Inégalités, fonctions continues, limites

Année 2007/2008
Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Inégalités, fonctions continues, limites
Exercice 1. Soient p, q ∈]1, +∞[ tels que
1
p
1
q
+
= 1.
1) Montrer que pour tout X, Y ∈ R+ , on a
XY 6
Xp Y q
+
.
p
q
Indication : on pourra établir et utiliser la convexité de x 7→ − ln x.
2) Soit n ∈ N∗ et soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R+ tels que
n
X
p
n
X
q
i=1
i=1
ai =
Montrer que
Pn
i=1
bi = 1.
ai bi 6 1.
∗
3) Soit n ∈ N et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C. Montrer que
n
X
(∗)
|xi yi | 6
!1/p
n
X
n
X
|xi |p
i=1
i=1
!1/q
|yi |q
.
i=1
Cette inégalité est l’une des inégalités de Hölder. Il en existe une version pour les intégrales, ainsi
que pour les séries.
Exercice 2. Soient p, q ∈]1, +∞[ tels que
1
p
1
q
+
= 1.
1) En utilisant l’exercice précédent, montrer que pour tout n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C, on a
X
p−1
|xi | · |xi + yi |
6
i=1
n
X
!1/p
|xi |
i=1
p−1
|yi | · |xi + yi |
6
i=1
n
X
!1/q
p
|xi + yi |
i=1
et
X
n
X
p
!1/p
p
|yi |
i=1
n
X
!1/q
p
|xi + yi |
.
i=1
2) En déduire que pour tout n ∈ N∗ et x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ C
(∗∗)
n
X
i=1
!1/p
p
|xi + yi |
6
n
X
i=1
!1/p
p
|xi |
+
n
X
!1/p
p
|yi |
.
i=1
Cette inégalité est l’une des inégalités de Minkowski. Il en existe une version pour les intégrales,
ainsi que pour les séries.
Exercice 3.
1. Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R on a
sin x = x −
x2n+1
x3
+ · · · + (−1)n
+ Rn (x),
3!
(2n + 1)!
avec |Rn (x)| 6
|x|2n+3
(2n + 3)!
2. Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R on a
ex = 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
+ En (x),
2!
n!
avec |En (x)| 6
|x|n+1 |x|
e .
(n + 1)!
Exercice 4.
1) Soit x > 0. Montrer qu’il existe θ = θ(x) ∈]0, 1[ tel que
x3
cos xθ .
6
sin x = x −
2) Montrer que pour 0 < x 6 π/2, le réel θ(x) est unique.
3) Déterminer un équivalent de θ(x) quand x → 0+ .
Exercice 5. Montrer que pour tout x ∈ [0, π/2] on a
2x
π
6 sin x 6 x.
Exercice 6. Soit (E, k · k) un R-espace vectoriel normé. Soit U un ouvert de E et f : U → R une
fonction continue.
1) Rappeler le critère séquentiel de continuité
2) On suppose que E = R2 muni de la norme euclidienne. Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en (0, 0) ?
f1 (x, y) :=
f4 (x, y) :=
xy
,
2
x + y2
1+x+y
,
x2 − y 2
f2 (x, y) :=
f5 (x, y) :=
sin(xy)
,
x2 + y 2
xy 2
,
x2 + y 2
f3 (x, y) :=
f6 (x, y) :=
x5 y 3
,
x6 + y 4
x sin y − y sin x
x2 + y 2
3) Même question avec E = R3 et les fonctions suivantes :
g1 (x, y, z) :=
xyz
,
x2 + y 2 + z 2m
Exercice 7. Soit
(
f (x, y) :=
g2 (x, y, z) :=
(x2 + y 2 ) sin
0
1
xy
sin(|x| + |y| + |z|)
√ 2
x + y2 + z2
si xy 6= 0
si xy = 0.
1) Quel est le domaine de continuité de f ?
2) Même question avec la fonction
f (x, y) =
sin(xy)
si y 6= 0, et f (x, 0) = x.
y
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Calcul différentiel
Espaces normés, espaces de Banach
Exercice 8. On munit Rn de la norme x 7→ kxk∞ := max16i6n |xi |. On considère l’espac E = Mn (R)
des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels. On considère l’application k · k : E → R+ définie par
kAk := sup kAxk∞ .
kxk∞ 61
1) Vérifier que kAk existe pour tout A ∈ E et que k · k définit une norme sur E.
2) Montrer que pour tout, A, B ∈ E on a kABk 6 kAk kBk.
3) Soit k ∈ N+ . Étudier la continuité de la fonction A 7→ Ak de E dans E. Indication : on pourra
commencer par établir que pour tout A, H ∈ E et pour m ∈ N on a
k(A + H)m − Am k 6 (kAk + kHk)m − (kAk)m .
4) Soit 1 6 i, j 6 n. Montrer que l’application A 7→ ai,j est continue sur E (ici ai,j désigne le coefficient
de A en ligne i et colonne j.)
5) En déduire que det : A 7→ det A est continue sur E.
6) En déduire que l’ensemble U des matrices inversibles est un ouvert de E.
7) Montrer que l’ouvert U est dense dans E.
Exercice 9. Soit E = C 1 ([0, 1]; R). On considère l’application
f ∈ E 7→ N1 (f ) := |f (0)| + sup |f 0 (t)|.
t∈[0,1]
L’application est-elle une norme sur E ?
Exercice 10. 1) Rappeler la définition d’une norme.
2) Montrer que l’application k · k : E → R+ est une norme sur E si et seulement si
(i) kxk = 0 si et seulement si x = 0,
(ii) kλxk = |λ| kxk pour tout (λ, x) ∈ R × E
(iii) la partie {x ∈ E, kxk 6 1} est une partie convexe de E.
Exercice 11. Soient E = C 0 ([0, 1]; R) et F = C 1 ([0, 1]; R). Pour tout f ∈ E, on définit
kf k∞ := sup |f (t)|.
t∈[0,1]
a) Montrer que k · k∞ est une norme sur E et sur F .
b) Montrer que (E, k · k∞ ) est complet, mais que (F, k · k∞ ) ne l’est pas.
Exercice 12. Soit E = C[X]. On définit les applications k · k∞ et k · k1 de C dans R+ de la façon
suivante :
(
P
P = ni=0 ai X i ∈ C[X] 7−→ kP k∞ := max06i6n |ai |,
P
P
P = ni=0 ai X i ∈ C[X] 7−→ kP k1 := ni=0 |ai |.
a) Montrer que k · k∞ et k · k1 sont des normes sur E.
b) Montrer que (E, k · k∞ ) (resp. (E, k · k1 ) ) n’est pas complet.
c) Montrer que k · k∞ et k · k1 ne sont pas équivalentes.
Exercice 13. Soit E = C 0 ([0, 1]; R). Soit g ∈ E fixée, non identiquement nulle. On définit
(
Φ:
E→R
R
f 7→ 01 f (t)g(t)dt.
On munit E de la norme f 7→ kf k∞ := supt∈[0,1] |f (t)|. Montrer que Φ est une application linéaire
continue de (E, k · k∞ ) et calculer sa norme.
Exercice 14. Soient (E, k · kE ) et (F, k · kF ) deux espaces vectoriels normés. Soit u : E → F une
application linéaire. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) l’application u est continue,
(ii) pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de E, convergente de limite 0, la suite u(xn )
dans F .
n∈N
est bornée
Exercice 15. Soit E = Rn . On considère les normes usuelles x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk1 := ni=1 |xi |,
P
1/2
x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk2 := ( ni=1 |xi |2 ) et x = (x1 , . . . , xn ) 7→ kxk∞ := max16i6n |xi | sur E. Montrer
que pour tout x ∈ Rn \ {0},
kxk∞ 6 kxk1 6 nkxk
√ ∞
kxk∞ 6 kxk2 6 ( n)kxk∞
√1 kxk1 6 kxk2 6 kxk1 .
n
P
Ces inégalités sont-elles optimales ?
Exercice 16. Soit E = C 0 ([0, 1]; R). Pour tout f ∈ E, on définit
kf k∞ := sup |f (t)|
t∈[0,1]
et
kf k1 :=
Z 1
|f (t)|dt.
0
Montrer que k · k∞ et k · k1 sont des normes sur E qui ne sont pas équivalentes.
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Calcul différentiel
Dérivées
Exercice 17. On considère la fonction f : R → R définie par la relation
f (t) := exp(−1/t2 ) si t 6= 0 et f (0) = 0.
Montrer que f est de classe C ∞ sur R.
Exercice 18. On considère la fonction f : R → R définie par la relation
2
2
f (x) := e−1/x sin e1/x
si x 6= 0 et f (0) = 0.
1) Montrer que pour tout n ∈ N, f admet un développement limité à l’ordre n en x = 0. Quel est ce
développement limité ?
2) Montrer que f est dérivable sur R et donner sa dérivée.
3) Montrer que f 0 n’est bornée sur aucun voisinage de x = 0.
4) La fonction f est-elle deux fois dérivable ?
Exercice 19. Soit (E, k · kE ) un espace de Banach. On pose F := Lc (E, E) que l’on munit de la norme
usuelle k · k déduite de la norme k · kE .
Soit u ∈ F . On pose u0 := IdE et pour n ∈ N∗ , on pose un+1 := u ◦ un = un ◦ u.
1) Rappeler la définition de la norme k · k sur F .
2) Soit u ∈ F . Montrer que pour tout n ∈ N, kun k 6 kukn .
3) Soit u ∈ F . Montrer que la série
+∞
X
un
n=0 n!
converge dans F . On note exp u sa valeur. On l’appelle exponentielle de l’endomorphisme E. On
peut montrer
(mais
on l’admet ici) que si u et v dans F sont tels que u ◦ v = v ◦ u, alors exp(u + v) =
exp u ◦ exp v .
Dans la suite, on fixe u ∈ F , et on définit f : R → F par la relation
(t ∈ R).
f (t) := exp(tu),
4) Montrer que f est continue sur R, dérivable sur R. Calculer f 0 (t) pour tout t ∈ R.
5) On considère maintenant une fonction ϕ : R → F dérivable sur R telle que pour tout t ∈ R on ait
ϕ0 (t) = u ◦ (ϕ(t)).
Pour tout t ∈ R, on pose ξ(t) := exp(−tu) ◦ ϕ(t) .
(a) Calculer ξ 0 (t) pour tout t ∈ R.
(b) Que pouvez-vous en déduire sur la fonction ϕ ?
Exercice 20. On considère l’espace E = C 0 ([0, 1], R) muni de la norme k·k∞ (on rappelle que (E, k·k∞ )
est un espace de Banach). Soient f0 et g0 deux éléments de E fixés.
On considère l’application ψ : R → E, t 7→ ψ(t) où pour tout t ∈ R l’élément ψ(t) est l’application
ψ(t) : x 7→
Z x
0
sin(f0 (u) + tg0 (u))du.
1) Vérifier que ψ est bien définie.
2) Montrer que ψ est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
Exercice 21. Un exemple de fonction de Weirstrass
P
On considère la fonction f : R → R définie par f (x) := +∞
n=0 fn (x) avec
n
7
8
fn (x) :=
sin 2π · 8n x .
1) Montrer que la fonction f est continue sur R.
2) Montrer que si f est dérivable en un point a, alors pour toutes suites (xn )n et (yn )n convergeant
vers a telles que yn 6 a 6 xn et yn < xn pour tout n ∈ N on a
f (xn ) − f (yn )
= f 0 (a).
n→+∞
xn − y n
lim
3) Soit a un réel fixé quelconque. On se propose de construire deux suites (xn )n et (yn )n respectant les
conditions de la question 2) et telles que
f (xn ) − f (yn )
= +∞.
n→+∞
xn − yn
lim
On note kn la partie entière de a8n + 1/4π, et on construit les suites
xn =
et on pose tn :=
f (xn )−f (yn )
xn −yn
4kn + 5
4kn − 1
et yn =
,
n
4·8
4 · 8n
(n ∈ N).
pour tout n ∈ N.
a) Montrer que les suites (xn )n et (yn )n vérifient les conditions requises dans la question 2).
b) Montrer que pour tout n ∈ N
tn =
X fm (xn ) − fm (yn )
4 n n−1
·7 +
.
3
xn − y n
m=0
c) Montrer que pour tout k 6 n − 1 on a
|fm (xn )−fm (yn )|
xn −yn
d) En déduire que
tn >
e) Conclure.
6 2π · 7n
4 n
7n − 1
· 7 − 2π
.
3
6
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Calcul différentiel
Différentielle d’une application
Exercice 22. Donner dans chacun des cas l’expression de la différentielle, ainsi que la matrice jacobienne.
(
f:
2
R
→
R
(x, y) 7→ sin(x2 + y)
et
g:





R3
R2
→
z
!
x
e
,
.
1 + x2 + y 2 1 + z 4
(x, y, z) 7→
Exercice 23.
(a) Étudier la différentiabilité des applications suivantes, définie de Rn [X] dans R :
ϕ : P 7→ sin P (0)
et
ψ : P 7→
Z 1
3
2
P (t) − P (t) dt.
0
(b) Même question pour
(
f:
R2 [X] → R4 [X]
P
7→ P 0 − P 2 .
Exercice 24.√On considère l’espace vectoriel R2 . Donner l’ensemble des points où les normes (x, y) 7→
k(x, y)k2 := x2 + y 2 , (x, y) 7→ k(x, y)k1 := |x| + |y| et (x, y) 7→ k(x, y)k∞ := max(|x|, |y|) sont
différentiables, et donner leur différentielle en ces points.
Exercice 25. On considère l’application
(
ϕ:
C → C
z 7→ z.
Étudier et comparer la différentiabilité de ϕ selon que l’on considère C comme un R-espace vectoriel
ou comme un C-espace vectoriel.
Exercice 26. On considère E = Mn (R) l’espace des matrices carrées à coefficients réels. Déterminer
la différentielle des applications suivantes aux points indiqués :
A 7→ det A, en A = In ,
A 7→ exp A :=
+∞
X
Ak
, en A = 0n .
k=0 k!
A 7→ A3 , en tout point de Mn (R).
Exercice 27. Soient (E1 , k · kE1 ) , (E2 , k · kE2 ) et (F, k · kF ) trois espaces vectoriels normés. On munit
l’espace vectoriel produit E = E1 × E2 de la norme k(x1 , x2 )k := kx1 kE1 + kx2 kE2 . On considère l’espace
G := Lc (E1 , E2 ; F ) des applications bilinéaires continues muni de l’application
f 7→ M (f ) :=
sup
kf (x1 , x2 )kF
(x1 ,x2 )∈B
où
B := (x1 , x2 ) ∈ E, kx1 kE1 6 1 et kx2 kE2 6 1 .
(a) Montrer que l’application f 7→ M (f ) est bien définie sur G et que c’est une norme sur G.
(b) Montrer que toute application f ∈ G est différentiable en tout point x ∈ E.
(c) Si E1 = E2 = R, montrer que la fonction déterminant par rapport à la base canonique de R2
appartient à Lc (E1 , E2 ; F ), puis calculer sa différentielle en tout point x de E.
(d) Si E2 = Lc (E1 , F ) est l’espace des applications linéaires continues de E1 dans F et f : E → F ;
(x, u) 7→ u(x). Calculer la différentielle de f en tout point (x, u) de E.
Exercice 28. Soit E un espace de Banach, U un ouvert de E et soit a ∈ U . On se donne deux
applications f : U → R et g : U → R différentiables en a. Montrer que f g est différentiable en a et
calculer sa différentielle. On pourra résoudre cet exercice par deux méthodes.
Exercice 29. (Extrait du partiel de novembre 2005).
Soit f : R2 → R définie par
x sin y − y sin x
,
x2 + y 2
f (0, 0) = 0.
f (x, y) =
si (x, y) 6= (0, 0)
Étudier la continuité et la différentiabilité de f en (0, 0).
Exercice 30. Considérons la fonction la fonction f : R2 → R définie par



0 si y 6 0
f (x, y) := 0 si y > x2


1 sinon.
Montrer que f n’est pas continue en (0, 0), mais que toutes les dérivées directionnelles en (0, 0)
existent.
Exercice 31. Soit E = C 0 ([0, 1], R) On munit E de la norme f 7→ kf k∞ := supt∈[0,1] |f (t)|. Soit g ∈ E
fixée. On considère l’application ϕ : E → E définie par ϕ(f ) = max{f, g}. Montrer que l’application ϕ
est continue sur E, et préciser l’ensemble des f ∈ E où elle est différentiable.
Exercice 32. On considère l’espace E = Rn muni de la norme euclidienne x 7→ kxk, et on définit
l’application
(
E r {0} → E r {0}
f:
x
x
7→
.
kxk2
Montrer que f est différentiable en tout point x0 de E r{0} et calculer sa différentielle en ces points.
Décrirer géométriquement la différentielle dx0 f dans le cas où kx0 k = 1.
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Calcul différentiel
Fonctions de classe C 1 et accroissements finis
Exercice 33. Soient p, q ∈ N∗ et f : R2 → R la fonction définie par
f (x, y) =
xp y q
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + xy + y 2
et f (0, 0) = 0.
pour tout (x, y) ∈ R2 .
1) Montrer que |f (x, y)| 6 2k(x, y)kp+q−2
2
2) Montrer que f est continue sur R2 si et seulement si p + q > 2.
3) Montrer que f est différentiable sur R2 si et seulement si p + q > 3. La fonction f est-elle alors de
classe C 1 sur R2 ?
Exercice 34. Soit α > 0 fixé. On considère
(
f:
R2 → R
(x, y) 7→ |xy|α .
1) Montrer que f est continue en (0, 0).
2) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles f est différentiable en (0, 0).
3) Déterminer pour quelles valeurs de α l’application f est de classe C 1 au voisinage de (0, 0).
Exercice 35. Montrer que l’application ϕ définie sur E = C 0 ([0, 1]; R) par
ϕ(f ) =
Z 1
sin(f (t))dt
0
est de classe C 1 sur E.
Exercice 36. Soit E := C 0 ([0, 1], R) muni de la norme k · k∞ définie par
kf k∞ := sup |f (x)| pour tout f ∈ E.
x∈[0,1]
Pour tout f ∈ E, on définit ϕ(f ) par
ϕ(f )(x) :=
Z x
f 2 (t)dt, pour tout x ∈ [0, 1].
0
(a) Justifier rapidement que ϕ(f ) ∈ E pour tout f ∈ E.
(b) Montrer que Φ est de classe C 1 et déterminer dϕ.
(c) Montrer que pour tout f ∈ E on a
kdf ϕkLc (E,E) 6 2kf k∞
Exercice 37. On considère l’application f : R2 → R définie par
f (x, y) =
sin(xy)
si y 6= 0, et f (x, 0) = x.
y
Étudier l’existence des dérivées partielles de f sur R2 , étudier la différentiabilité de f sur R2 , puis
étudier le cas échéant si f est de classe C 1 sur R2 .
(Indication : s’inspirer de l’exercice 3 du contrôle de novembre 2006 et utiliser l’exercice ci-dessus.)
Exercice 38. Soit f : R2 → R une application différentiable. On considère l’application F : R3 → R
définie par F (x, y, z) := f (x2 − y 2 , x3 + y + z 2 ) pour (x, y, z) ∈ R3 . Montrer que F est différentiable sur
R3 et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f .
Exercice 39. Soit E = Rn l’espace euclidien canonique
q de dimension n muni du produit scalaire
x 7→ hx, xi et de la norme euclidienne x 7→ kxk := hx, xi. On considère l’application Soit ϕ un
endomorphisme de Rn . On considère l’application f : Rn → R définie par f (x) := hx, ϕ(x)i pour tout
x ∈ Rn . On cherche à montrer que f est différentiable sur Rn .
On rappelle la méthode vue en cours pour trouver la différentielle présumée :
1) Soit x0 ∈ Rn fixé. soit v ∈ Rn r {0}. Étudier la dérivabilité de t ∈ R 7→ g(t) := f (x0 + tv) en t = 0.
2) En supposant que f est différentiable en x0 , en déduire la valeur de de dx0 f (v) en tout vecteur
v ∈ Rn .
3) En revenant à la définition et en utilisant la valeur présumée de dx0 , établir la différentiabilité de f
en x0 .
4) En revenant à la définition, étudier également la continuité de x 7→ dx f .
Exercice 40. Soient E, F1 , . . . , Fq des espaces vectoriels normés. On définit F = F1 × · · · × Fq et on
munit F de la norme suivante
kykF :=
q
X
kyr kFr pour tout y = (y1 , . . . , yq ) ∈ F1 × · · · × Fq .
r=1
Pour tout r ∈ {1, . . . , q}, on note pr l’application de F dans Fr définie par
pr (y) = yr , pour tout y = (y1 , . . . , yq ) ∈ F1 × · · · × Fq .
Soit U un ouvert de E et soit f : U → F une application. On note fr := pr ◦ f pour tout
r ∈ {1, . . . , q}.
(a) Soit a ∈ U . Montrer que f est différentiable en a si et seulement si les applications fr , 1 6 r 6 q
le sont.
(b) Montrer que f est de classe C 1 sur U si et seulement si les applications fr , 1 6 r 6 q le sont.
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Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Fonctions implicites et inversion locale
Exercice 41. Extrait de l’épreuve de janvier 2007
Montrer que l’équation ex + ey + x + y − 2 = 0 définit au voisinage de (0, 0) le graphe y = ϕ(x)
d’une fonction implicite de classe C 1 dont on calculera le développement limité à l’ordre 1.
Exercice 42. On considère les deux équations
(
(1 + x + y) cos z + x3 = 1
x − y − sin z = 0
1. Montrer que ces deux équations déterminent pour |z| assez petit deux fonctions de classe C 1
z 7→ x(z), z 7→ y(z) telles que x(0) = y(0) = 0.
2. Calculer les dérivées en 0 de ces deux fonctions.
Exercice 43. Soit F : R2 → R, (u, v) 7→ F (u, v) une application de classe C 1 telle que
F (0, 0) = 0 et
∂F
(0, 0) 6= 0.
∂v
On considère ϕ : R3 → R2 définie par ϕ(x, y, z) := (xy, x2 − y 2 − z), et on considère l’application
f = F ◦ ϕ.
Montrer que l’équation f (x, y, z) = 0 définit au voisinage de (0, 0) une application z = ψ(x, y)
vérifiant
∂ψ
∂ψ
−y
= 2(x2 + y 2 ).
x
∂x
∂y
Exercice 44. Soit a, b ∈ R et f : R2 → R2 définie par
f (x, y) = (x + a sin y, y + b sin x).
1. Montrer que si |ab| < 1, alors f est un difféomorphisme de R2 sur lui-même.
2. Montrer que si |ab| = 1, f n’est plus un difféomorphisme mais reste un homéomorphisme de R2
sur lui-même.
Exercice 45.
1. Soit f une application de R dans R, dérivable en tout point de R et telle que, pour tout x de R,
f 0 (x) 6= 0. Montrer que f est un homéomorphisme de R sur f (R) et que f −1 est différentiable en
tout point de f (R).
2. Soit f définie par f (x) = x + x2 sin πx si x 6= 0 et f (0) = 0. Montrer que f 0 (0) existe et est 6= 0,
mais que f n’est inversible sur aucun voisinage de 0. Expliquer.
Exercice 46. Extrait de l’épreuve de décembre 2006
On considère E = M3 (R) l’espace des matrices 3 × 3 à coefficients réels. On considère M : R → E
l’application définie par


1 + et t2 t3

cos t 0 
M (t) :=  t
 (t ∈ R).
0
sin t t
Pour tout t ∈ R, on note χt (X) ∈ R[X] le polynôme caractéristique de la matrice M (t), et on
considère
(
R4
→
R3
ϕ:
(t, x, y, z) 7→ (χt (x), χt (y), χt (z)).
1) Montrer que ϕ est de classe C 1 sur R4 .
2) Montrer qu’il existe α > 0 et des fonctions réelles t 7→ λ(t), t 7→ µ(t) et t 7→ ν(t) de classe C 1 sur
] − α, α[ telles que λ(0) = 2, µ(0) = 1 et ν(0) = 0, et telles que pour tout t ∈] − α, α[, les réels
λ(t), µ(t) et ν(t) soient valeurs propres de la matrice M (t). [Indication : on utilisera le théorème
des fonctions implicites].
3) Montrer que si |t| est suffisamment petit, alors λ(t), µ(t) et ν(t) sont exactement les valeurs propres
de M (t). [Indication : on pourra commencer par établir que, pour |t| suffisamment petit, les réels
λ(t), µ(t) et ν(t) sont deux à deux distincts].
Exercice 47.
1. Soit U le plan privé de l’origine, et f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy).
Montrer que f est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de U mais n’est pas un
difféomorphisme global.
2. Soit h l’application de R2 dans R2 définie par (x, y) 7→ (ex cos y, ex sin y).
Montrer que h est de classe C 1 dans R2 , que dh(x, y) est un élément de Isom(R2 , R2 ) pour tout
(x, y) ∈ R2 , mais que h n’est pas un homéomorphisme de R2 sur h(R2 ).
Exercice 48. Extrait de l’épreuve de janvier 2007
Soit k ∈]0, 1[. Soit f : R → R une application de classe C 1 telle que |f 0 (t)| 6 k pour tout t ∈ R.
On considère l’application ϕ : R2 → R2 définie par ϕ(x, y) := (x + f (y), y + f (x)) pour tout
(x, y) ∈ R2 .
1) Montrer que ϕ est injective.
2) Montrer que ϕ est un difféomorphisme de R2 sur ϕ(R2 ).
3) Soit (a, b) ∈ R2 fixé. On fixe (x0 , y0 ) ∈ R2 et on considère les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N définies pour
tout n ∈ N par
(
xn+1 = a − f (yn )
yn+1 = b − f (xn ).
On pose également un := (xn , yn ) pour tout n ∈ N.
1) Montrer que pour tout n ∈ N on a kun+2 − un+1 k2 6 kkun+1 − un k2 , où k · k2 désigne la norme
euclidienne sur R2 .
2) Montrer que (un )n∈N converge.
4) Déduire de la question précédente que ϕ(R2 ) = R2 .
Année 2006/2007
Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Différentielles d’ordre supérieur
Exercice 49. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au voisinage de (0, 0) de la fonction
ex
. En déduire l’existence et la valeur de
(x, y) 7→ f (x, y) := cos
y
ex − (1 + x) cos y
.
k(x,y)k→0 (x2 + y 2 ) cos y
lim
Exercice 50. On se propose de déterminer les applications f de classe C 2 sur R2 telles que
∂ 2f
∂ 2f
−
= 0.
∂x2
∂y 2
On pourra utiliser l’application ϕ : R2 → R2 définie par ϕ(u, v) :=
u+v u−v
, 2
2
et étudier G := f ◦ ϕ.
Exercice 51. Soit f : R2 → R l’application définie par f (x, y) := (x2 + y 2 )e−(x
2 +y 2 )
.
1) Calculer les dérivées partielles et déterminer les points critiques de f .
2) Étudier la fonction u 7→ ue−u sur R+ .
3) En déduire les extrema de f sur R2 .
Exercice 52. Soit a ∈ R, et f :]0, +∞[→ R définie par f (x, y) := x ln y + y ln x + a(x3 + y 3 ).
1) Calculer les dérivées partielles de f jusqu’à l’ordre 2 en (1, 1).
2) Pour quelles valeurs de a la fonction f admet-elle un extremum local en (1, 1) ? Préciser s’il s’agit
d’un maximum ou d’un minimum.
Exercice 53. Calculer l’aire maximale d’un rectangle dont les sommets sont sur une ellipse.
Exercice 54. Calculer le maximum et le minimum de f (x, y, z) := x+2y+3z sur R3 sous les contraintes
x + y + z = 3 et x2 + y 2 + z 2 = 5.
Exercice 55. Soient E et F deux espaces de Banach. On considère
(
ϕ:
L∗c (E, F ) → L∗c (F, E)
u
7→
u−1
1) Montrer que
du ϕ(h) = u−1 ◦ h ◦ u−1
pour tout u ∈ L∗c (E, F ) et pour tout h ∈ Lc (E, F ).
2) On considère
(
B:
Lc (F, E) × Lc (F, E) → Lc (Lc (E, F ), Lc (F, E))
(a, b)
7→
B(a, b)
où pour tout (a, b) ∈ Lc (F, E) × Lc (F, E) l’application B(a, b) est définie par
B(a, b)(h) := a ◦ h ◦ b,
pour tout h ∈ Lc (E, F ).
Montrer que B est une application bilinéaire continue. Montrer que B est de classe C ∞ .
3) En déduire que ϕ est de classe C ∞ . Indication : on pourra exprimer du ϕ en fonction de B et de
ϕ(u) pour tout u ∈ L∗c (E, F ) .
2
4) Donner un expression de d2u ϕ(h, k) pour tout (h, k) ∈ Lc (E, F ) .
Exercice 56. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit U un ouvert de E, et V un ouvert de F .
On suppose maintenant que f : U → V est un C 1 -difféomorphisme. On suppose en outre que f est de
classe C n sur U pour un certain n > 2.
En utilisant l’exercice précédent, montrer que sa réciproque f −1 est de classe C n sur V .
Exercice 57. Soit E et F deux espaces de Banach et f : E → F une application différentiable.
Soit
x : R → E, t 7→ x(t) une fonction dérivable sur R. Montrer que la fonction t 7→ f x(t) est dérivable
sur R et donner l’expression de sa dérivée.
Dans la cas particulier où E = Rn et F = R, et où x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), exprimer cette dérivée
en fonction des x(t), des xj (t) et des dérivées partielles de f .
Exercice 58. Soit E un espace de Banach et U un ouvert de E. On se propose ici de démontrer la
formule de Taylor avec reste intégral dans la cas des applications f : U → R de classe C n+1 .
On rappelle le cas des fonctions d’une variable réelle. Soit x0 ∈ R et α > 0. si ϕ :]x0 − α[→ R est
de classe C n+1 , alors pour tout h ∈] − α, α[
ϕ(x0 + h) =
n
X
ϕ(k)(x0 ) Z 1 (1 − t)n (n+1)
+
ϕ
(x0 + t h)dt.
k!
n!
0
k=0
1) Redémontrer le résultatR ci-dessus par récurrence sur n. On pourra commencer par remarquer que
ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) = h 01 ϕ0 (x0 + t h)dt en faisant un changement de variables.
2) On étudie maintenant le cas général : soit f : U → R une application différentiable, où U est un
ouvert d’un espace de Banach E.
Soit x0 ∈ U et h ∈ E tel que [x0 , x0 + h] ⊂ U . On pose
ϕ(t) := f (x0 + t h) pour tout t ∈ [0, 1].
Montrer que ϕ est de classe C n+1 sur [0, 1], et calculer ϕ0 (t), ϕ00 (t), . . . ϕn+1 (t) pour tout t ∈ [0, 1].
(On pourra utiliser l’exercice précédent).
3) En appliquant à ϕ le résultat préliminaire, en déduire la formule de Taylor énoncée dans le cours.
Université Jean Monnet
Licence de Mathématiques (3ème année)
Calcul différentiel
Année 2006/2007
Exercices de révisions
Exercice 59. Soit E = Rn l’espace euclidien canonique
de dimension n muni du produit scalaire
q
x 7→ hx, xi et de la norme euclidienne x 7→ kxk := hx, xi. En utilisant la différentielle des fonctions
composées, montrer que
f : x 7→ kxk
est différentiable en tout point x 6= 0 et calculer sa différentielle en tout point x 6= 0.