Fonctions trigonométriques Série 1
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ÉDITION 2010 Fonctions trigonométriques Série 1 MFM2P MPM2D MBF3C MCR3U MCF3M MCT4C MAP4C cotangente tangente sinus cosinus Fonctions trigonométriques, série 1 Le présent guide sert de complément à la série d’émissions intitulée Fonctions trigonométriques, série 1. Édition 2010 Révision pédagogique : Karine Rozon Responsable de projet : Annette Lalonde Conseiller pédagogique de la version originale : Michel Lamoureux Pour obtenir des exemplaires supplémentaires de ce guide : • Vous pouvez imprimer ce guide à partir du site web www.tfo.org/ressources; • Vous avez le droit d’en faire des photocopies à volonté; • Vous pouvez acheter ce guide au Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques à Ottawa, joignable au 1.877.742.3677, poste 228 (Ontario) et au 1.877.747.8003, poste 228 (Canada). Pour obtenir une copie des émissions : • Vous pouvez les enregistrer sur DVD lors de leur diffusion sur les ondes de TFO; • Vous pouvez consulter le site www.tfo.org/diffusion pour connaître la date de la prochaine diffusion ou téléphoner au 1.800.387.8435, poste 2388 pour demander une diffusion spéciale; • Les écoles de langue française en Ontario peuvent visionner ces émissions directement sur le site web www.tfo.org/ressources. Les écoles des conseils scolaires qui sont abonnés au service d’accès en ligne de TFO peuvent aussi y accéder par Internet. TFO tient à remercier le Secrétariat d’État de sa participation financière à la réalisation de ce projet. © L’Office des télécommunications éducatives de langue française de l’Ontario, mars 2010. Table des matières 4 Introduction 5 Émission 1 Rapports trigonométriques Émission 2 Résoudre des triangles rectangles 12 19 26 33 39 Émission 3 Angle sur un plan Émission 4 La loi du sinus Émission 5 La loi du cosinus Émission 6 Applications des lois du sinus et du cosinus Introduction La trigonométrie est un système mathématique qui apprend à mesurer les angles, non pas pour en donner les valeurs simples obtenues en géométrie plane en se servant d’un rapporteur, mais pour effectuer des calculs à l’aide de fonctions spéciales basées sur les angles que l’on appelle fonctions trigonométriques. La série de six émissions, Fonctions trigonométriques I, définit ces fonctions en utilisant la longueur des côtés d’un triangle rectangle et les rapports dans le plan cartésien. Avec une calculatrice, on peut calculer la mesure des angles et la longueur des côtés des rectangles. Deux équations particulières, la loi du sinus et la loi du cosinus, sont démontrées et des applications pratiques visant à résoudre des triangles sont présentées. Tableau de correspondance des émissions aux cours du programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario Code de cours Émission 1 Émission 2 Émission 3 Émission 4 Émission 5 X Émission 6 MFM2P X MPM2D X X X MBF3C X X MCR3U X X X X MCF3M X X X X X MAP4C X MCT4C X X Émission 1 Rapports trigonométriques Description de l’émission Cette émission débute sur l’image d’un centre de lancement de fusées où un vaisseau spatial conçu pour explorer le cosmos est sur le point d’être lancé. Nous faisons la connaissance de deux astronautes qui sont aux commandes et ont hâte d’explorer l’univers. Ils doivent déterminer la mesure de l’angle qui leur permettra de se tenir constamment en communication avec le centre de contrôle. Afin de définir les rapports trigonométriques, le cas du triangle rectangle est abordé. Les côtés de ce triangle sont identifiés en fonction d’un angle aigu donné. Les termes hypoténuse, côté opposé et côté adjacent sont expliqués. Les rapports trigonométriques, le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle sont définis et leurs propriétés discutées. Cette émission montre comment calculer la mesure d’un angle aigu en connaissant la longueur des trois côtés. L’utilisation des tables trigonométriques et de la calculatrice est expliquée. Ces nouvelles connaissances sont appliquées pour résoudre le problème de transmission qui se pose aux deux astronautes. Un triangle est tracé et, à l’aide de la trigonométrie, l’angle de transmission de leurs signaux vers CapCom est calculé. Les communications sont rétablies et nos voyageurs de l’espace poursuivent leur route. 5 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MBF3C Titre : Méthodes de mathématiques, 11e année, cours précollégial Domaine : Applications de mesure et de trigonométrie Attente Résoudre des problèmes associés aux triangles acutangles à l’aide de la trigonométrie. Contenu d’apprentissage Modéliser et résoudre des problèmes dans divers contextes portant sur la mesure des longueurs des côtés et des angles d’un triangle rectangle. MPM2D Titre :Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre des problèmes portant sur les triangles rectangles. Contenus d’apprentissage • Identifier l’hypoténuse et les côtés opposé et adjacent à un angle aigu d’un triangle rectangle; • Définir les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente d’un angle dans un triangle rectangle et utiliser correctement leur notation (par exemple, sin 12° et non pas sin 12 ou sin); • Résoudre des triangles rectangles à l’aide de rapports trigonométriques. MFM2P Titre :Méthodes de mathématiques, 10e année, cours appliqué Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre, à l’aide de la trigonométrie, des problèmes portant sur des triangles rectangles. Contenus d’apprentissage • Définir les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle; • Résoudre des triangles rectangles à l’aide de rapports trigonométriques. 6 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques Objectifs Après avoir visionné cette émission et effectué les activités et exercices proposés, les élèves doivent être capables de : • identifier l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l’angle aigu donné d’un triangle rectangle; • utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle, la longueur des deux autres côtés étant connue; • définir les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour un angle aigu d’un triangle rectangle; • utiliser une calculatrice pour déterminer la valeur des rapports trigonométriques d’un angle donné; • utiliser le rapport trigonométrique approprié pour trouver la mesure d’un angle ou la longueur d’un côté d’un triangle rectangle; • résoudre des triangles rectangles; • résoudre des problèmes exprimés sous forme d’énoncés traitant de triangles rectangles. Avant le visionnement 1. Dans cette émission, on présume que les élèves connaissent la terminologie de base qui se rapporte aux angles et aux triangles. Consacrer quelque temps à réviser les définitions et concepts suivants : triangle rectangle, obtusangle, acutangle, scalène, oblique, équilatéral, somme des angles = 180°. 2. Réviser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur des côtés des triangles rectangles. Illustrer par plusieurs exemples en utilisant une calculatrice. 3. Expliquer qu’en général, les mesures d’angle sont arrondies à l’unité près et que les longueurs sont arrondies au dixième près. Mentionner que les rapports trigonométriques sont souvent exprimés à trois ou à quatre décimaux près. 7 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques Après le visionnement 1. Étant donné que le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu ont été définis comme étant des rapports entre la longueur de l’hypoténuse, du côté opposé et du côté adjacent, les élèves doivent apprendre à déterminer à quel côté des triangles rectangles s’appliquent ces termes. Leur proposer des triangles orientés différemment. D E (b) G C (a) (d) L (c) M K F A N B H 2. Les définitions des rapports trigonométriques doivent être mémorisées. La valeur du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu pourra être déterminée si on connaît la longueur des trois côtés. 12 cm (b) 5 cm 13 cm C (a) (d) (c) 5 mm 5m A 4m 3m 6,7 km 6 km 5 mm 7,1 mm B 3 km 8 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques 3. On peut trouver la valeur des rapports trigonométriques en utilisant des triangles rectangles dont deux côtés sont connus. Grâce au théorème de Pythagore, on calcule d’abord la longueur du troisième côté avant de trouver la valeur des rapports. (a) S 7m (b) 9 cm 10 m R T 12 cm 4. Expliquer aux élèves que les valeurs des rapports trigonométriques dépendent de la mesure de l’angle aigu et non pas des dimensions du triangle. Pour ce faire, utiliser plusieurs triangles rectangles semblables et calculer les rapports des angles correspondants. (b) (a) 6 km 7,8 mm 31o 31o 10 km 13 mm 5. Habituer les élèves à utiliser leur calculatrice pour déterminer la valeur des rapports trigonométriques et la mesure d’un angle lorsque les termes du rapport sont connus. Par exemple : Si sin 0,5, alors A = 30° 6. Les élèves doivent s’exercer à trouver la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque la mesure d’un angle et la longueur d’un côté sont données. Nous vous suggérons par exemple de proposer aux élèves le rapport suivant : côté « inconnu » côté connu puis de déterminer le rapport trigonométrique que ce quotient représente pour un angle donné. Exemple : x 12,3 cm x = sin 27o 12,3 27o Résoudre ensuite l’équation. 9 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques Trouver la longueur des côtés indiqués des triangles suivants : b (b) 25o (a) a (c) 15,7 cm c 30o 80o 27,5 m 10 m 7. Les exemples suivants exigent des divisions : 5 km 5 = tg 38o x x = 5 =... tg 38o 38o x Trouver la longueur des côtés indiqués des triangles suivants. (a) (b) 21o 65o a 4,3 cm 20 m 10 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques b 8. Résoudre un triangle signifie trouver la longueur des côtés « inconnus » et la mesure des angles « inconnus ». Rappeler aux élèves qu’ils peuvent faire appel aux concepts trigonométriques ainsi qu’au théorème de Pythagore et à la somme des angles d’un triangle au besoin. Résoudre les triangles suivants. (a) (b) A 14,6 m D 15 cm 10,3 m 37o B C 20 cm F E 9. Demander aux élèves de résoudre des triangles rectangles en situation. Pour chacun des cas suivants, ils doivent tracer de façon précise le triangle rectangle représentant la question, puis indiquer les données connues et requises. a) Un poteau téléphonique est maintenu en place par des câbles de hauban qui sont fixés au haut du poteau et à la base de béton. L’un des câbles mesure 20,3 m de long et forme un angle de 40° avec la surface du sol. Trouver la hauteur du poteau. b) Une échelle de 10 m placée contre un mur entre en contact avec le mur à 7,4 m de haut. Quelle est la distance qui sépare le bas de l’échelle du mur? Trouver l’angle formé par l’échelle et le mur. c) Du poste d’observation d’un phare, l’angle de dépression formé par une barque qui se trouve dans la baie est égal à 7°. En supposant que le point d’observation se trouve à 25 m au-dessus du niveau de l’eau, quelle est la distance qui sépare l’embarcation du phare? 11 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 1 : Rappor t s t r igonom ét r iques Émission 2 Résoudre des triangles rectangles Description de l’émission À la fin de la première émission, les astronautes avaient découvert qu’ils devaient transmettre leurs signaux en observant un angle de 37° par rapport à la verticale. Cette émission débute par un avertissement du centre de contrôle qui, en raison du danger présenté par des météores, demande aux astronautes de placer le satellite de transmission fixe GEOSAT4 sur une orbite supérieure pour le mettre à l’abri. Ils doivent également s’éloigner de la terre et sont donc obligés de se livrer à de nouveaux calculs. La situation difficile dans laquelle se trouvent les astronautes sert de prétexte pour réviser les rapports trigonométriques et pour résoudre des triangles rectangles. L’émission rapporte ensuite une discussion sur les angles dans un plan de coordonnées cartésiennes. Suit ensuite une brève révision sur la localisation de divers points en utilisant des couples ordonnées. Le concept d’un angle trigonométrique est expliqué avec un sommet situé au point (0,0), le côté initial reposant sur l’axe positif des X, et le côté terminal situé ailleurs dans le plan. L’angle est défini en fonction de la rotation au point d’origine. Un exemple est donné où le point P(3,5) étant situé sur le côté terminal, la longueur du segment OP peut être déterminée grâce au théorème de Pythagore. Les rapports trigonométriques primaires sinus, cosinus et tangente d’un angle trigonométrique ayant le point P(x,y) sur le côté terminal et OP = r unités, sont définis. La valeur des rapports trigonométriques des angles dont le côté terminal se trouve dans d’autres quadrants est également calculée. 12 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MCT4C Titre :Mathématiques de la technologie au collège, 12e année, cours précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Déterminer les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente d’angles inférieurs à 360° et résoudre des problèmes tirés d’applications de la vie courante à l’aide de rapports trigonométriques et de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenu d’apprentissage Déterminer la valeur des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour des angles inférieurs à 360° et établir le lien entre ces rapports pour des angles inférieurs à 90° à l’aide de stratégies variées (angles reliés, cercle unitaire). MCR3U Titre :Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. Contenu d’apprentissage Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle supérieur à 90º à l’aide de techniques appropriées (par exemple, cercle unitaire, outils technologiques). 13 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles Objectifs Après avoir visionné cette émission et effectué les activités et exercices proposés, les élèves doivent être capables de : • définir et expliquer le sens de l’expression angle trigonométrique dans un plan cartésien et utiliser à bon escient certains termes, notamment sommet, côté initial et côté terminal; • trouver la distance qui sépare l’origine d’un point placé sur le côté terminal d’un angle; • déterminer les rapports trigonométriques d’un angle en position canonique ayant un point (x, y) sur le côté terminal et r unités comme rayon (hypoténuse); • trouver la valeur des trois rapports trigonométriques des angles en position canonique; • représenter dans le plan cartésien des angles supérieurs à 90° et inférieurs à 0° (sens de la rotation); • effectuer des exercices portant sur deux triangles ou plus. Activités avant le visionnement 1. Réviser certains éléments de l’émission précédente. Demander aux élèves de donner le nom des côtés d’un triangle rectangle (côté adjacent et opposé, hypoténuse) ainsi que les définitions des rapports sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu. 2. Réviser les méthodes qui servent à déterminer la longueur des côtés et la mesure des angles des triangles rectangles (Pythagore, somme des angles = 180°, rapports trigonométriques). 3. Demander aux élèves de trouver le rapport trigonométrique approprié pour résoudre un triangle donné. 4. Si nécessaire, revoir la méthode à appliquer pour trouver la distance entre deux points situés sur un plan cartésien en traçant un triangle rectangle et en utilisant le théorème de Pythagore. 14 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles Activités après le visionnement 1. Les définitions des rapports trigonométriques en fonction d’un angle trigonométrique doivent être mémorisées et faire l’objet d’exercices. Les élèves doivent calculer les mesures de ces angles, le côté terminal étant placé dans divers quadrants. (a) (b) Y Y P(-3,3) P(6,2) A B X (c) (d) Y X X P(-4, -3) (1, -3) Y (e) 180o (-4, 0) 15 X X Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles 2. Proposer aux élèves des cas où la valeur, de x ou de y est inconnue. (a) Y Y (b) B P(x, 5) r=13 A X 41 P(-4, y) 3. En utilisant le rapport trigonométrique approprié et une calculatrice, trouver la valeur des angles a et b des diagrammes suivants. (a) Y (b) Y P(3, 4) (6,3) A X B X 4. Présenter aux élèves les rapports trigonométriques cosécante, sécante et cotangente d’un angle trigonométrique. Y r P(x, y) cosécante: ainsi, sécante: ainsi, cotangente: ainsi, X Mettre l’accent sur l’importance des restrictions. Étant donné que la valeur de r est toujours positive, les rapports sinus et cosinus sont définis pour toutes les valeurs réelles. Cependant, quand il s’agit des quatre autres rapports, le dénominateur peut être égal à 0, d’où une valeur indéfinie pour le rapport. 16 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles 5. Expliquer pourquoi la rotation se fait toujours en sens inverse des aiguilles d’une montre. Expliquer qu’à partir du point initial situé sur l’axe des x positif des X, le côté terminal peut se déplacer vers la droite ou vers la gauche. Les mathématiciens ont arbitrairement décidé que lorsque le sens de la rotation est contraire au déplacement des aiguilles d’une montre, l’angle est considéré positif et lorsque la rotation suit le déplacement des aiguilles d’une montre, l’angle est considéré négatif. Y (a) (b) Y A = + 60o B= -30o ou A 60o X B Représenter les angles suivants dans le plan cartésien : 45°, 255°, -60°, -180°, 420° 6. Deux angles ayant le même côté terminal s’appellent des angles coterminaux. Par exemple, les angles de 45° et de -315° sont des angles coterminaux. Y X Trouvez les trois angles coterminaux avec un angle de 75°. (Rappelez-vous que la rotation peut se faire dans les deux sens et que vous pouvez effectuer plus d’une révolution.) Combien y en a-t-il en tout? 17 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles X 7. Certains problèmes qui demandent l’application de concepts trigonométriques portent sur plusieurs triangles rectangles. Dans les cas suivants, qui doivent être résolus en deux temps, trouvez la longueur des côtés indiqués. (a) B 20 km ? 60o A 25o D C (b) H 71o 15,3 m 26o E F ? 18 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 2 : Rés oudr e des t r iangles r ec t angles 6,7 m G Émission 3 Angle sur un plan Description de l’émission Les définitions des trois rapports trigonométriques d’un angle trigonométrique sont révisées. La valeur du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle de 90° est calculée en portant une attention toute particulière à la valeur du rapport tangente (indéfini). Deux importantes relations sont découvertes à l’aide d’un cas où le côté terminal de l’angle se trouve dans le deuxième quadrant : sin = sin (180° - ) cos = - cos (180° - ) 19 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MCT4C Titre :Mathématiques de la technologie au collège, 12e année, cours précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Déterminer les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente d’angles inférieurs à 360° et résoudre des problèmes tirés d’applications de la vie courante à l’aide de rapports trigonométriques, de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenus d’apprentissage • Déterminer la valeur des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente pour des angles inférieurs à 360° et établir le lien entre ces rapports pour des angles inférieurs à 90° à l’aide de stratégies variées (angles reliés, cercle unitaire); • Déterminer deux angles qui correspondent à une valeur donnée d’un rapport trigonométrique (par exemple, déterminer deux valeurs possibles de MCR3U Titre :Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. Contenus d’apprentissage • Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle supérieur à 90º à l’aide de techniques appropriées (par exemple, cercle unitaire, outils technologiques); • Déterminer deux angles qui correspondent à une valeur donnée d’un rapport trigonométrique (par exemple, déterminer deux valeurs possibles de 20 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan Objectifs Après avoir visionné cette émission et effectué les activités et exercices proposés, les élèves doivent être capables de : • trouver les rapports trigonométriques primaires d’un angle dont le côté terminal repose sur un axe de coordonnées (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) • trouver le signe du rapport trigonométrique en utilisant la règle « CAST ». • trouver la valeur des angles dont le côté terminal se trouve dans les quadrants II, III et IV, avec une calculatrice. • exprimer sous la forme (180° + ) ou (360° - ), étant donné un angle situé entre 90° et 360°. • identifier les angles qui ont les mêmes rapports trigonométriques à l’aide des relations suivantes : sin (180° - ) = sin cos (180° - ) = -cos Activités avant le visionnement 1. Réviser la définition des rapports trigonométriques d’un angle trigonométrique sur un plan cartésien. Y y sin A = r P(x, y) r x cos A = r y tg A = x , x ≠ 0 A X Revoir avec les élèves les relations existantes entre x, y et r (r = x2 + y2 21 ) et remarquer que r ≥ 0. Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan 2. Trouver les rapports trigonométriques des angles suivants : Y (a) Y (b) (-3,y) 34 B P(5,2) X X 3. Revoir également comment utiliser une calculatrice en trigonométrie. Les élèves doivent s’exercer à trouver les valeurs des rapports trigonométriques et trouver la mesure d’un angle, la valeur d’un rapport trigonométrique étant connue. Par exemple, trouver les valeurs de sin 62°, tg 135°, cos (-10°) et sin 315°. Également, étant donné que sin a = 0,8572, trouver a lorsque 0° ≤ α ≤ 90°, et étant donné que tg b = 0,5095, trouver b lorsque 0° ≤ b ≤ 90°. 4. Avec une calculatrice, trouver les mesures des angles suivants : (a) (b) Y Y (1, 6) (7, 3) X 22 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan X Activités après le visionnement Distribuer les questions suivantes aux élèves. 1. Trouvez la valeur du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle de 108°. (Choisissez un point situé sur le côté terminal et calculez la valeur de r en ayant recours aux définitions.) Y 180o X 2. À l’aide de diagrammes semblables à celui ci-dessous, trouvez les valeurs des rapports trigonométriques de 270°, 360° et 0°. Complétez le tableau suivant : 0o 90o 180o 270o 360o sin cos tg 3. Les rapports sinus, cosinus et tangente ont des valeurs positives et négatives selon le quadrant dans lequel se trouve le côté terminal. Par exemple, dans le quadrant I, les valeurs de x, y et r sont toutes positives. Il s’ensuit dont que les valeurs des rapports trigonométriques sont également positives. Y sin A> 0 cos A> 0 r A 23 P(x, y) tg A> 0 X Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan À l’aide de diagrammes semblables montrant des angles dont le côté terminal se trouve dans les quadrants II, III et IV, trouver les signes des rapports trigonométriques. Y Y Y G B Q X X X On apprend généralement ces principes en les regroupant sous le nom de règle « CAST ». Voici le diagramme qui illustre cette règle : S A T C Que signifie les lettres C, S et T? (la lettre A signifie « All », c’est-à-dire « tout »). En appliquant la règle CAST, trouver les signes des rapports suivants : sin 140°, tg 275°, cos 30°, sin 200°. 24 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan 4. Exprimer la valeur des angles suivants sous la forme : (180° + q), (180° - q), ou (360° - q) lorsque 0° ≤ q ≤ 90°. 225°, 300°, 90°, 150°, 269°. 5. Déterminer la mesure de l’angle trigonométrique en tenant compte de sa position dans le plan. a) sin q = 0,5, quadrant II b) cos a = 0,7660, quadrant IV c) tg d) cos e) tg f)= sin W = -1,4281, quadrant IV K = -0,4540, quadrant II = 0,2679, quadrant III A = -0,9986, quadrant III 6. Sachant que 0º ≤ q ≤ 360º, déterminer les deux angles ayant les rapports trigonométriques suivants : a) sin q = 0,5736 b) tg q = c) cos q = d) sin q = 0 e) tg q = -1,1918 f) cos q = -1 g) sin q = - 2 5 h) cos q = -0,5736 7. En utilisant une méthode semblable à celle utilisée dans l’émission, démontrer les relations suivantes : a) sin (180° + q) = -sin q b) cos (180° + q) = -cos q 8. Avec une calculatrice, trouver les valeurs de sin 10° et de cos 80°. Refaire la même opération pour sin 31° et cos 59°. La relation entre les rapports sinus et cosinus est évidente. Servez-vous de cette relation pour découvrir quel rapport trigonométrique a la même valeur que sin 50°. Cette relation existe-t-elle dans le cas de la tangente et la cotangente? De la sécante et la cosécante? 25 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 3 : A ngle s ur un plan Émission 4 La loi du sinus Description de l’émission Cette émission commence par une révision des calculs auxquels doivent se livrer les astronautes afin de reprendre leur direction initiale. La possibilité d’avoir recours à des triangles obtusangles (c.-à-d. sans angle droit) est avancée. L’accent est mis sur le fait que les méthodes apprises dans les émissions précédentes pour résoudre des triangles ne s’appliquent qu’à ceux possédant un angle droit. Afin de travailler avec des triangles obtusangles, la loi du sinus est démontrée de la façon traditionnelle. Étant donné le triangle ABC, la convention d’identifier les côtés à l’aide de lettres minuscules est expliquée. Une perpendiculaire est abaissée à partir d’un sommet sur le côté opposé et deux formules exprimant sa longueur sont trouvées ainsi que les expressions auxquelles elles sont égales. La relation suivante entre la longueur des côtés et le sinus des angles opposés à ces côtés, est présentée. a b c = = sinA sin B sin C Ensuite, les astronautes doivent calculer la mesure d’un angle sur un plan cartésien. Ce problème est analysé et les calculs nécessaires sont effectués à l’aide du théorème de Pythagore. Les équivalences des éléments de la loi du sinus sont utilisées et nos deux apprentis astronautes trouvent la mesure de l’angle voulu. 26 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MCR3U Titre :Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. Contenu d’apprentissage Résoudre des problèmes en deux et en trois dimensions portant sur des triangles rectangles ou obliques à l’aide des rapports sinus, cosinus et tangente, de la loi des sinus et de la loi du cosinus, y compris le cas ambigu. MCF3M Titre :Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles. Contenu d’apprentissage Décrire sous quelles conditions employer la loi des sinus ou la loi du cosinus et résoudre les problèmes portant sur des triangles acutangles (par exemple, à partir des mesures des 3 côtés d’un triangle, utiliser la méthode la plus efficace pour trouver la valeur des angles manquants). MPM2D Titre :Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles à l’aide de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenus d’apprentissage • Comprendre le développement des lois des sinus et du cosinus pour un triangle acutangle; • Résoudre des triangles acutangles en choisissant la loi la plus appropriée (par exemple, les mesures des angles BAC et ABC du triangle ABC sont respectivement 35º et 65º. La mesure de AC est de 18 cm. Déterminer la mesure de BC. Vérifier le résultat obtenu à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique); • Résoudre des problèmes portant sur la mesure des longueurs des côtés et des angles d’un triangle acutangle. 27 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus Objectifs Après avoir visionné cette émission et effectué les activités et exercices proposés, les élèves doivent être capables de : • démontrer la loi du sinus dans un triangle acutangle. • reconnaître les cas dans lesquels la loi du sinus peut être appliquée pour trouver la solution. • résoudre des triangles à l’aide de la loi du sinus. • résoudre des problèmes dont la solution exige l’application de la loi du sinus. Activités avant le visionnement 1. Faire une revue de comment utiliser une calculatrice pour trouver la valeur des rapports trigonométriques. Ils doivent également être capables de se servir d’une calculatrice pour trouver la mesure d’un angle lorsque la valeur du rapport trigonométrique est connue. À titre d’exercice, répondre aux questions suivantes : a) Résoudre : sin x = 0,123 où 0º ≤ c ≤ 360º b) Dans le triangle suivant, trouver la valeur de a. A 7m 4m 2. Réviser les définitions des rapports trigonométriques des angles trigonométriques sur un plan cartésien. 28 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus 3. Montrer aux élèves comment résoudre des triangles rectangles et faire avec eux des exercices portant sur ces triangles. Voici quelques exemples ci-dessous : (a) Trouver DE. F 3 cm 45o D E (b) Résoudre le ∆ ABC. B 5 km A C 8 km (c) Étant donné le diagramme « tridimensionnel » ci-dessous, trouver la longueur de AD. A CAB = 41o DAC = 56o AB = 12 unités C B 29 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus Activités après le visionnement Demander aux élèves de répondre aux questions suivantes : 1. Démontrez la loi du sinus et prouvez qu’elle s’applique à n’importe quel triangle, comme par exemple le triangle XYZ ci-dessous. X Z Y 2. Formulez la loi du sinus sous forme d’énoncé. (Soit un triangle donné, le rapport…) 3. Appliquez la loi du sinus pour trouver la longueur des côtés indiqués des diagrammes suivants : A (a) Trouvez AB. b = 10 B 61o (b) Trouvez EF. 38o C D 58o 15,3 cm 47o E (c) Trouvez RS. (Suggestion : trouvez F RTS) R 20o T 30 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus S 4. Trouvez la mesure de tous les angles manquants des triangles suivants : (a) B 10 km 75o A C 12 km (b) F 16,3 m D 8m 95o E 5. À quel triangle ci-dessous peut-on appliquer la loi du sinus afin de trouver la longueur d’un côté ou la mesure d’un angle ? (a) (b) A D 5m B 7 cm 70o 50o C E (c) 65o F 13 cm (d) L G 9 mm H 10 mm 31 14,5 cm 6 mm K M Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus 35o N 6. Dans certains problèmes, en appliquant la loi du sinus, on se retrouve face à des « cas ambigus ». Lorsque deux côtés et un angle non formé par eux sont connus, deux triangles sont possibles. Par exemple, dans le cas du ∆ ABC où A = 37° , c = 40 unités et a = 28 unités, le point « C » peut être placé à deux endroits différents. B 40 A 28 37o C C Résolvez le ∆ XYZ en tenant compte des deux cas possibles. A 20 15 X 30o 15 Z 7. Résolvez les problèmes suivants. Pour chacun d’entre eux, tracez un diagramme représentatif comme faisant partie de la solution. a) Soit deux tours d’observation de prévention des incendies en forêt, E et F, séparées entre elles par 15 km. À quelle distance de F se trouve la troisième tour G si GEF = 41° et GFE = 58°? b) Soit un triangle isocèle RAG, dans lequel la base mesure 2,3 cm. L’angle du sommet R est égal à 50°. Trouver la longueur des côtés égaux du triangle. c) Un matelot aperçoit un phare sur le rivage. Il calcule que l’angle formé entre la ligne qui relie ce phare et son orientation est égal à 35°. Son bateau à voile poursuit sa route et parcourt 2 000 m. À ce point, le matelot trouve que la valeur du même angle est égale à 105°. À quelle distance du phare se trouve l’embarcation au moment de la deuxième mesure ? Phare 105o 35o 32 2 000 m Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 4 : La loi du s inus Émission 5 La loi du cosinus Description de l’émission Au début de cette émission, la loi du sinus est revenue. On donne un exemple dans lequel les mesures de deux angles et du côté qu’ils ont en commun sont connues. Un deuxième exemple, qui propose un triangle dont deux côtés et l’angle opposé à l’un de ces côtés sont connus, est également étudié. La possibilité de travailler avec des triangles dont on connaît les deux côtés et l’angle qu’ils ne forment ou dont on connaît trois côtés, est présentée. La loi du cosinus est démontrée selon les méthodes traditionnelles en abaissant une perpendiculaire, en utilisant le rapport cosinus de l’un des triangles rectangles et en appliquant le théorème de Pythagore pour un autre triangle. Après quelques calculs algébriques, on obtient la loi du cosinus. a² = b² + c² -2bc cos A Les astronautes se servent de cette nouvelle relation pour calculer la distance qu’ils doivent parcourir avant d’atteindre le centre de la galaxie. Ils décident de ne pas se servir de la loi du sinus puisque chaque équation comprend deux inconnues. Résultat de leurs calculs : 9,4 kg/s. Un exercice est ensuite effectué qui demande l’application de la loi du cosinus à un triangle dans lequel la longueur des trois côtés est connue. La résolution de l’équation permet de trouver le cosinus d’un angle, et la mesure de l’angle est déterminée, à l’aide d’une calculatrice. La loi du sinus donne la mesure des autres angles. 33 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MCR3U Titre :Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. Contenu d’apprentissage Résoudre des problèmes en deux et en trois dimensions portant sur des triangles rectangles ou obliques à l’aide des rapports sinus, cosinus et tangente, de la loi des sinus et de la loi du cosinus, y compris le cas ambigu. MCF3M Titre :Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles. Contenu d’apprentissage Décrire sous quelles conditions employer la loi des sinus ou la loi du cosinus et résoudre les problèmes portant sur des triangles acutangles (par exemple, à partir des mesures des 3 côtés d’un triangle, utiliser la méthode la plus efficace pour trouver la valeur des angles manquants). MPM2D Titre :Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles à l’aide de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenus d’apprentissage • Comprendre le développement des lois des sinus et du cosinus pour un triangle acutangle; • Résoudre des triangles acutangles en choisissant la loi la plus appropriée (par exemple, les mesures des angles BAC et ABC du triangle ABC sont respectivement 35º et 65º. La mesure de AC est de 18 cm. Déterminer la mesure de BC. Vérifier le résultat obtenu à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique). • Résoudre des problèmes portant sur la mesure des longueurs des côtés et des angles d’un triangle acutangle. 34 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus Objectifs Après avoir visionné cette émission, les élèves doivent être capables de : • démontrer la loi du cosinus dans un triangle acutangle. • résoudre des triangles en appliquant la loi du cosinus. Activités avant le visionnement 1. Réviser la loi du sinus et l’appliquer à l’aide d’exercices tels que : (a) Trouver la longeur de AB. A 12 cm 70o B 30o (b) Trouver la mesure de C EGF. E 28,3 m 13,9 m F 115o G (c) Résoudre le ∆ XYZ. X 11,6 mm Y 33o 92o Z 35 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus 2. La loi du sinus a été démontrée et appliquée à des triangles sans angle droit. Déterminer si la loi du sinus peut s’appliquer aux triangles rectangles en déterminant les éléments du triangle suivant : Trouver la longueur de RS avec : i) la loi du sinus. ii) le rapport sinus. R 17,3 km S 41o T 3. Pour préparer les élèves à appliquer la loi du cosinus, leur demander de résoudre les équations suivantes en trouvant les variables indiquées. (a) 4x - 3 = 27; trouver x. (b) 25 = 16 + 1 + cosA; trouver cosA. (c) 49 = 55 - 10 cosB; trouver cosB. (d) 16 = 4 + 9 - 12 cosD; trouver cosD. Activités après le visionnement 1. Faire la démonstration de la loi du cosinus et la développer à l’aide du diagramme suivant : E F G 36 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus 2. S’exercer à écrire la loi du cosinus en l’appliquant au triangle MNP. i) m² = … N ii) n² = … iii) p² = … P M 3. Dans les diagrammes suivants, appliquer la loi du cosinus pour trouver la longueur des côtés indiqués. (a) Trouver la longueur du côté A. A 85o 9m B C (b) Trouver la longueur du côté H. G 9,3 cm 41o H 12,1 cm K (c) Trouver la longueur du côté S. X 24,4 km 135o S 37 31,7 km Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus T 4. Trouver la mesure de A dans le ∆ ABC. (Écrire la formule de la loi du cosinus en commençant par a²; simplifier et déterminer le cosinus de A. À l’aide d’une calculatrice, trouver la valeur de A.) B 42 m A 38 31 m 47 m Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 5 : La loi du c os inus C Émission 6 Applications des lois du sinus et du cosinus Description de l’émission Les lois du cosinus et du sinus sont rapidement révisées ainsi que les cas auxquels elles s’appliquent (triangles dont divers éléments – angles et côtés – sont connus). La loi du sinus peut s’appliquer aux triangles dans lesquels seuls un angle et la longueur du côté opposé à cet angle sont connus. Un exemple de ce cas est fourni. Si nous ne connaissons pas la valeur des « éléments opposés », soit par exemple un triangle dont est seulement connue la longueur des trois côtés, nous devrons appliquer la loi du cosinus, Des exercices pratiques illustrant l’utilisation appropriée de la loi du cosinus sont présentés. Les astronautes approchent de ce qu’ils pensent être un trou noir et, en traçant un triangle et en appliquant la loi du cosinus, ils en calculent le diamètre. 39 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus Lien au programme-cadre de Mathématiques de l’Ontario MAP4C Titre :Méthodes de mathématiques, 12e année, cours précollégial Domaine : Applications de géométrie et de trigonométrie Attente • Résoudre, à l’aide des rapports trigonométriques, les lois des sinus et du cosinus, des problèmes (à deux dimensions seulement) portant sur les triangles obtus. Contenus d’apprentissage • Déterminer les mesures manquantes d’un triangle rectangle dans le cadre d’applications et résoudre des problèmes se rapportant aux mesures de triangles acutangles à l’aide des lois des sinus et du cosinus; • Déterminer, à l’aide des lois des sinus et du cosinus (en excluant les cas ambigus), les mesures manquantes de triangles obliques dans le cadre de diverses applications tirées de la vie quotidienne. MCT4C Titre :Mathématiques de la technologie au collège, 12e année, cours précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Déterminer les rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente d’angles inférieurs à 360° et résoudre des problèmes tirés d’applications de la vie courante à l’aide de rapports trigonométriques et de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenu d’apprentissage Résoudre des problèmes tirés d’applications de la vie courante et portant sur des triangles obliques à l’aide de la loi des sinus et de la loi du cosinus, y compris le cas ambigu. MCR3U Titre :Fonctions, 11e année, cours préuniversitaire Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Démontrer une habileté à utiliser les rapports trigonométriques dans diverses situations. Contenu d’apprentissage Résoudre des problèmes en deux et en trois dimensions portant sur des triangles rectangles ou obliques à l’aide des rapports sinus, cosinus et tangente, de la loi des sinus et de la loi du cosinus, y compris le cas ambigu. 40 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus MCF3M Titre :Modèles de fonctions, 11e année, cours préuniversitaire/précollégial Domaine : Fonctions trigonométriques Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles. Contenus d’apprentissage • Décrire sous quelles conditions employer la loi des sinus ou la loi du cosinus et résoudre les problèmes portant sur des triangles acutangles (par exemple, à partir des mesures des 3 côtés d’un triangle, utiliser la méthode la plus efficace pour trouver la valeur des angles manquants); • Poser et résoudre des problèmes se rapportant aux mesures de triangles acutangles dans le plan et dans l’espace (par exemple, hauteur d’un objet inaccessible, application avec au moins 2 triangles, distance entre 2 bateaux naviguant vers des caps différents au bout d’un certain temps). MPM2D Titre :Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles à l’aide de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenus d’apprentissage • Comprendre le développement des lois des sinus et du cosinus pour un triangle acutangle; • Résoudre des triangles acutangles en choisissant la loi la plus appropriée (par exemple, les mesures des angles BAC et ABC du triangle ABC sont respectivement 35º et 65º. La mesure de AC est de 18 cm. Déterminer la mesure de BC. Vérifier le résultat obtenu à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique). • Résoudre des problèmes portant sur la mesure des longueurs des côtés et des angles d’un triangle acutangle. 41 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus MBF3C Titre :Modèles de fonctions, 11e année, cours précollégial Domaine : Applications de mesure et de trigonométrie Attente Résoudre des problèmes associés aux triangles acutangles à l’aide de la trigonométrie Contenus d’apprentissage • Utiliser la loi des sinus pour résoudre des problèmes de triangles acutangles dans divers contextes; • Utiliser la loi du cosinus pour résoudre des problèmes de triangles acutangles dans divers contextes; • Reconnaître les données d’un triangle qui permettent l’utilisation de la loi des sinus ou celle du cosinus. MPM2D Titre :Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique Domaine : Trigonométrie Attente Résoudre des problèmes portant sur des triangles acutangles à l’aide de la loi des sinus et de la loi du cosinus. Contenus d’apprentissage • Résoudre des triangles acutangles en choisissant la loi la plus appropriée (par exemple, les mesures des angles BAC et ABC du triangle ABC sont respectivement 35º et 65º. La mesure de AC est de 18 cm. Déterminer la mesure de BC. Vérifier le résultat obtenu à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique); • Résoudre des problèmes portant sur la mesure des longueurs des côtés et des angles d’un triangle acutangle. 42 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus Objectifs Après avoir visionné cette émission et effectué les exercices proposés, les élèves doivent être capables de : • déterminer, en se basant sur les mesures données, laquelle des deux lois à appliquer pour résoudre des triangles; • appliquer les lois du sinus et du cosinus. • résoudre des problèmes dans lesquels un triangle peut être construit à partir des mesures données. Pour ce faire, les élèves doivent utiliser leurs connaissances du théorème de Pythagore, des rapports trigonométriques appliqués aux triangles rectangles de la somme des angles dans un triangle et des lois du sinus et du cosinus. Activités avant le visionnement 1. Les élèves doivent s’exercer à écrire les énoncés des lois du sinus et du cosinus s’appliquant à divers types de triangles. (a) Énoncer la loi du sinus s’appliquant au triangle DFM. D M F (b) Énoncer la loi du cosinus qui commence par d² = … (c) Énoncer la loi du cosinus qui contient l’angle 43 M. Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus 2. Appliquer la loi du sinus pour calculer la mesure de N dans le ∆ NRW. R 26o 17,4 m N 15 m W 3. Appliquer la loi du cosinus pour trouver la longueur du côté BC dans le ∆ BCD au dixième près. C B 9 cm 14 cm 84o D Activités après le visionnement Demander aux élèves de répondre aux questions suivantes : 1. Déterminez quelle loi appliquer à un problème portant sur un triangle. Par exemple, en utilisant le critère « éléments opposés », déterminez s’il faut faire appel à la loi du sinus ou du cosinus pour résoudre les problèmes suivants : (a) Trouvez A. B 12,3 m A 44 17,7 m 38o C Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus (b) Trouvez le côté f. D E 14,2 cm 21,1 cm 80o F (c) Trouvez G. 53 km G 38 km H 95o K 2. Calculez les mesures demandées à la question 1. 3. Résolvez les problèmes suivants : ne pas oublier d’interpréter les valeurs données et de tracer un diagramme qui en soit représentatif. Appliquez ensuite vos connaissances sur la résolution de triangles. (a) Soit un triangle isocèle ABC avec une base AB mesurant 10 cm. Si l’angle du sommet C est égal à 52°, trouvez les longueurs des côtés égaux du triangle. (b) Une personne, debout sur un quai, regarde deux bateaux à voile qui sillonnent le lac. Les deux lignes tracées entre son point d’observation et les bateaux forment un angle de 31°. Si elle se trouve respectivement à 150 m et 250 m des bateaux, quelle est la distance qui sépare ces deux embarcations? 31o 45 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus (c) Deux trains quittent la même gare en même temps. Le train A se dirige vers le nord à une vitesse de 120 km/h tandis que le train B prend la direction sud 60° ouest en roulant à 100 km/h. Après une heure, quelle est la distance lorsque le train B a parcouru 250 km? N E O 60o S (d) Deux avions volent à la même altitude. À un moment donné, l’avion de la ligne aérienne se trouve à 110 km de la tour de contrôle d’un aéroport, direction nord 31° est. Le deuxième appareil, un avion à réaction, est à 40 km de la tour direction nord 4° ouest. Quelle distance sépare les deux appareils à ce moment précis. (e) Sur un parcours de golf, la largeur du vert au huitième trou est égale à 34,3 m. Les distances entre la balle de golf et les extrémités gauche et droite du vert sont de 182 m et de 170 m respectivement. À quel angle le golfeur doit-il frapper la balle pour que cette dernière atterrisse sur le vert ? ? 46 Fonctions trigonométriques, série 1 É m i s s i o n 6 : A pplic at ions des lois du s inus et du c os inus
