Chp 4 mouvements celestes - Enseignement des Sciences

Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
chapitre 4_Les mouvements céleste
THEME
COMPRENDRE
Sous -thème
Temps, mouvement et évolution
Chapitre 4 : LES MOUVEMENTS CELESTES
NOTIONS ET CONTENUS
Mouvement d’un satellite.
Révolution de la Terre autour du Soleil.
Lois de Kepler
COMPETENCES ATTENDUES
- Démontrer que, dans l’approximation des
trajectoires circulaires, le mouvement d’un
satellite, d’une planète, est uniforme. Etablir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
- Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la
troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
SOMMAIRE
I.
Les lois de Kepler.
1. Première loi : loi des orbites.
2. Deuxième loi : loi des aires.
3. Troisième loi : loi des périodes.
II.
1.
2.
3.
4.
Applications aux mouvements célestres.
Rappel sur la loi de gravitation universelle.
Le repère de Frenet.
Révolution d’une planète autour du Soleil.
Application aux satellites géostationnaire.
ACTIVITE
Activité documentaire :
Evolution des idées en astronomie
Repère de Frenet
EXERCICES
11 ; 20 p 215-219 + 15 ; 25 p 217-220
MOTS CLES
Force d’attraction gravitationnelle, lois de Kepler, mouvement uniforme et circulaire, repère de Frenet,
période de révolution, satellite géostationnaire.
M.Meyniel
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Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
chapitre 4_Les mouvements céleste
LES MOUVEMENTS CELESTES
Dans le cours précédent, nous avons vu que l’application des trois lois de la mécanique de Newton nous
permettait de connaître la trajectoire d’un objet dans un champ de pesanteur comme dans un champ électrique ainsi
que son évolution dans le temps.
Il convient, maintenant, de voir ce qu’il se passe au-delà de la surface terrestre.
Les lois de Newton s’appliquent-elles toujours en s’éloignant du centre de la Terre ?
En effet, ces connaissances sont essentielles en astronomie et pour la recherche spatiale.
Prenons l’exemple du voyage sur Mars. Le 06 août 2 012, au terme d’un voyage de plus de huit mois (la sonde spatiale
ayant été lancée le 26 novembre 2011) et après avoir parcouru 567 millions de kilomètres, le robot Curiosity s’est posé
sur le sol Martien dans le cratère Gale. Compte tenu du budget, il a fallu calculer avec une grande précision la position
de Mars, sa vitesse, sa période de révolution entre autres paramètres (composition atmosphérique, pression,
température, …) pour mener à bien ce projet.
http://www.nasa.gov/multimedia/videogallery/index.html?media_id=150378151
Nous allons donc nous intéresser, ici, aux mouvements célestes en considérant notamment ceux des satellites
autour de la Terre et des planètes autour du Soleil. Et pour cela, nous allons nous appuyer sur trois nouvelles lois
établies pour l’astronomie.
Document 1 :
Evolution des idées en astronomie
* Ptolémée (grec, IIème s. av J.C) pense que la Terre est le centre du monde (système géocentrique).
* Nicolas Copernic (polonais, 1473-1543) pense que le soleil est le centre du monde (système héliocentrique).
* Johannes Kepler (allemand, 1571-1630) exploite les mesures de son maître danois Tycho Brahé et énonce 3
lois qui régissent le mouvement des planètes : les trois lois de Kepler -1606-.
* Galilée (italien, 1564-1642) défend le système héliocentrique dans son «dialogue sur les deux principaux
systèmes du monde» -1632-.
* Isaac Newton (anglais, 1642-1727) énonce la loi de la gravitation universelle -1687- qui explique aussi bien le
mouvement des astres que la chute des corps.
M.Meyniel
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Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
I.
chapitre 4_Les mouvements céleste
Les lois de Kepler.
On se place donc dans un référentiel héliocentrique.
(L’origine est au centre du Soleil et les axes dirigés vers des étoiles lointaines considérés fixes.)
1. Première loi : loi des orbites.
Le centre d’une planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe l’un des foyers.
Rq :
* Le cercle est un cas particulier d’ellipse dont les foyers sont confondus en son centre et a = rayon.
(Une ellipse est l’ensemble des points P tels que : PF + PS = 2a)
P
A2
A1
2. Deuxième loi : loi des aires.
S
Le segment reliant le centre du soleil S au centre de la planète P balaye
des aires Ai égales pendant des durées ∆t égales.
Rq :
F
2a
* La vitesse d’une planète n’est donc pas constante. Elle augmente en s’approchant du Soleil.
* Seule une trajectoire circulaire permet d’obtenir une vitesse constante.
3. Troisième loi : loi des périodes.
Le rapport entre le carré de la période de révolution T (temps mis par une planète pour faire le tour
de son orbite) d’une planète et le cube du demi-grand axe a de l’orbite d’une planète est constant :
Rq :
* La constante K ne dépend pas de la planète considérée.
* Si la trajectoire est circulaire, alors « a = r »
NB :
=>
𝑻𝟐
𝒓𝟑
𝑻𝟐
= 𝑲𝑺
𝒂𝟑
Elle ne dépend que du Soleil …
= 𝑲𝑺
Les trois lois de Kepler sont aussi valables pour le mouvement d’un satellite naturel ou
artificiel autour d’une planète. Cette dernière joue alors le rôle du soleil.
M.Meyniel
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II.
chapitre 4_Les mouvements céleste
Applications aux mouvements célestres.
Document 2 :
Rappel sur la loi de gravitation universelle
Deux corps ponctuels A et B, de masses mA et mB,
séparés d’une distance d = AB, exercent l’un sur l’autre des
forces attractives ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑨/𝑩 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑩/𝑨 telles que :
kg
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑨/𝑩 = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑩/𝑨 = −𝑮.
𝒎𝑨 . 𝒎𝑩
. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒖𝑨𝑩
𝒅²
N
m
avec la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10
Rq :
* Cette loi est universelle ! Elle s’applique aux corps
ponctuels et aux corps non ponctuels si la répartition de leur
masse est à symétrie sphérique et si leur dimension est négligeable
devant la distance d = AB (ce qui est le cas de tous les astres).
Rappel :
N.m².kg-2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑩/𝑨
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑨/𝑩
A
𝑢𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Au voisinage de la Terre pour un corps de masse m, la force d’attraction gravitationnelle ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑮
correspond au poids du système :
Document 3 :
-11
FG = P
Le repère de Frenet
=>
FG = 𝐺 ×
=>
g=𝐺×
𝑚 × 𝑀𝑇
𝑑²
= P = m.g
𝑀𝑇
𝑑²
(Jean Frédéric, 1816-1900)
Pour étudier un mouvement circulaire (ou curviligne), il existe un repère permettant d’obtenir des
équations plus simple. Il s’agit d’un repère mobile lié au point G, appelé repère de Frenet ( P , 𝑡, 𝑛⃗ ) :
- 𝒕 : vecteur unitaire Tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement,
⃗⃗ : vecteur unitaire Normal à la trajectoire à 𝒕.
-𝒏
- le vecteur-accélération :
M.Meyniel
P
𝑛⃗
Dans ce repère, ont pour expression :
- le vecteur-vitesse :
𝑡
R
𝑣 = 𝑣. 𝑡
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
.𝑡 +
𝑣2
𝑅
O
. 𝑛⃗
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chapitre 4_Les mouvements céleste
1. Révolution d’une planète autour du Soleil.
 Système :
{planète de masse m} dans le repère de Frenet
 Bilan des forces :
- force d’attraction gravitationnelle :
A représenter sur schéma
𝐦.𝐌𝐒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝐅
𝐒/𝐏 = +𝐆. 𝐑² . 𝐧
(cas d’une chute libre)
On néglige l’influence de tous les autres astres car trop éloignés ou de masse très inférieure à celle du Soleil.
 P.F.D :
Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚. ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝐺 = F
S/P
=>
S ⃗⃗
= +G. m.M
.𝑛
R²
=>
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮
𝑎𝐺 = + G.
⃗⃗⃗⃗
MS
⃗⃗
.n
R²
2
= 𝑑𝑣
. ⃗𝑡 + 𝑣𝑅 . ⃗𝑛⃗
𝑑𝑡
⃗ est donc radial et centripète car il s’exprime selon le vecteur 𝑛⃗.
 Le vecteur-accélération 𝒂
 Projection :
𝑎{
𝑎𝑡 =
𝑎𝑛 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣²
𝑅
=0
= G.
MS
R²
𝑑𝑣
 Le mouvement circulaire d’une planète autour du Soleil est uniforme car « 𝑑𝑡 = 0 ».
 La vitesse a pour expression :
Rq :
𝑣² = G.
MS
R
=>
𝒗 = √𝐆.
𝐌𝐒
𝐑
* Cette vitesse dépend de la masse du Soleil mais pas celle de la planète.
* Le vecteur-accélération est radial (porté par le rayon) et centripète (dirigé vers O).
⃗ orthogonal 𝒗
⃗ soit « 𝒂
⃗ .𝒗
⃗ = 0 » => Le mouvement est donc uniforme.
* On note que, sur le schéma, 𝒂
(Cf chp 2)
Exploitation :
Détermination de la période de révolution
Il s’agit de la durée d’une rotation autour du Soleil.
Pour une rotation :
𝒅
𝒗 = ∆𝒕
=>
Rq :
avec
𝑇=
2.𝜋.𝑅
𝑉
=
2.𝜋.𝑅
√𝐺.𝑀𝑆⁄
𝑅
d : le périmètre de l’orbite = 2.π.r
∆t : la période de révolution = T
𝑅3
= 2. 𝜋. √𝐺.𝑀
𝑆
* La période de révolution ne dépend pas non plus de la masse de la planète.
* Cette révolution se fait dans le plan de l’écliptique qui contient le centre du Soleil.
* En élevant au carré, on retrouve la 3ème loi de Kepler :
𝑇² = 4. 𝜋².
𝑅3
𝐺.𝑀𝑆
=>
𝑇²
𝑅3
=
(2.𝜋)²
𝐺.𝑀𝑆
= 𝐾𝑆
* Si l’on connaît T et R pour une planète, on peut en déduire la masse du Soleil …
M.Meyniel
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Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
chapitre 4_Les mouvements céleste
2. Application aux satellites géostationnaire.
 Système :
(satellites de télécommunications, météo)
{satellite de masse m} dans le référentiel géocentrique
On retrouve les mêmes résultats :
- en remplaçant la masse du Soleil par la masse de la Terre MT ;
- R = RT + h avec h l’altitude du satellite ;
- on détermine la période de révolution T du satellite autour de la Terre ;
- on peut en déduire la vitesse v du satellite : 𝒗 = √𝐆.
NB :
𝐌𝐓
𝐑
.
Un satellite géostationnaire est :
- fixe par rapport à un référentiel terrestre.
- mobile par rapport au référentiel géocentrique : son orbite est située
dans le plan de l’équateur ; il tourne dans le même sens que la Terre.
Détermination de la période de révolution, de l’altitude, …
Exploitation :
(1)
La période de révolution T du satellite autour de la Terre est égale à la période de rotation propre de la
Terre puisque le satellite est géostationnaire :
T = 1 jour sidéral = 86 164 s
(= durée de rotation de la Terre sur elle-même autour de l’axe de ses pôles.)
(2)
On peut alors déterminer l’altitude h d’un satellite géostationnaire :
𝑻²
𝑹𝟑
(3)
=
(𝟐.𝝅)²
𝑮.𝑴𝑻
3
𝐺.𝑀
𝐺.𝑀
𝑇
𝑅 3 = (2.𝜋)²
. 𝑇²
=>
3
=>
6,67.10−11 × 6,0.1024
. (86 164)²
(2.𝜋)2
=>
𝑇
𝑅 = √(2.𝜋)²
. 𝑇² = √
=>
h = R – RT = 4,2.107 – 6 400.103 = 36.103 km
Vitesse du satellite dans le référentiel géocentrique :
3
𝐺.𝑀
𝑇
𝑅 = (𝑅𝑇 + ℎ) = √(2.𝜋)²
. 𝑇²
= 4,2.107 𝑚
𝑣 = √G.
MT
R
= √6,67.10−11 .
6,0.1024
4,2.107
= 3,1.103 m/s
Un objet qui flotte dans une station spatiale est dans un état d’impesanteur, ce qui ne signifie pas absence de gravité (≠ apesanteur) car
l’objet est tjs soumis à l’attraction terrestre (ΣFext = P ≠ 0) mais une absence apparente de pesanteur car l’objet « chute » par rapport à la Terre de
la même façon que l’engin spatial. En toute rigueur, l’impesanteur n’existe qu’au centre d’inertie du satellite et on emploie alors le terme de
« microgravité » (ou µpesanteur) 10-6 ou -8.g
On ne peut appliquer la 2ème loi de Newton car la somme des forces n’est pas nulle et l’objet demeure au repos dans un référentiel associé
à la station. Ce dernier n’est donc pas galiléen !
Conclusion :
Les lois de Kepler régissent certaines caractéristiques du mouvement des astres et les prédisent
mais les lois de Newton semblent généralisables à tous les mouvements dans l’Univers comme le met en exergue le
passage de la comète de Halley au voisinage de la Terre en mars 1759. Elles apparaissent bien universelles.
En appliquant ces lois, toujours valables donc, il nous est alors possible de mesurer le temps en observant l’évolution
temporelle des objets puisque le temps semble absolu. C’est ce à quoi nous allons nous afférer dans les prochains cours
en considérant la seconde grandeur conservative issues des lois de Newton : l’énergie.
Compétences
- Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est
uniforme. Etablir l’expression de sa vitesse et de sa période.
- Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
M.Meyniel
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