Alg`ebre 05 – Groupes finis. Exemples et applications.

Algèbre 05
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Groupes finis. Exemples et applications.
Soit G d’élément neutre e et d’ordre |G| = N .
Corollaire. Si G est cyclique alors
Aut(G) = {x 7→ xk ; 0 ≤ k ≤ N − 1, k ∧ N = 1}
1. Généralités
est de cardinal ϕ(N ).
Ces deux résultats sont la motivation de ce qui suivra : Proposition. Si G = hai alors
Théorème de Lagrange. L’ordre d’un sous-groupe de – tout sous-groupe de G est cyclique,
G divise N .
– si d divise N alors il existe un unique sous-groupe Hd
de G d’ordre d.
Théorème de Cayley. G est isomorphe à un sousDe
plus, on a Hd = {x ∈ G; xd = e} = han/d i.
groupe de SN .
P
Application. ∀n ≥ 1, n =
ϕ(d).
On suppose que G agit sur un ensemble fini X.
d|n
Équation aux classes. Si T désigne P
une transversale
pour l’action de G sur X alors |X| =
[G : Stab(x)].
∗
Application. (Z/pZ) ' Aut(Z/pZ) ' Z/(p − 1)Z.
Proposition. Le produit G = G1 ×· · ·×Gk est cyclique
si et seulement si G1 , . . . , Gk sont cycliques d’ordres preFormule de Burnside-Frobenius.
P Le nombre d’or1
miers entre eux deux à deux.
|Fix(g)|.
bites de l’action de G sur X est N
x∈T
g∈G
Application. Si m ∧ n = 1 alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Application. Si p est premier et divise N alors G ad2.2. Décompositions en produits de p-groupes ou
met un élément d’ordre p.
de groupes cycliques.
Application. Si H est un sous-groupe de G dont l’in2
dice est le plus petit diviseur premier de N alors H est Proposition. Si G 6= {e} est tel que x = e pour tout
N/2
.
x ∈ G alors G ' (Z/2Z)
distingué dans G.
Application. Si N = pα alors |Z(G)| ≥ p et G admet
un sous-groupe de tout ordre divisant N .
De plus, si α = 2 alors G est abélien.
Définition. On dit que G est un p-groupe si tout x ∈ G
est d’ordre une puissance de p.
Exemples. Z/8Z et (Z/3Z)N sont des p-groupes.
α
Théorèmes de Sylow. Si N = p m avec p premier
Proposition. Il existe des sous-groupes G1 , . . . , Gk de
ne divisant pas m alors
G, avec Gi pi -groupe, tels que G ' G1 × · · · × Gk .
(i) G admet un p-Sylow i.e. un s.-g. d’ordre pα ,
Proposition. Pour tout 1 ≤ i ≤ k, il existe des entiers
(ii) tous les p-Sylow sont conjugués,
αi,1 ≤ · · · ≤ αi,ni tels que
(iii) le nombre np de p-Sylow divise m et est congru
αk,n
α
α
G ' Z/p1 1,1 Z × · · · × Z/p1 1,n1 Z × · · · × Z/pk k Z.
à 1 modulo p.
La famille (αi,j ) est unique et est appelée le type de G.
Remarque. Si H est un p-Sylow de G alors H G si
ni
P
et seulement si H est l’unique p-Sylow de G.
Remarque. Puisque
α = α , les groupes abéliens
i,j
Application. Classification des groupes d’ordre pq.
2. Groupes abéliens finis
i
j=1
d’ordre N correspondent aux partitions des entiers αi .
Application. Pour tout diviseur d de N , il existe un
sous-groupe de G d’ordre d.
On suppose dans cette section que G est abélien non Proposition. Si G alors il existe une unique suite
αk
1
trivial et on note N = pα
H1 , . . . , Hk de sous-groupe cycliques de G telle que |Hi |
1 · · · pk .
divise |Hi+1 | et G ' H1 × · · · × Hk .
2.1. Groupes cycliques.
Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.
Exemples. Z/8Z × Z/12Z × Z/45Z ' Z/360Z × Z/12Z
Exemples. Z/nZ et Un = {z ∈ C; z n = 1} sont des Z/aZ × Z/bZ ' Z/(a ∨ b)Z × Z/(a ∧ b)Z
groupes cycliques d’ordre n.
Corollaire. G a un élément d’ordre le ppcm des ordres
Remarque. Un groupe cyclique d’ordre n est iso- des éléments de G.
morphe à Z/nZ ; en particulier, deux groupes cycliques Application. Tout sous-groupe fini du groupe multisont isomorphes si et seulement s’ils sont de même ordre. plicatif d’un corps est cyclique.
Proposition. Si G = hai alors pour tout k ∈ Z
– ak est d’ordre NN∧k ,
3. Exemples de groupes non abéliens
– ak engendre G si et seulement si k ∧ N = 1,
– G a ϕ(N ) générateurs.
3.1. Groupe symétrique Sn .
Exemple. Les générateurs de Z/12Z sont 1, 5, 7 et 11.
Proposition. L’image par un morphisme f d’un
groupe cyclique hai est le groupe cyclique hf (a)i.
Définition et proposition. Il existe un unique morphisme surjectif ε : Sn → {−1, 1}, appelé signature, et
son noyau An est appelé groupe alterné.
Corollaire. An est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn . – C(A) est fini et toute classe non nulle “contient” des
idéaux premiers
Proposition. S est engendré par (1 2) et (1 2 · · · n),
n
ou par les transpositions (i i + 1), ou par les transpositions (1 i).
An est engendré par les 3-cycles de la forme (i, i + 1, i +
2).
Lemme. Soit p1 , . . . , pr des idéaux premiers de A tels
que p1 · · · pr = Aπ alors π est irréductible si et seulement s’il n’existe par de sous-produit strict pi1 · · · pis
principal.
Remarque. Si τ1 , . . . , τk sont des transpositions qui Lemme. Soit p un idéal premier de A dont la classe
p est d’ordre r dans C(A) alors on a pr = Aπ avec π
engendrent Sn alors k ≥ n − 1.
irréductible dans A.
Exemple. A4 n’est pas simple mais n’admet pas de
Définition. On dit que A est un anneau semi-factoriel
groupe d’ordre 6 alors que 6 divise |A4 |.
si la longueur des factorisations d’un élément ne dépend
Proposition. A5 est le seul (à isomorphisme près)
que de l’élément i.e. toute égalité du type π1 · · · πr =
groupe simple d’ordre 60.
τ1 · · · τs , où les πi , τj sont irréductibles dans A, implique
Proposition. An est simple pour tout n ≥ 5.
r = s.
Application. Si n ≥ 5 alors D(An ) = An .
3.2. Groupes diédraux.
On note P le plan affine euclidien et O(2) le groupe des
isométries de P.
Définition. On appelle groupe diédral Dn , le groupe
(d’ordre 2n) des isométries de P conservant un polygône
régulier à n côtés.
Théorème de Carlitz. A est semi-factoriel si et seulement si |C(A)| ≤ 2.
4.2. Groupes
réguliers.
d’isométries
des
polyèdres
Proposition. Les sous-groupes finis de SO(3) sont isomorphes à Z/nZ, Dn/2 , A4 , S4 ou A5 .
Remarque. A4 est le groupe du tétraèdre.
Remarque. Dn est un sous-groupe de O(2) d’ordre 2n. S4 est le groupe du cube et de l’octaèdre.
A5 est le groupe de l’icosaèdre et du dodécaèdre.
Application (collier de perles). Si on dispose d’un fil
circulaire, de 4 perles bleues, de 3 perles blanches et de 4.3. Caractères d’un groupe abélien G. Un ca2 perles rouges, alors on peut faire 76 colliers différents. ractère de G est un morphisme de G dans le groupe
des nombres complexes de module 1.
Proposition. Si G est engendré par a et b avec |hai| =
b des caractères de G est un groupe multiL’ensemble G
n, |hbi| = 2 et |habi| = 2 alors G ' Dn .
plicatif, d’élément neutre χ0 ≡ 1 et χ−1 = χ.
3.3. Groupes des quaternions.
b est composé des caExemple. Si G = Z/N Z alors G
Définition.
H
est
le
sous-groupe
de
GL
(C)
engendré
=
e2iπkj/N .
ractères
χ
,
.
.
.
,
χ
où
χ
(k)
2
0
N −1
j
8
0 i
0 1
b
par
et
.
Proposition. Si H est un sous-groupe de G et ψ ∈ H
i 0
−1 0
b
alors il existe χ ∈ G tel que ψ(h) = χ(h) pour tout
Remarque. Tout sous-groupe de H8 est distingué mais h ∈ H.
H8 n’est pas abélien.
Corollaire. Soit g1 , g2 ∈ G distincts alors il existe
Remarque. |H8 | = 8 mais H8 n’est pas isomorphe à χ ∈ G
b tel que χ(g1 ) 6= χ(g2 ).
D4 .
P
Proposition. Si χ 6= ψ alors
χ(g)ψ(g) = 0.
4
Proposition. Si G est engendré par a et b avec a = e,
g∈G
P
a2 = b2 et b−1 ab = a3 alors G ' H8 .
Si g 6= h alors
χ(g)χ(h) = 0.
χ∈G
3.4. Sous-groupes finis de GLn (C).
b = |G|
Corollaire. |G|
Proposition. Si G est un sous-groupe fini de GLn (C)
alors il existe P inversible telle que P GP −1 ⊂ U(n).
Théorème de Burnside-Schur. Si G est un sousDéveloppements
groupe de GLn (C) alors les assertions suivantes sont
Sous-groupes finis de SO(3).
équivalentes :
A5 est le seul groupe simple d’ordre 60.
(i) G est fini
(ii) G est d’exposant fini
Classification des groupes d’ordre pq.
(iii) G est de torsion et de type fini
Théorème de Carlitz.
4. Applications
4.1. Factorisation dans un anneau d’entier de
corps de nombres A. On rappelle que :
– A est un anneau de Dedekind
– le groupe des classes d’idéaux C(A) est le quotient du
groupe abélien des idéaux fractionnaires par le sousgroupe des idéaux fractionnaires principaux
Références
[1] M. Alessandri, Thèmes de géométrie. Groupes en situation
géométrique, Dunod, 1999.
[2] J. Calais, Éléments de théorie des groupes, P.U.F., 1996.
[3] F. Combes, Algèbre et géométrie, Bréal, 1998.
[4] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’algèbre 1, Masson,
1993.
[5] R. Lidl and H. Niederreiter, Introduction to finite fields and
their applications, Cambridge University Press, 1997.