Mouvement des planètes et des satellites I) Loi de la gravitation universelle 1) Enoncé Tous les corps massiques s'attirent mutuellement. Cette interaction gravitationnelle, due à la masse, est universelle : elle s'applique à tous les objets de l'Univers. Deux objets A et B, de masses respectives mA et mB, et dont les centres sont séparés d'une distance d, exercent l'un sur l'autre des actions mécaniques attractives modélisées par des forces, appelées forces d'attraction gravitationnelle, de même intensité. L'expression vectorielle de ces forces est donné par: Dans cette expression: est le vecteur unitaire porté par la droite (AB), orienté de B vers A. G est la constante de gravityation universelle: G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2. FA/B et FB/A s'expriment en newton (N), mA et mB en kilogramme (kg) et d en mètre (m). Application: calculer l'intensité de la force d'attraction gravitationnelle qui modélise l'action mécanique de la Terre (de masse MT = 5,98.1024 kg) sur la Lune (de masse ML = 7,35.1022 kg), distantes de d = 3,84.105 km. 2) Vecteur accélération et mouvement Dans le référentiel héliocentrique et dans le cadre de l'approximation des trajectoires circulaires, une planète de centre P de masse m tourne autour du Soleil de centre S, de masse M, selon une orbite circulaire de rayon r. on considèrera qu'elle n'est soumise qu'à l'action mécanique exercée par le Soleil, qui se modélise par la force gravitationnelle (on néglige l'influence des autres astres, soit très éloignés, soit de masse très inférieure à celle du Soleil). D'après la deuxième loi de Newton, on peut écrire: Soit Le vecteur accélération de la planète de centre P est dirigé vers le centre S du Soleil. Plus généralement, une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé vers le centre de sa trajectoire circulaire. Comme , son mouvement est circulaire uniforme. Pour un mouvement circulaire uniforme, les valeurs de l'accélération et de la vitesse d'une planète ou d'un satellite sont reliées par l'égalité: 3) Vitesse d'une planète ou d'un satellite D'après ce qui précède, le mouvement étant circulaire uniforme, on a: et par conséquent La vitesse d'une planète ou d'un satellite sur une orbite circulaire autour d'un astre attracteur ne dépend que de la masse M (en kg) de l'astre attracteur et du rayon r de l'orbite circulaire (en m). Dans le cas d'un satellite terrestre, le référentiel est géocentrique et on note : r = RT + h, où RT désigne le rayon de la Terre (RT = 6,37.106 m) et h l'altitude du satellite en mètre (m). Application: Les satellites géostationnaires sont des satellites en orbite circulaire à une altitude h = 3,58.104 km de la Terre (de masse MT = 5,98.1024 kg). Ils possèdent la particularité d'être toujours positionnés au-dessus du même point de la surface de la Terre. La vitesse de tels satellites est : Les satellites de télécommunication sont des satellites géostationnaires 4) Période de révolution La période de révolution T d'une planète ou d'un satellite est la durée qu'il lui faut pour accomplir un tour complet sur son orbite. Si l'orbite décrite par une planète ou un satellite est un cercle de rayon r, la distance parcourue pendant la durée T est la circonférence du cercle soit 2R. On en déduit donc que: Alors . On peut ainsi déterminer la période de révolution de toutes les planètes du système solaire connaissant leur distance au Soleil (tableau ci-contre). Période (jours) 88 225 365 687 4 333 10 759 30 685 60189 19; 20 p 125 II) Lois de Kepler Au XVII° siècle, Johannes Kepler (1571-1630) constate que les planètes tournent autour du Soleil selon des trajectoires qui ne sont pas parfaitement circulaires et énonce trois lois pour décrire leur mouvement. Première loi de Kepler: dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une planète est une ellipse et le centre du Soleil occupe un des deux foyers. On dit que l'orbite est elliptique. Deuxième loi de Kepler : le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales. La vitesse d'une planète n'est donc pas constante: elle augmente lorsque la planète se rapproche du Soleil et diminue lorsqu'elle s'en éloigne. Troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période de révolution de la planète par le cube du demi grand axe de son orbite est constant: Le centre d'une planète P décrit une ellipse de foyers F et F' (à chaque instant, PF + PF' = 2a) . La constante ne dépend que de l'astre attracteur et vaut . Déduire de cette troisième loi de Kepler l'expression de la période d'un satellite. Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune 11; 12 p 123 26; 28 p 127 Si les durées t et t' sont égales, les aires balayées par la planète A1 et A2 sont égales.