Mathématiques spéciales Feuille d’exercices no5 1. Compacité Exercice 1. Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E. Montrer que si A est compact, alors il existe a, b ∈ A tels que : diam(A) = d(a, b). Exercice 2. Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties compacts de E. Montrer que si A ∩ B = ∅, alors d(A, B) > 0. Exercice 3. Soit E un espace vectoriel normé et C un compact de E. 1. Montrer que si B est un fermé de E, alors la partie B + C = {x + y | x ∈ B, y ∈ C} est fermée. 2. On suppose 0E ∈ / C. Montrer que la partie : A = {λ.x | λ ∈ R+ , x ∈ C} est fermée. Montrer que A n’est pas fermé en général si 0E ∈ K. Indication. Pour le 2), montrer que si le complémentaire d’un compact (ou même d’un fermé) contient 0E , alors il contient une boule de centre 0E et de rayon strictement positif. Exercice 4. Soit f : R → R. 1. On suppose f continue. Montrer que son graphe Gf = {(x, f (x)) | x ∈ R} ⊂ R2 est fermé. 2. On suppose f bornée et que Gf est un fermé de R2 . Montrer que f est continue. 3. Que dire du 2) si on ne suppose plus f bornée ? 1 2. Connexité par arcs Exercice 5. Les sous-ensembles de R2 suivants sont-ils convexes ? étoilés ? connexes par arcs ? — A = {(x, y) | x, y ∈ R∗+ et xy ≥ 1}. — R2 ∖ Z2 = {(x, y) | x ∈ / Z et y ∈ / Z}. — Gf ∪ Gg où Gf et Gg sont les graphes de fonctions affines f et g de R dans R. — R2 ∖ Q2 = {(x, y) | x ∈ / Q et y ∈ / Q}. — (R ∖ Q)2 = {(x, y) | x ∈ / Q ou y ∈ / Q}. Exercice 6. Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose A et B connexe par arcs. 1. Montrer que A × B est connexe par arcs. 2. En déduire que A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} est connexe par arcs. Exercice 7. Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose A et B connexe par arcs. 1. On suppose A connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ? 2. On suppose A connexe par arcs. Å est-il connexe par arcs ? 3. On suppose Å connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ? 4. (plus difficile) On suppose A connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ? Exercice 8. Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E. On suppose A est ouvert de E. Montrer que les composantes connexes de A sont des ouverts de E. Exercice 9. gThéorèmededeDarboux Théorème Darboux Soit I un intervalle non vide de R. On note A = {(x, y) ∈ I × I | x < y}. 1. Montrer que A est une partie connexe par arcs de R2 . 2. Soit f : I → R une fonction dérivable. On considère l’application : φ: A → (x, y) 7→ — Montrer que g(A) ⊂ f ′ (I) ⊂ g(A) 2 R f (y) − f (x) y−x — En déduire que f ′ (I) est un intervalle. Indication. Dans la question 2.a), pour l’inclusion φ(A) ⊂ f ′ (I), penser au théorème des accroissements finis. 3. Espaces vectoriels normés de dimension finie Exercice 10. Soit n ∈ N et E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Démontrer qu’il existe c > 0 tel que, pour tout P ∈ E, on a ∫ 1 |P (t)|dt ≥ c sup |P (t)|. t∈[0,1] 0 Exercice 11. On considère On (R) = {M ∈ Mn (R) | tM M = In } — Montrer que On (R) est une partie compacte de Mn (R). — Montrer que On (R) n’est pas connexe par arcs. Exercice 12. Soit N une norme sur Mn (R). Démontrer qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout A, B ∈ Mn (R), on a N (AB) ≤ CN (A)N (B). Exercice 13. gThéorèmededeRiesz Théorème Riesz Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. 1. Démontrer que pour tout a ∈ E, il existe x ∈ F tel que d(a, F ) = ∥a − x∥. 2. On suppose F = ̸ E. Soit a ∈ E\F et soit x ∈ F tel que d(a, F ) = ∥a − x∥. a−x On pose b = . Montrer que : ∥a − x∥ d(b, F ) = 1 et ∥b∥ = 1. On suppose que E est de dimension infinie. 3) Construire une suite (bn )n∈N à valeurs dans E telle que, pour tout n ∈ N, ∥bn ∥ = 1 et d(bn , Vect(b0 , . . . , bn−1 )) = 1. 4) En déduire que la boule unité fermée de E n’est pas compacte. 3 Exercice 14. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et A une partie bornée de E non vide. 1. Soit a ∈ E. Démontrer qu’il existe une boule Bf (a, Ra ) de rayon minimal qui contient A. 2. On pose R = inf{Ra | a ∈ E}. Démontrer qu’il existe b ∈ E tel que A ⊂ Bf (b, R). 4