt
- Z - M|*
(3')
bZ-cï,A£-F£-E£
(tl)
cX-aZ,-F
(5.>
aï
£.„£-„£
. bx , . E g . „ da tc *
2
' E2HE_Iê_S°IiËi_i§ll
. M' ^-
(7')
Y = M' ^-
(8')
Z = M' 4£.
(9.)
X
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(6.,
- 847 dp'
_ b z + CY = A. _ _
F
dq'
__-
dp'
c
az =
p
- ^
dq'
+B
- —
E
dr'
_
(,()')
dr'
D
—- -dT-
dp'
dq'
dr'
- aY + bx „ -E _ _ „ __ + C —-
(11>)
(12')
D. Expression de V^,(I)
v^,(i) = v°,(i) -"v^O
v°s, (I) = v°s ,(G') + fi1' A Gi
-*•
-*-
Q°, A GI
=
fP'l
A
q'
f" a> "
-b'
-c'
r'
R
0
R
0
" - q'c1 + r'b' "
=
- a'r' + c'p'
.- p'b' + a'q' JR0
[ a' + b'r' - c'q' "
V°,(I) =
0'- + c'p' - a'r'
|_ y' + a'q1 - p'b' JR0
de mime
a + br - cq
V°g (I) =
g + cp - ar
_ Y + aq - bp JR0
donc
_^
Vg,.(I) =
Fa' + b'r' - c'q' - a - br + cq "
6' + c'p' - a'r' - 6. - cp + ar
. Y1 + a'q' - p'b' - y - aq + bp JRQ
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- 848 -
E. Relation entre la vitesse de glissement et les composantes de FSS§
u
Posons "
VTf (I) = fv ~
et en donnant u, v, w, par rapport au temps.
L»J«o
du
dt
_
da'
dt
dq f ^ —
da—
dt
dt
dr'
dt
f '_
ss -— + K
, dr ^
dt
— tp »
EL = M1+ r - JË£l_ fl. Éll- .Ë£
dt
dt
dt
dt
dt
— K —
dq
dt
+ p —-L
rc dp
dr
dt
dt
d W - d x L + . d l l - h ' d p ^ _ dy _
dq
dt " dt 3 dt b dt
dt 3 dt
dp
b
dt"
Les équations (!'), (21),...(12') permettent d'exprimer :
da dB à%_
dp dq
dr
dt' dt' dt ' dt' dt ' dt
dot' dp' dy' . dp' dq' dr'
dt ' dt ' dt ' dt ' dt ' dt
en fonction de X, Y, Z (système de 12 équations à 12 inconnues). On peut donc
écrire :
dT=ailX+a,2Y+al3Z
ÏÏT=a21X+a22Y+a23Z
dw
^ = a3]X + a32Y + a33Z
mais X, Y, Z ne sont pas indépendantes mais assujetties aux lois de Coulomb.
o
1. La vitesse de glissement est g f(I) ^ 0
s
gs.m-ui^ + vi;
X
Y
—u = —v = K
K<0
—*~
[composante
tangentielle de Fbb , opposée
J —^
U V^,(I).
D'autre part :
VX 2 + Y2 = f|z|
mais Z > 0
I ? 5 5~
V K (u + v ) = f Z or
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(choc)
- 849 —
- K\yu 2 + v2
= fZ
K=--^-
\/^7
On a donc finalement
1- I "fz
U = V
~\/T7T
yu +v
2. La vitesse de glissement
On aura
—= 0
dt
,
c
g ,(I) =0
s
u = 0
v = 0
— = 0
dt
ce qui donne
a
llX+ al2Y+al3Z= °
a
21 X
+ a
22Y
+ a
23Z
\/X2 + Y2 < f Z
en outre
=
°
Z >0
F. Discussion du problème de choc
^
Posons
jM = [^u,v,w]Rn. Le point M est donc l'extrémité du vecteur
vitesse V f(I). Pendant le choc ce point décrit dans [0, Xn, YO, Zn]une trajectoire appelée hodographe du choc. La^connaissance de cette courbe nous renseigne
S
parfaitement sur l'état du vecteur V f(I).
o
* S'il y a glissement nous avons
uX _vY _ _
fZ
\n~~2
y u +v
* S'il y a roulement sans glissement l'équation de la trajectoire est
U=
°
c'est l'axe (0,~z7)
U
v = 0j
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- 850 -
1. Etude_du_cas_où_il_2_a_glissement
Pour trouver la trajectoire on a les équations
uX _ vY _
_
f.Z
" "\r^~T
Y u +v
£=allX+a12Y+a13Z
H ' 321X
+ a
22 Y
+ a
23Z
I? ' a31X + a32Y + a33Z
On peut facilement éliminer X,Y,Z de la façon suivante :
|f = - ...
dt
U
f.Z —"—
v/1
2
v
- a ] 2 f.Z
12
Vu
+v
y
V/l
+ a.,Z
2
13
Vu« +v
£ . Z £ ( - a , , u - a , 2 v * ! | l V7^U^=
Vu +v
' 2 2 \
7
-7f
±
23
\
/ ^+ v Ij 1
TT— - Zf I - a. u - a0.v + -7- Vu
dt
y
21
22
f
\/2~2
Vu + v
dv
t..(.v.v.*m).^
ce qui peut s'écrire sous la forme :
du
i
dv
_
_
dw
a n u -H a I 2 v - -13- >/u 2 -hv 2
a 2 1 u + a^v - ^V^~7
a 31 u + a32v - -^V^+v2
C^st l'équation différentielle
a pour coordonnées u,v,w.
de l'hodographe du choc ; le point figuratif M
L'intégration ne présente pas de difficulté. Elle est très souvent facilitée par
des simplifications propres à chaque problème. S'il n'y a pas de simplification
a priori on pourra procéder de la manière suivante en passant en coordonnées
polaires.
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On a donc
u - g cos 0
v = g sin 0
L'équation différentielle de l'hodographe s'écrit donc :
dg cos 6 •- g sin 0 d0
' '
'.
dg sin 0 + g cos 0 d0
•"un
SS
a
al j. cos 0 + a J 2
!3
sin 0 - •—~
dw
ni
m
5=
a
a2J cos 0 + a22
23
sin 0 - -—-
a
a
33
cos 0+ a 2 sin 0
C ' est une relation de la forme :
dg cos 0 - g sin 0 d0
dg sin 0 + g cos 0 d0 _
=
P
Q
dw
R
a
!3
cos 0 -»• a 2 sin 0 - ——
P » a
a
Q » a2J cos 0 + a22 sin 0
23
—
a
R * a3J cos 0 + a^2 sin 0
33
7—
Les deux premiers rapports donnent :
Q dg cos 0 - g Q sin 0 d0
dg
- P sin 0 d g - P g cos 0 d0 - 0
(Q cos 0 - P sin 0) - g (Q sin 0 + P cos 0) d-6 « 0
dg
g
6
P cos 0 + Q sin 0 ,.
'"
de
Q cos 0 - P sin 0
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ou
—
- 852 -
C'est l'équation différentielle, en coordonnées polaires à la traj edoîre de m
projection de M sur (I, X~, Y~).
Cette relation n'est valable bien sur que si l'on est tout au long du choc dans
les mêmes conditions d'application pour les lois de Coulomb, c'est-à-dire si le
mouvement a toujours lieu avec glissement.
Si au départ il y a roulement sans glissement ou si celui-ci survient au cours
du mouvement alors il faut reprendre l'étude.
2 • l£U£lê«Ëy«£§S_2H-.îi«Z-£-.E2yIêSfêSJÈ SaSs_SliSSêmêS^
u =0
soit au début du choc soit en cours de choc,
n
v = 0
On a alors :
-jT- = 0
"rr = 0
5
pendant toute la phase de roulement sans glissement
d'où
a
l l X + a!2Y+ a!3Z= °
a 21 X + a22Y + a23Z = 0
On peut exprimer X et Y en fonction de Z :
" 313
a
- a23
X
a
!2
a
a22
=
Z
a
;
ll
21
3
S
!2
22
a
3
a
ll 22 " 12 21
Z
a
ll
!2
a
21
!2323 "a!3a22z .
a
—
a
a
=
~ a23
21
=
a
a
x
Y
~ a!3
ll
22
a
y
=
2la!3 " a li a 23
a
'
a
a
z
S
ll 22 " 12 21
mais pour qu'il y ait roulement sans glissement nous devons avoir :
\ /~2
2~
VX+Y-ï:fZ
ou encore
X2 + Y2 < f2Z2
(a
!2 S23 "a!3 S22)2 +
soit
(S
21 a.13 " a l l a23)2
2
(a,, a22 - a]2 a2])
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f2
- 853 -
ce qui donne la valeur du coefficient de frottement nécessaire pour qu'il y
ait roulement sans glissement. Dans ces conditions la partie .correspondante
de l'hodographe est l'axe des z.
Si au contraire
f2 . U12 a23 " 313 S 22 )2 + (a 21 «13 " *1 1 a23^
(U
ï2
l l a22 " a!2 S21;
II y a glissement et on recommence une phase régie par l'hodographe déjà étudié.
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