Equations différentielles - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Programme de colle de la semaine 11 du 21/11 au 26/11
Équations différentielles
Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle. Les fonctions considérées seront définies sur I et à valeurs
dans K = R ou C.
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Équations différentielles linéaires d’ordre 1
1. Définition : une fonction f : I → C est dite dérivable (resp. continue) sur I si ses fonctions composantes
Re(f ) et Im(f ) sont dérivables (resp. continues). On pose alors f ′ = (Re(f ))′ + i(Im(f ))′ .
Exemple : si q ∈ C, la dérivée de x 7→ eiqx est x 7→ iqeiqx .
2. (⋆) Les solutions de l’équation homogène (H) : y ′ + a(x)y = 0 avec a fonction continue sur I sont
{λe−F | λ ∈ K} avec F primitive de a .
Remarques :
• toutes les solutions sont proportionnelles à la solution e−F . On dit que l’ensemble des solutions SH
est une droite vectorielle (contient la fonction nulle).
• lorsque a est une fonction constante, les solutions de l’équation homogène sont proportionnelles à
x 7→ e−ax .
3. (⋆) Les solutions de l’équation avec second membre (E) : y ′ + a(x)y = b(x) s’obtiennent en ajoutant à
une solution particulière les solutions de l’équation homogène.
L’ensemble des solutions SE est une droite affine de direction SH .
Remarques :
• lorsque a et b sont constantes, la fonction constante
b
a
est solution particulière.
′
• si l’équation est de la forme a(x)y + b(x)y = c(x), on se place sur un intervalle où la fonction a ne
b(x)
c(x)
s’annule pas et on est ramené à résoudre y ′ + a(x)
= a(x)
.
• Vocabulaire de la physique : le second membre est appelé excitation. Une solution de l’équation
homogène (H) est appelée solution du régime libre et une solution particulière de (E) est appelé
solution du régime forcé, indépendante des conditions initiales. Elle a la «même forme» que le
terme d’excitation.
4. (⋆) Méthode de la variation de la constante : recherche d’une solution particulière de y ′ + a(x)y = b(x)
sous la forme yp (x) = λ(x)e−F (x) , alors λ′ = beF . En particulier, on peut écrire avec x0 ∈ I,
yp (x) = e−F (x)
Z
x
b(t)eF (t) dt.
x0
5. Problème de Cauchy : il existe une unique solution définie sur I de y ′ + a(x)y = b(x) a continue sur I
vérifiant la condition initiale y(x0 ) = y0 . Cela signifie que (si I = R) par un point du plan, passe une et
une seule courbe intégrale. En particulier, les courbes intégrales ne s’intersectent pas.
6. Problèmes de raccord Pour résoudre a(x)y ′ + b(x)y = c(x) lorsque la fonction a : R → R s’annule en
x0 par exemple, on la résoud sur les intervalles ] − ∞, x0 [ et ]x0 , +∞[. On se demande alors s’il existe
des solutions définies sur R tout entier. Elles ne peuvent être obtenues qu’en «raccordant» par continuité
et dérivabilité des solutions sur ] − ∞, x0 [ avec des solutions sur ]x0 , +∞[. On peut alors obtenir soit
0 solution, soit 1 solution, soit 1 droite de solutions (une constante), soit un plan de solutions (deux
constantes).
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EDL du second ordre à coefficients constants
1. Résolution de l’équation homogène à coefficients constants (a 6= 0) ay ′′ + by ′ + cy = 0 (H).
On note ∆ le discriminant du polynôme P = aX 2 + bX + c.
(a) Cas K = C
• si ∆ 6= 0, P admet deux racines r1 et r2 . On a alors
SH = {x 7→ αer1 x + βer2 x |
(α, β) ∈ C2 }.
• si ∆ = 0, P admet une unique racine r. On a alors
SH = {x 7→ αerx + βxerx |
(α, β) ∈ C2 }.
(b) Cas K = R
• si ∆ > 0, P admet deux racines réelles r1 et r2 . On a alors (régime apériodique)
SH = {x 7→ αer1 x + βer2 x |
(α, β) ∈ R2 }.
• si ∆ = 0, P admet une unique racine réelle r. On a alors (régime critique)
SH = {x 7→ αerx + βxerx |
(α, β) ∈ R2 }.
• si ∆ < 0, P admet deux racines complexes conjuguées r1 = ρ + iw et r2 = ρ − iw. On a alors
(régime pseudo-périodique)
SH = {x 7→ eρx (α cos(wx) + β sin(wx)) |
(α, β) ∈ R2 }.
Remarques :
• Dans tous les cas les solutions de ay ′′ + by ′ + cy = 0 sont combinaisons linéaires de deux solutions.
On dit que SH est un plan vectoriel (espace vectoriel de dimension 2).
• (⋆) Un signal de la forme t 7→ a cos(ωt) + b sin(ωt) peut s’écrire sous la forme t 7→ A cos(ωt + φ) avec
ω la pulsation, A l’amplitude et φ le déphasage.
2. Avec second membre.
Les solutions de l’équation avec second membre ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = f (x) (E) s’obtiennent en
ajoutant à une solution particulière de (E) les solutions de l’équation homogène (H) ay ′′ + by ′ + cy = 0.
Remarque : on dit que l’ensemble des solutions de (E) est un plan affine de même direction que SH .
3. Comment trouver une solution particulière ? Quelques «recettes 1 »
• Principe de superposition
• Cas d’un second membre polynomial, on cherche une solution particulière polynomiale.
• Cas d’un second membre de la forme f (x) = emx avec m ∈ K : l’équation (E) admet une solution
particulière yp de la forme :
– yp (x) = qemx si m n’est pas racine de aX 2 + bX + c avec q ∈ K.
– yp (x) = qxemx si m est racine simple de aX 2 + bX + c.
– yp (x) = qx2 emx si m est racine double de aX 2 + bX + c.
• Cas d’un second membre de la forme f (x) = cos ωx (signal sinusoïdal de pulsation ω). Alors on aura
une solution particulière sinusoïdale avec même pulsation, du type yp (x) = A cos ωx + B sin ωx (ou
y(t) = A cos(ωt+φ)). Pour cela, on cherche une solution complexe de l’équation (Ec ) : ay ′′ +by ′ +c′ =
eiωx . On en prend la partie réelle et cela fournit une solution particulière de (E).
4. Problème de Cauchy : il existe une unique solution de ay ′′ + by ′ + cy = f (x) vérifiant les conditions
initiales y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = y0′ .
1. Ce sont les seules au programme.