Études de signes et inéquations, cours de seconde

Études de signes et inéquations, cours de
seconde
F.Gaudon
16 février 2009
Table des matières
1
Étude du signe des fonctions affines
2
2
Études de signes de produits et de quotients
2.1 Exemple d’étude de signe d’un produit . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exemple d’étude de signe d’un quotient . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
Application à la résolution d’inéquations
3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles . . . . . . . . . .
3.3 Exemple de résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
4
Synthèse sur les inéquations
4
5
Résolutions graphiques
5
1
1
Étude du signe des fonctions affines
Méthode :
Soient a et b deux nombres réels avec a 6= 0.
Étudier le signe du nombre ax + b signifie déterminer les valeurs de x pour
lesquelles ax + b ≥ 0 et celles pour lesquelles ax + b ≤ 0.
Propriété :
ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à − ab , du signe
opposé pour les valeurs inférieures.
Synthèse :
On résume l’étude dans un tableau de signe :
Si a > 0
x
signe
de
ax + b
−∞
x
signe
de
ax + b
−∞
− ab
-
0
+∞
+
Si a < 0
2
− ab
+
0
+∞
-
Études de signes de produits et de quotients
2.1
Exemple d’étude de signe d’un produit
On considère le produit
(x − 3)(1 − x)
.
On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x − 3 et de 1 − x,
puis on utilise la règle des signes.
x
x−3
1−x
(x − 3)(1 − x)
−∞
1
+
-
2
0
+
3
0
+∞
+
-
2.2
Exemple d’étude de signe d’un quotient
On considère le quotient
3 − 2x
x+1
.
• On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x + 1 6= 0 c’est à dire
x 6= −1.
• On procède de même que pour l’étude de signe d’un produit.
x
3 − 2x
x+1
3−2x
x+1
3
3.1
−∞
2
3
-1
+
-
0
k
+
+
+
0
0
+∞
+
-
Application à la résolution d’inéquations
Vocabulaire
Définition :
• On appelle inéquation produit nul , toute inéquation de la forme
f (x)g(x) ≤ 0 ou f (x)g(x) ≥ 0 où f et g sont deux fonctions.
(x)
• On appelle inéquation quotient nul, toute inéquation de la forme fg(x)
≤0
ou f (x)g(x) ≥ 0 où f et g sont deux fonctions.
3.2
Compléments de vocabulaire sur les intervalles
Définition :
Soient I et J deux intervalles.
• L’intersection de I et J notée I ∩J est l’ensemble des nombres appartenant
à la fois à I et à J.
• La réunion de I et J notée I ∪ J est l’ensemble des nombres appartenant à
I ou (inclusif) à J.
• Lorsque les intervalles I et J n’ont aucun point commun, leur intersection
est l’ensemble vide noté ∅. On dit aussi que les intervalles sont disjoints.
3
3.3
Exemple de résolution d’inéquations
On considère l’inéquation
3x + 1
≤5
x−2
.
• On détermine les valeurs interdites : x − 2 = 0 donne x = 2.
• On écrit l’inéquation sous la forme d’une inéquation quotient nul :
3x + 1
−5≤0
x−2
3x + 1 − 5(x − 2)
≤0
x−2
3x + 1 − 5x + 10
≤0
x−2
−2x + 11
≤0
x−2
• On étudie le signe du quotient obtenu :
x
−∞
2
5,5
+∞
−2x + 11
+
+ 0 x−2
- 0 +
+
−2x+11
k
+
0
x−2
• On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l’inéquation :
S = [−∞; 2[ ∪ [5, 5; +∞[
4
Synthèse sur les inéquations
Démarche de résolution :
Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d’un membre à l’autre pour se ramener à :
• Une inéquation du premier degré ;
• une inéquation produit nul ;
• ou une inéquation quotient nul.
4
Exemple :
(x + 2)2 ≤ 9
(x + 2)2 − 9 ≤ 0
(x + 2)2 − 32 ≤ 0
(x + 2 − 3)(x + 2 + 3) ≤ 0 d’après l’identité remarquable
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(x − 1)(x + 5) = 0
C’est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit (x−1)(x+5) :
x − 1 ≤ 0 pour x ≤ 1 et x + 5 ≤ 0 pour x ≤ −5.
On obtient le tableau de signes suivant :
x
x−1
x+5
(x − 1)(x + 5)
−∞
-5
+
0
0
1
0
+
- 0
+∞
+
+
+
L’ensemble des solutions est donc l’ensemble [−5; 1].
5
Résolutions graphiques
Propriété :
Soit k un nombre réel, f une fonction et Cf sa représentation graphique dans
un repère. Les solutions de l’inéquation f (x) ≤ k (respectivement f (x) ≥ k)
sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement
au dessus) de la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de
coordonnées (0; k).
Exemple :
Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f (x) = x2 .
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L’inéquation f (x) ≤ 4 a pour ensemble solution [−2; 2].
L’inéquation f (x) ≥ 4 a pour ensemble solution ] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[.
Propriété :
Soient f et g deux fonctions et Cf et Cg leur représentation graphique dans
un repère. Les solutions de l’inéquation f (x) ≤ g(x) sont les abscisses des
points de la courbe Cf situés en dessous des points de Cg de même abscisse.
Exemple :
Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g
définies par f (x) = x2 et g(x) = − 12 x2 + 6.
6
L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) < g(x) est l’ensemble ] − 2; 2[.
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