nombres de mersenne et de fermat

TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT
FICHE 13
La recherche des nombres parfaits amène à se poser la question : à quelle condition le nombre
2 n  1 est-il premier ?
Définition
On appelle nombres de Mersenne les nombres de la forme M n  2 n  1 , n  1.
Ex 13.1 Parmi les nombres M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , M 9 , M10 , quels sont
ceux qui sont premiers ?
Ex 13.2 Montrer que si M n est premier, alors n est premier.
En considérant n  11, montrer que la réciproque est fausse.
Le plus grand nombre premier connu en juin 1999 était un nombre de Mersenne, à savoir le
nombre 2 6 972 593  1 .
Fermat s'est intéressé, lui, aux entiers premiers de la forme 2 n  1.
Si n n'est pas un nombre de la forme 2 k , 2 n  1 ne peut pas être premier.En effet, on a vu dans
l'exercice 2.13 que si m est un nombre impair a  b divise a m  b m . En particulier, si n est écrit
sous la forme m2 k avec m impair, en utilisant la décomposition de n en produit de facteurs
m
k
 k
premiers, 2 n  1   2 2   1 est divisible par 2 2  1 .


Si m est différent de 1, 2 n  1 ne peut pas être premier.
Définition
k
On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme Fk  2 2  1 , k  0 .
Fermat pensait que tous ces nombres étaient premiers. C'est bien le cas pour F0  3 , F1  5 ,
F2  17 , F3  257 , F4  65 537 . Mais F5  4 294 967 297 est divisible par 641 et les nombres
qui suivent sont tous composés.
Ex 13.3 Soit m et n deux entiers naturels tels que 0  n  m .
Démontrer que Fm  2 est divisible par Fn .
En déduire que si m et n sont deux entiers naturels distincts, Fn et Fm sont premiers entre eux.
(C’est-à-dire qu’ils n’ont pas de diviseur commun autres que 1 ou –1 : cette notion sera étudiée
en détail dans la fiche 19. Pour cet exercice, on pourra utiliser les résultats de l'exercice 2.13).