Chapitre 2 Configurations du plan et repérage 1 1.1 Triangles Théorèmes des milieux Théorème 1 • La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. • La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu. • La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. B I J C A 1.2 Droites remarquables Théorème 2 Dans un triangle : • les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. • les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Ce point est situé aux 32 de chaque médiane en partant du sommet. • les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle. • les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle. B B A′ C′ H A′ C′ G C B A C B′ ′ A 8 Chapitre 2 B A′ B C ′ O C I B C ′ A A 2 2.1 Triangle rectangle Théorème de Pythagore et sa réciproque Théorème 3 Soit ABC un triangle. • Si ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2 . • Si BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors ABC est rectangle en A. b a2 = b2 + c2 c a 2.2 Cercle circonscrit Théorème 4 Soit AM B un triangle. • Si AM B est rectangle en M , alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. • Si M est sur le cercle de diamètre [AB] alors AM B est rectangle en M . M B A 2.3 O Trigonométrie Théorème 5 (Propriété et définition) Soit ABC un triangle rectangle en A et α la mesure de l’angle ÷ ABC. AC AB AC , et ne dépendent que des angles du triangle ABC. Les rapports BC BC AB Configurations du plan et repérage 9 On définit le cosinus, le sinus et la tangente de α de la façon suivante : AC AC AB sin(α) = tan(α) = cos(α) = BC BC AB cos α = b b a b tan α = c c sin α = α 3 c a a Parallélogrammes Définition 1 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si [AC] et [BD] ont le même milieu. Ce milieu est appelé centre du parallélogramme. D C I A B Théorème 6 Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure. k D C D C k A B A 3.1 B Rectangles Définition 2 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. D C A B Théorème 7 • Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit. • Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure. 10 Chapitre 2 3.2 D C D C A B A B Losanges Définition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure. C D B A Théorème 8 • Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même mesure. • Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. C C D D B A 3.3 Carrés Définition 4 4 B A Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Repérage 4.1 Définitions Définition 5 Soit d une droite. Soient O et I deux points distincts de cette droite. Si M est un point de d, on appelle . . . . . . . . . de M dans le . . . . . . . (O,I) le nombre réel xM défini de la façon suivante : • Si M ∈ [OI) alors xM = . . . . . • Si M ∈ / [OI) alors xM = . . . . . . . . La droite d munie du repère (O,I) est appelée . . . . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . Remarque : l’abscisse d’un point sur une droite ne dépend pas de l’unité de longueur mais uniquement de la position relative des points. Configurations du plan et repérage 11 Exemple : On considère la droite ci-dessous. Déterminer l’abscisse de A dans le repère (O,I) puis l’abscisse de O dans le repère (I,A). A O I OA = −2 • A∈ / [OI) donc l’abscisse de A dans (O,I) est − OI IO 1 • O ∈ [IA) donc l’abscisse de O dans (I,A) est = IA 3 Définition 6 Un triplet de points (O,I,J) est appelé . . . . . . . du plan si O, I et J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le point O est appelé . . . . . . . . du repère et les droites (OI) et (OJ) sont les . . . . . du repère. Définition 7 Soit (O,I,J) un repère du plan. Soit M un point du plan. On appelle . . . . . . . . . . . . . . de M le couple (xM ; yM ) défini de la façon suivante : • Si on appelle N le point d’intersection de la parallèle à (OJ) passant par M et de (OI), xM est . . . . . . . . . . . de N sur l’axe gradué (O,I). • Si on appelle P le point d’intersection de la parallèle à (OI) passant par M et de (OJ), yM est . . . . . . . . . . . de P sur l’axe gradué (O,J). xM est appelé . . . . . . . . . de M dans (O,I,J) et yM est appelé . . . . . . . . . . . de M dans (O,I,J). M P J O I N Exemple : Déterminer les coordonnées de A et B dans le repère (O,I,J) ci-dessous. On trace les parallèles aux axes passant par A. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’écrire : A(−1; 1). On trace les parallèles aux axes passant par B. Les abscisses des points d’intersection sur (O,I) et (O,J) permettent d’écrire : B(0,5; 2). 4.2 B A J O I Milieu d’un segment Théorème 9 Si A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) et I est le milieu de [AB] alors I ( . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . ) 12 Chapitre 2 Exemple : Dans un repère (O,I,J), on considère les points A(−4; 4) et B(2; 1). Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. −4 + 2 yA + yB 4+1 5 xA + xB = = −1 et yI = = = 2 2 2 2 2 Å 5ã donc I −1; 2 On a xI = 4.3 Distances Repère orthonormal Soit (O,I,J) un repère du plan. On se donne une unité de longueur. Définition 8 On dit que (O,I,J) est orthonormal (ou orthonormé) si : • Les axes sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; • OI = OJ = . Exemples : 1 J J J O non orthonormal 4.4 O I I O orthonormal non orthonormal Calcul de distances Soit (O,I,J) un repère orthonormal. Théorème 10 Si A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) alors AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple » : Dans un repère orthonormal, soit A(3; −1) et B(−1; 5). Calculer AB. AB = (−1 − 3)2 + (5 − (−1))2 = √ 16 + 36 = I √ √ 52 = 2 13.