Devoir à la maison 3: Nombres de Fermat In…nitude de l

Institut préparatoire aux études
2015-2016
d’ingénieurs de Tunis
MP 1 / MP 2
Devoir à la maison 3:
Nombres de Fermat
&
In…nitude de l0ensemble des nombres premiers
On se propose avec ce problème de donner plusieurs démonstration du théorème d’Euclide
sur l’in…nitude de l’ensemble P des nombres premiers (partie II).
I–Les nombres de Fermat
On appelle nombre de Fermat tout entier de la forme:
n
Pn = 22 + 1
où n est un entier naturel.
1. Montrer que pour tout n 2 N; Pn+1 et Pn sont premiers entre eux.
2. Montrer que pour n 6= m dans N; Pn et Pm sont premiers entre eux:
4.
3. Montrer que pour n 6= m dans N et p dans N ; Fn p et Fm p sont premiers entre eux.
On considère la suite d’entiers naturels (Gn )n2N dé…nie par :
n
8n 2 N; Gn = 23 + 1:
(a) Montrer que dans cette suite, seul G0 est premier.
(b) Montrer que, pour n 2 N; Gn est divisible par 3n+1
5. Soient m
1 et a
2 deux entiers.
Montrer que si p = am + 1 est premier, alors a est pair et il existe un entier n
n
tel que m = 2n , c’est-à-dire que p = 22 b2
2n
+ 1 avec b
0
1 et dans le cas où b = 1;
p est un nombre de Fermat premier (par exemple pour n = 0; 1; 2; 3; 4) .
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Comme pour les nombre de Fermat, on peut véri…er que pour tout entier pair a
2,
n
les entiers un = a2 + 1 sont deux à deux premiers entre eux:
6. Soit p un diviseur premier d’un nombre de Fermat Pn avec n
0.
Montrer que p est soit égal à Pn , soit de la forme p = 2n+1 q + 1, où q admet un diviseur
premier impair.
7. Montrer que, pour tout n
2, le chi¤re des unités de Pn est égal à 7.
-II–In…nitude de l’ensemble P des nombres premiers
On se propose ici de donner plusieurs démonstration du théorème d’Euclide sur l’in…nitude
de l’ensemble P des
nombres premiers.
Preuve 1: Rappeler la démonstration d’Euclide de l’in…nitude de l’ensemble P des
nombres premiers.
Preuve 2: Montrer que pour tout entier naturel n, on peut trouver un nombre premier
p plus grand que n. Conclure.
Pour les questions 3. 4. 5. 6. 7. et 8. on suppose que P est …ni
et on note p1 = 2 << pr tous ses éléments ( pr et donc le plus grand nombre premier).
Pour tout réel x, on note [x ] sa partie entière.
Preuve 3: Pour tout entier k compris entre 1 et r, on note n =
r
Y
pk = p k q k .
k=1
En utilisant les diviseurs premiers de S =
r
X
qk , montrer qu’on aboutit à une contra-
k=1
diction et conclure.
Preuve 4: En utilisant la décomposition en facteurs premiers,
Montrer que pour tout entier n
1 on a 2n
(n + 1)r et conclure.
Preuve 5: Soit n un entier naturel non nul.
(a) Soit m un entier compris entre 1 et pnr .
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Montrer que si m =
r
Y
pk k est la décomposition en nombres premiers de m, alors
k=1
[n
k
ln(pr )
]
ln(2)
(
(b) En déduire que pnr
nr (
ln(pr )
+ 1)r et conclure.
ln(2)
Preuve 6:
(a) Soient x un réel strictement supérieur à 1, n un entier naturel compris entre 1 et x et
r
Y
n=
pk k la décomposition en facteurs premiers de n où les (yk sont des entiers positifs
k=1
ou nuls. Montrer que pour tout k compris entre 1 et r, on a:
(b) En déduire que pour tout réel x > 1, on a:
(
k
x<(
[
ln(x)
]
ln(2)
ln(2x) r
) +1
ln(2)
Preuve 7:
(a) Montrer que si on dispose d’une suite (un )n2N strictement croissante d’entiers naturels di¤érents de 0 et 1 et deux à deux premiers entre eux, on peut alors en déduire que P
in…ni.
(b) En utilisant les nombres de Fermat, montrer que P in…ni.
(c) Soient a; b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux avec b > a. On dé…nit
la suite (un )n2N par :
(
u0 = b
8n 1; un a = un 1 (un 1 a)
i. Montrer que (un )n2N est une suite strictement croissante d’entiers naturels di¤érents
de 0 et 1.
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