Nombres premiers et théorème de Fermat

Nombres premiers et théorème de Fermat
1. 2 5 13
2 3 5
2 5 200 et 2 3 5 13 93600
2 3 5
2. 3 5 11
3 5 et 2 3 5 11
3. Trouver les entiers qui s’écrivent 9 10 3 2 5 et qui ont moins de 30 diviseurs.
Un nombre a 3 1 diviseurs : on doit donc avoir : 3 1 30
ou encore 1 10, c'est-à-dire : 0, 1 ou 2
Les nombres possibles sont donc :
9 qui a 3 diviseurs : 1, 3, 9
90 3 2 5 qui a 12 diviseurs : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90.
900 3 2 5 qui a 27 diviseurs :
1,
2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30.
900, 450, 300, 225, 180, 150, 100, 90, 75, 60, 50, 45, 36, 30
4. p est un nombre premier.
On suppose qu’il existe a et b, entiers naturels, tels que : Etudier alors la parité de l’exposant de dans les décompositions en facteurs premiers de et
de . Que peut-on en conclure ?
5. et sont deux entiers naturels tels que :
• 162 2 3
• et ont 6 diviseurs communs
Les diviseurs communs à a et b sont des diviseurs de 162.
162 a 10 diviseurs : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162.
Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD ; le PGCD a donc 6 diviseurs, et ce
ne peut être que 18.
On aura alors 18 et 18
avec a’ et b’ premiers entre eux.
De plus 18 162, ce qui donne 9.
1 8 , donne 18 144 2 7 , donne 36 126
3 6 , donne 54 108 4 5 , donne 72 90
Les solutions sont donc : 18 et 144, 36 et 126, 54 et 108, 72 et 90.
6. Résoudre l’équation 35! 21" # 5 où les inconnues ! et " sont des entiers.
L’équation s’écrit aussi : 5! 3" # 5 ;
- Si ! et " sont des entiers solutions,
alors 3 divise 5!, et 3 est premier avec 5 ; d’après le th de Gauss, 3 divise ! : ! 3$.
On obtient ainsi 5 3$ 3" # 5, c'est-à-dire 5$ " # 5 ou encore " 5$ 5.
- Réciproquement, si ! 3$ et " 5$ 5, alors 5! 5 3$, 3" # 5 3 5$ et
donc 5! 3" # 5
- Les nombres ! 3$ et " 5$ 5, avec $ entier, sont les solutions de l’équation.
7. Résoudre l’équation 13! 17" 5 où les inconnues ! et " sont des entiers.
8. Théorème de Fermat sur un cas particulier : 18 et 11.
Dresser le tableau des congruences, modulo , des nombres , 2, 3, … ,
jusqu’à # 1 ; on considère le nombre 2 3 … # 1
Montrer que ' 10 ( En déduire que 10 )*+ ' 10 ( , puis que )*+ ' 1 ( .
9. Application du théorème de Fermat :
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel a, + # ' 0 ( 13.
+ # + # 1
- Ou bien ' 0 ( 13, et alors + # 1 ' 0( 13, c'est-à-dire + # '
0 ( 13.
- Ou bien 13 ne divise pas , et alors, 13 étant premier, on a : + # 1 ' 0 ( 13, d’après le
théorème de Fermat ; dans ce cas, on aura aussi : + # ' 0 ( 13
Pour tout entier , on a donc + # ' 0 ( 13.
Montrer que, pour tout entier naturel a, + # est divisible par 2.
+ # + # 1
- Ou bien est pair, et alors + # 1 ' 0( 2, c'est-à-dire + # ' 0 ( 2.
- Ou bien est impair, et alors : ' 1 ( 2 + ' 1 ( 2, et + # 1 ' 0( 2,
On aura donc aussi + # ' 0 ( 2.
Pour tout entier , on a donc + # ' 0 ( 2.
En déduire que, pour tout entier naturel a, + # est divisible par 26.
Pour tout entier naturel , + # est divisible par 13 et par 2.
Comme 2 et 13 sont premiers entre eux, + # est divisible par 2 13 26.
10. Trouver le PGCD des entiers 3, # 3 et 1221
1221 3 11 37
3, # 3 33- # 1
37 est premier et 37 ne divise pas 3, donc 3- # 1 ' 0 ( 37, d’après le th de Fermat.
3 et 37 sont donc des diviseurs de 3, # 3.
Examinons le tableau de congruences, modulo 11, de 3 # 3, suivant n :
n
3
3 # 3
0
1
-2
1
3
0
2
-2
-5
3
5
2
4
4
1
5
1
-2
6
3
0
7
-2
-5
8
5
2
…
…
…
35
1
-2
36
3
0
37
-2
-5
38
5
2
39
4
1
40
1
-2
De façon plus simple : 3 243 ' 1 ( 11, et 3. ' 1 (11 pour tout entier naturel $.
Donc 3 3, ' 1 ( 11, 3, ' 3 3 ' 9 ( 11 et 3, # 3 ' 6 ( 11.
Finalement 11 ne divise pas 3, # 3.
Les diviseurs communs à 1221 et 3, # 3 s’écrivent donc avec les nombres premiers 3 et 37.
Le PGCD de 1221 et 3, # 3 est donc 3 37 111.
41
3
0