Agrégation externe Le théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv 2015-2016 Le but de cette note est de présenter une application du théorème de Chevalley-Warning, en démontrant le résultat suivant : Théorème 1 (Erdös-Ginzburg-Ziv) Soit n > 1 un entier et considérons 2n − 1 entiers a1 , . . . , a2n−1 P. Il existe alors un sousensemble I de {1, . . . , 2n − 1} de cardinal n tel que l’entier i∈I ai soit divisible par n. Démonstration. On commence par traiter le cas où l’entier n = p est un nombre premier. Considérons les polynômes f, g ∈ Fp [X1 , . . . , X2p−1 ] définis par ( p−1 f = X1p−1 + · · · + X2p−1 , p−1 p−1 g = a1 X1 + · · · + a2p−1 X2p−1 . Les relations deg(f ) + deg(g) = 2p − 2 < 2p − 1 du permettent d’appliquer le théorème de Chevalley-Warning : le nombre de solutions dans F2p−1 p système d’équations f (x1 , . . . , x2p−1 ) = g(x1 , . . . , x2p−1 ) = 0 est divisible par p. L’existence de la solution triviale x1 = · · · = x2p−1 = 0 permet alors d’affirmer qu’il existe une solution (x1 , . . . , xn ) pour laquelle au moins une des variables est non nulle. Posons I = {i | xi 6= 0}. L’identité ( x p−1 = 0 si x = 0, 1 sinon, valable pour tout x ∈ Fp amène aux relations f (x1 , . . . , x2p−1 ) = card(I), X g(x1 , . . . , x2p−1 ) = ai . i∈I P On en déduit donc que p divise le cardinal de I et l’entier i∈I ai . Finalement, les inégalités 0 < card(I) < 2p impliquent que card(I) = p. Passons maintenant au cas général, en procédant par récurrence sur l’entier n. Le cas n = 2 est un cas particulier ce ce qui précède. Supposons donc que la propriété est vérifiée pour tout entier strictiement inférieur à n > 2 et montrons qu’il en est de même pour n. Soient donc a1 , . . . , a2n−1 1 des entiers. Le cas n premier est démontré. Si n est composé, on obtient une factorisation du type n = mp, avec m et p entiers tels que 1 < m ≤ p < n. L’inégalité 2p − 1 ≤ 2n − 1 implique qu’il P existe un sous-ensemble J1 ⊂ I1 = {1, . . . , 2n − 1} de cardinal p tel que l’entier b1 = i∈J1 ai soit divisible par p. En posant I2 = I1 − J1 , on obtient l’inégalité 2p − 1 ≤ card(I2 ) = 2n − 1 − p = (2m − 1)p − 1. P Il existe donc J2 ⊂ I2 de cardinal p tel que l’entier b2 = i∈I2 ai soit divisible par p. En itérant ce procédé, on obtient 2m − 1 sous-ensembles J1 , . . . , J2m−1 ⊂ I1 deux à deux disjoints et de cardinal p et 2m − 1 entiers b1 , . . . , b2m−1 correspondants, tous divisibles par p. En posant ci = p−1 bi , on obtient 2m − 1 entiers c1 , . . . , c2m−1 et, par hypothèse de récurrence, il existe un sous-ensemble P K ⊂ {1, . . . , 2m − 1} dePcardinal m tel que l’entier c = c soit divisible par m. On en i i∈K déduit alors que l’entier b est divisible par n. Il suffit maintenant de remarquer que l’union i i∈K S I = i∈K Ji est de cardinal n et que l’on a l’identité X bi = i∈K X i∈I 2 ai .