Institut Galilée Université Paris 13 Licence de Mathématiques semestre 5 Structures algébriques Feuille d’exercices n◦5 Exercice 1. Prouver que tout groupe d’ordre 35 est cyclique. Exercice 2. Prouver qu’un groupe d’ordre 42 n’est pas simple. Exercice 3. Prouver qu’un groupe d’ordre 300 n’est pas simple (regarder les 5-Sylow). Exercice 4. (1) Soient G un groupe simple d’ordre pk m avec p premier, k ∈ N>0 et p ∤ m. Montrer que pk | (m − 1)! (2) Montrer que si k ≥ 4, il n’existe pas de groupe simple d’ordre 2k .5. Exercice 5. Soient p et q deux nombres premiers tels que p < q, que q ne divise pas p2 − 1 et p ne divise pas q − 1. Soit G un groupe d’ordre p2 q. Montrer que G est abélien. Application : montrer qu’un groupe d’ordre 99 est abélien. Classifier à isomorphisme près les groupes d’ordre 99. Exercice 6. Soient p et q deux nombres premiers. Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre p2 q. Exercice 7. Soit G un groupe d’ordre pqr où p > q > r sont premiers. On note np (resp. nq , resp. nr ) le nombre de p-Sylow (resp. de q-Sylow, resp. de r-Sylow) de G. (1) En considérant les éléments d’ordre p, q puis r, montrer que (∗) pqr ≥ (p − 1)np + (q − 1)nq + (r − 1)nr + 1 (2) Supposons que np 6= 1, nq 6= 1 et nr 6= 1. Montrer que np = qr, nq ≥ p et nr ≥ q. En déduire une contradiction avec (∗), puis que G n’est pas simple. Exercice 8. Pour p un nombre premier, déterminer le nombre de p-Sylow du groupe symétrique Sp . Exercice 9. Soient G un groupe fini, H un sous-groupe distingué de G, p un nombre premier p et S un p-Sylow de H. (1) Supposons S unique, montrer qu’il est distingué dans G. (2) Plus généralement, montrer que H NG (S) = G. Exercice 10. Soient G un groupe fini, p un nombre premier, S un p-Sylow de G et H un sous-groupe de G contenant NG (S). Montrer que NG (H) = H. En particulier, NG (NG (S)) = NG (S) (utiliser l’exercice précédent). Exercice 11. Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. On se donne un nombre premier p et S un p-Sylow de G. Montrer que H ∩ S est un p-Sylow de H et que HS/H est un p-Sylow de G/H. Réciproquement, si Σ est un p-Sylow de G/H, montrer qu’il existe un p-Sylow S de G tel que Σ = HS/H. 1 2 Exercice 12. (1) Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soient p un nombre premier et S un p-Sylow de G. Montrer qu’il existe g ∈ G tel que gSg −1 ∩H soit un p-Sylow de H (indication : faire agir H par translations à gauche sur l’ensemble G/S). (2) Soient p un nombre premier et n ∈ N>0 . Calculer # GLn (Z /p Z). Quel est l’ordre d’un p-Sylow de GLn (Z /p Z) ? En décrire un explicitement. (3) En déduire une nouvelle preuve des théorèmes de Sylow. Exercice 13. Soit G un groupe simple d’ordre 60. (1) Combien G a-t’il de 5-Sylow ? En déduire le nombre d’éléments d’ordre 5 dans G. (2) Montrer que G a 20 éléments d’ordre 3. (3) Montrer que G n’a pas de sous-groupe d’ordre 15. Exercice 14. (1) Soient n ≥ 5 un entier et H un sous-groupe de An tel que [An : H] = n. On fait agir An sur An /H par translation à gauche. Quel est le stablilisateur de H ? Montrer que cette action fournit un isomorphisme ϕ : An → An . En déduire que H est isomorphe à An−1 . (2) Soit G un groupe simple d’ordre 60. En faisant agir G sur l’ensemble de ses 5-Sylow, montrer que G ≃ A5 . Exercice 15. Montrer GL2 (Z /2 Z) ≃ S3 , PGL2 (Z /3 Z) ≃ S4 . Exercice 16. Soient G = N ⋊ H et K un sous-groupe de G contenant N. Montrer que l’on a K = N ⋊ (K ∩ H). Exercice 17. Soit n un entier. Montrer que Sn ≃ An ⋊ε {±1}, et que le produit n’est pas direct. Exercice 18. (1) Montrer que Aut(Z /n Z) ≃ (Z /n Z)× . (2) Montrer que si p est premier (Z /p Z)× est cyclique. (3) Plus généralement, montrer que si α ∈ N>0 et p > 2 est premier, alors (Z /pα Z)× ≃ Z /pα−1 (p − 1) Z est cyclique. Exercice 19. Soient p < q deux nombres premiers. Soit G un groupe de cardinal pq. Montrer que G a un seul q-Sylow et que G est isomorphe à un produit semi-direct (Z /q Z)⋊ (Z /p Z). En déduire que si p ne divise pas q −1, tout groupe de cardinal pq est commutatif et que si p divise q − 1, il y a deux groupes de cardinal pq non-isomorphes. Exercice 20. Soient p un nombre premier impair et G le sous-groupe de SL2 (Z /p Z) formé des matrices triangulaires supérieures : a b × G= , (a, b) ∈ (Z /p Z) × (Z /p Z) 0 a−1 Écrire G sous forme d’un produit semi-direct. a 0 b Exercice 21. Soit G l’ensemble des éléments de GL3 (R) de la forme 0 a c . 0 0 d 3 (1) Vérifier que G est un sous-groupe de GL3 (R). (2) Écrire G sous la forme d’un produit semi-direct. Est-ce un produit direct ? Exercice 22. Soit p premier impair. (1) Montrer qu’il y a trois groupes abéliens non-isomorphes de cardinal p3 . Soit G non abélien de cardinal p3 . (2) Montrer que son centre Z a p éléments et que G/Z ≃ (Z /p Z) × (Z /p Z). Soient alors x et y dans G dont les images dans G/Z soient (1, 0) et (0, 1). (3) Montrer que z = xyx−1 y −1 est un générateur de Z. (4) Montrer que si xp 6= 1 dans G, il existe k ∈ {0, . . . , p − 1} tel que yxk soit d’ordre p. En déduire que l’on peut supposer xp = 1, quitte à choisir un autre isomorphisme entre G/Z et (Z /p Z) × (Z /p Z). (5) Montrer que si y p = 1, le groupe G est isomorphe au sous-groupe de GL3 (Z /p Z) formé des matrices 1 a b 0 1 c a, b, c ∈ Z /p Z . 0 0 1 et le décrire comme un produit semi-direct. (6) Montrer que si y p 6= 1, le sous-groupe hyi est distingué dans G et que G ≃ hyi ⋊hxi. Montrer qu’à isomorphisme près il y a un seul sous-groupe (non abélien) de ce type. (7) En déduire la liste des groupes de cardinal p3 : trois abéliens et deux non-abéliens.