Cours - Page personnelle de Julien Chenal

Repérage dans le plan
Cours
Objectifs du chapitre
Savoir repérer la position d’un point à l’aide de ses coordonnées dans un repère.
Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Savoir calculer la longueur d’un segment.
savoir utiliser la géométrie analytique pour résoudre un problème.
1 Rappels
Théorème (Théorème de Pythagore)
Soit RST un triangle.
i) Partie directe : Si RST est rectangle en S, alors
ST 2 = RS 2 + RT 2 .
ii) Réciproque : Si ST 2 = RS 2 + RT 2 , alors le
triangle RST est rectangle en S.
Théorème (Théorème de Thalès)
Soit A, B et C trois points du plan et
M ∈ (AC ) et N ∈ (AB ).
i) Partie directe : Si les droites (BC ) et
(M N ) sont parallèles, alors
AB
AC
BC
=
=
.
AN
AM M N
AB
AC
BC
=
=
et
AN
AM
MN
si les points A, B , N et A, C , M sont
alignés dans le même ordre, alors les
droites (BC ) et (M N ) sont parallèles.
ii) Réciproque : Si
1
2 Repères
2.1 Se repérer sur une droite
Définition
Soit O et I deux points distincts.
Alors le couple (O, I ) est appelé repère
d’origine O de la droite D = (OI ).
Théorème
Pour tout point M de la droite D, il existe un unique nombre réel x tel que
OM = xOI .
Remarques importantes!!
points de D vérifient cette
B Deux
égalité :
B
Définition
Si M ∈ [OI ), alors on dira que l’abscisse de M est x.
Si M ∉ [OI ), alors on dira que l’abscisse de M est −x.
Exercice
On considère le repère (O, I ).
1) a./ Donner les abscisses des points O et I .
b./ Quelles sont les abscisses des points A, B , C et D.
c./ Placer les points E et F , d’abscisse respective −0, 5 et 2, 5.
d./ Quelle est l’abscisse du milieu de [AB ] ?
e./ Quelle est l’abscisse du symétrique de C par rapport à O ?
2) Reprendre les mêmes questions dans le repère (O,C ).
2
2.2 Se repérer dans le plan
Définition
Soit O, I et J trois points non alignés. On considère (O, I ) et (O, J ) un repère des droites (OI )
et (O J ). Le triplet (O, I , J ) est appelé un repère du plan P .
Théorème
À tout point M du plan, on peut associer deux uniques points M x et M y
tels que :
• M x ∈ (OI ), (on dit que M x est le
projeté orthogonal de M sur (OI ).)
• M y ∈ (O J ), (on dit que M y est le
projeté orthogonal de M sur (O J ).)
• OM x M M y est un parallélogramme.
Définition
On suppose que M x a pour coordonnées x dans le repère (O, I ) et M y a pour coordonnées
y dans le repère (O J ).
• L’unique couple (x, y) associé à M est appelé couple de coordonnées de M dans le repère (O, I , J ).
• x est appelé l’abscisse de M .
• y est appelé l’ordonnée de M .
Remarques importantes!!
B Les coordonnées d’un point dépendent du repère choisi ! Si on change de repère, les
coordonnées changent. B
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On distingue quatre types de repère, suivant la nature du triangle OI J :
Le triangle OI J est quelconque : on dit que le repère est quelconque.
Le triangle OI J est isocèle
en O : on dit que le repère
est normé.
Le triangle OI J est rectangle en O : on dit que le
repère est orthogonal.
Le triangle OI J est rectangle isocèle en O : on
dit que le repère est orthonormé.
Exercice
1)
Justifier que la donnée des points O, I et J permet de constituer un repère de la figure
ci-dessous.
Donner les coordonnées des points A, B , C et D dans le repère (O, I , J ).
2) Reprendre la question 1) avec les points O, I 0 et J 0 .
3) Reprendre la question 1) avec les points O, I 00 et J 00 .
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3 Milieux et distances
3.1 Milieu d’un segment
Propriété
Soit (O, I , J ) un repère du plan et A(x A ; y A ) et B (x B ; y B ) deux points. Alors le milieu du segment [AB ] a pour coordonnées
³x +x y + y ´
A
B
A
B
.
;
2
2
Exercice
On considère (O, I , J ) un repère du plan. Déterminer les coordonnées du milieu de [AB ]
dans les cas suivants :
1) a./ A(0; 0) et B (1; 1),
b./ A(1; 1) et B (0; 0),
c./ A(−5; 3) et B (−5; −10),
d./ A(3; 0) et B (5; −2).
2) Vérifier graphiquement en plaçant les points.
3.2 Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Propriété
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, I , J ), la distance AB vaut :
AB =
q
(x B − x A )2 + (y B − y A )2 .
Démonstration.
La démonstration de ce résultat repose sur le théorème de Pythagore.
On note C le point tel que ABC est un triangle rectangle. Alors C a pour coordonnées
(x B , y A ) donc AC = (x B − x A ) et BC = (y B −
y A ). Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on a
¡
¢2
AB 2 = (x B − x A )2 + y B − y A .
Donc en prenant la racine carrée des deux
membres, on obtient
q
AB = (x B − x A )2 + (y B − y A )2 .
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Remarques importantes!!
B Il faut absolument être dans un repère orthonormé pour pouvoir utiliser le théorème
de Pythagore. B
Exercice
On considère un repère orthonormé (O, I , J ). Calculer la longueur du segment [AB ] dans
les cas suivants :
1) A(1; 3) et B (1; 5),
2) A(1; 1) et B (2; 2),
3) A(−1; 2) et B (3; −4).
4 Caractérisation des triangles et des quadrilatères
4.1 Triangles
4.1.1 Droites remarquables des triangles
Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC .
Définition
La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire au côté opposé (BC ).
Les hauteurs d’un triangle sont
concourantes en un point H ,
appelé l’orthocentre du triangle ABC .
Définition
La médiane issue de A est le droite passant par A et par le milieu de [BC ].
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Les médianes d’un triangle
sont concourantes en un point
G, appelé le centre de gravité
du triangle ABC .
Si D est le milieu de [BC ], alors
−→ 2 −−→
AG = AD.
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Définition
La médiatrice du segment [AB ] est l’ensemble des points équidistants de A et B . C’est
également la droite prependiculaire à (AB ) et qui passe par le milieu de [AB ].
Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes en un point O, le centre
du cercle circonscrit au triangle ABC .
Définition
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Les bissectrices des trois angles
d’un triangle sont concourantes en un point I , le centre
du cercle inscrit au triangle
ABC .
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4.1.2 Triangles particuliers
• Si ABC est isocèle en A, alors la médiane issue de A est aussi la hauteur, la médiatrice et la bissectrice.
• Si ABC est équilatéral, alors les points H , G, O et I sont confondus.
• Si ABC est rectangle en A, alors le centre du cercle circonscrit O est le milieu de l’hypothénuse
1
[BC ] et donc O A = BC . Par ailleus, A est un point du cercle de diamètre [BC ].
2
Réciproquement, si A est un point du cercle de diamètre [BC ], alors ABC est rectangle en A.
4.2 Quadrilatères
Définition
Caractérisation
Un parallélogramme est un quadrilatère
qui a ses côtés opposés parallèles deux à
deux.
• Deux côtés opposés sont parallèles et de
même longueur.
Un rectangle est un quadrilatère qui a
quatre angles droits.
• C’est un parallélogramme avec un angle
droit.
• Les diagonales se coupent en leur milieu.
• C’est un parallèlogramme dont les diagonales ont même longueur.
Un losange est un quadrilatère qui a quatre
côtés de même longueur.
• C’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
• C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Un carré est un quadrilatère qui a quatre
angles droits et quatre côtés de même longueur.
• C’est un parallélogramme qui a deux
cotés consécutifs perpendiculaires et de
même longueur.
• C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires et de même
longueur.
• C’est un rectangle et un losange à la fois.
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Exercice
On considère un repère orthonormé (O, I , J ) et les points A(1; 2), B (5; −1), C (5; 4) et D(1; 7).
1) Placer les points A, B , C et D.
2) Calculer les cordonnées du point E , milieu de [AC ] puis celles du milieu de [B D].
Que remarque-t-on ? Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABC D ?
3) Calculer les longueurs AB , AE et E B .
4) Déterminer la nature du triangle AB E .
5) En déduire la nature de ABC D ?
6) La quadrilatère ABC D est-il un carré ? Justifier.
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