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c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/19 Centrale Physique 1 PC 2005 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Iglésias (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) Cette épreuve se compose de quatre parties pratiquement indépendantes qui mènent l’étude d’un capteur interférométrique de déplacement. • La première partie est, de loin, la plus facile. Elle porte sur l’analyse d’une lame à faces parallèles et fait appel aux notions de base sur la réflexion et la réfraction d’ondes électromagnétiques à l’interface entre deux diélectriques ; on y étudie les réflexions multiples à l’intérieur d’une lame à faces parallèles. • Dans la deuxième partie, on se concentre sur les interférences à deux ondes provoquées par une lame d’air. Les cas d’une source ponctuelle et d’une source large sont abordés en premier lieu. La fin de la partie est bien plus originale et nécessite une analyse assez fine de graphiques expérimentaux. • On poursuit dans la troisième partie en s’intéressant à un coin d’air. L’étude de données expérimentales qui y est proposée n’est pas triviale et reste originale. • La quatrième partie aborde une autre méthode d’analyse optique de la cavité constituée par le coin d’air étudié précédemment. La résolution y est plus facile, mais assez calculatoire. Ce sujet est typique de la filière PC au concours Centrale-Supélec : il est long mais de difficulté croissante, il est également très original car tiré d’un article de recherche récent. S’il est peu calculatoire, ce problème nécessite de la réflexion et du sens physique. Pour vraiment réussir une telle épreuve, il faut non seulement très bien connaître son cours, en particulier celui sur les interférences, mais aussi savoir analyser des résultats expérimentaux. Il est alors indispensable de passer du temps sur les questions difficiles afin de bien comprendre l’énoncé et d’avancer dans le problème. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/19 Indications Partie I I.C.2 Regarder soigneusement le trajet parcouru par le rayon considéré en tenant compte des différentes réflexions et traversées des interfaces. Partie II II.A.2.c Calculer la différence de marche S2 M−S1 M puis effectuer un développement ρ . Terminer le calcul en remarquant que a ≪ D. limité en + DT − a/2 II.A.2.e Remarquer que pour un anneau K quelconque, l’ordre d’interférence est p = p0 − K. II.A.4.e Utiliser les différentielles logarithmiques pour évaluer l’incertitude. II.A.4.h Utiliser les formules de grandissement avec origine au foyer. On peut les retrouver à l’aide d’une construction géométrique. II.A.4.i Utiliser les questions II.4.g et II.4.h. II.B.2.1 Utiliser la question II.A.3 pour déterminer la relation ρ en fonction de e qu’il faut ensuite différentier. Constater que p0 /p ≈ 1. II.B.2.a Certains pics du profil A sont situés « après » ceux du profil B alors que d’autres sont situés « avant ». Partie III III.A.3 Il faut utiliser l’équivalence cos x = y ⇐⇒ x = + − Arccos y + 2mπ avec m∈Z Cette remarque est essentielle pour la suite. III.B.1 La variation d’épaisseur est d’abord rapide puis se ralentit, ce qui fait varier la période des oscillations lors de la phase d’excitation. La même chose se produit pendant la relaxation. III.B.2.b L’épaisseur diminue ainsi que I(x, y). En déduire la solution qui convient pour e(x, y). III.B.3 Utiliser la continuité de e pour trouver l’entier m caractérisant la solution. III.B.4 Reprendre les raisonnements précédents en remarquant que e augmente. Bien comprendre ce qui se passe en tfin . Partie IV IV.B Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 de φ(t + ∆t). IV.D Utiliser les relations trigonométriques pour simplifier le rapport et éliminer les termes en φ. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/19 I. Présentation du dispositif I.A.1 La relation de passage qui exprime la continuité du champ électrique à la traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante tangentielle → − → − → − E T2 − E T1 = 0 → L’onde est plane, progressive et se propage selon − e . Le champ électrique est alors z transverse, c’est-à-dire perpendiculaire à la direction de propagation ; il est donc tangent à l’interface z = 0. La relation de passage s’écrit alors − → → − → − E i + E r = E tr Pour une onde plane progressive, monochromatique et polarisée rectilignement se → propageant selon − ez , le champ électrique s’écrit → − → − E i = E 0i ej(ωt−kz) − → → − E r = E 0r ej(ωt+kz) → puisque l’onde réfléchie se propage selon −− ez . De plus, → − → − E tr = E 0tr ej(ωt−kz) De même La relation de passage écrite en z = 0 donne − → → − → − E 0i + E 0r = E 0tr I.A.2 La relation de passage qui exprime la continuité du champ magnétique à la traversée d’une interface entre deux milieux 1 et 2, s’écrit pour la composante tangentielle → − → − → → S ∧ − n 1→2 B T2 − B T1 = µ0 − → − → où est le vecteur densité de courant surfacique et − n , le vecteur unitaire normal S 1→2 à l’interface. En l’absence de courant surfacique, → − → − → − B T2 − B T1 = 0 On obtient donc comme dans la question précédente − → → − → − B 0i + B 0r = B 0tr Rappelons qu’il existe deux autres relations de passage impliquant les com→ − → − posantes normales de E et B . La relation de passage à l’interface entre → − deux diélectriques concernant la composante normale de E n’est pas au programme de la filière PC. Pour le champ magnétique cette relation est → − → − → − → − → − → − B N2 − B N1 = 0 . Elle est trivialement vérifiée puisque B N2 = B N1 = 0 . Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/19 Pour une onde plane et progressive se propageant dans un milieu diélectrique → transparent d’indice n selon la direction de propagation − u , la relation de structure qui exprime le champ magnétique est → n − − → − u ∧ E) B = (→ c On a donc, en représentation complexe, → − − → n1 − (→ ez ∧ E i ) Bi = c → L’onde réfléchie se propageant suivant −− ez , il vient − → → n1 → − B r = − (− ez ∧ E r ) c − → → − n2 → B tr = (− ez ∧ E tr ) c et En écrivant la relation de passage en z = 0, on obtient → − → − → − n1 − n2 − → → ez ∧ ( E 0i − E 0r ) = ez ∧ E 0tr c c − → Comme le champ électrique est orthogonal à e , cela implique z → − → − → − n1 ( E 0i − E 0r ) = n2 E 0tr I.A.3 Les questions I.A.1 et I.A.2 permettent d’écrire les relations et 1 + r1→2 = t1→2 soit n1 (1 − r1→2 ) = n2 t1→2 n1 (1 − r1→2 ) = n2 (1 + r1→2 ) d’où r1→2 = Or t1→2 = Il vient finalement n1 − n2 n1 + n2 n1 (1 − r1→2 ) n2 t1→2 = 2n1 n1 + n2 I.B L’application numérique donne alors r1 = t1 = n0 − n = −0, 2 n0 + n 2n0 = 0, 8 n0 + n et et r2 = t2 = n − n0 = 0, 2 n0 + n 2n = 1, 2 n0 + n On remarque que r1 est négatif. On en conclut que la réflexion d’une onde électromagnétique sur une interface air/verre s’accompagne d’un déphasage de π. I.C.1 Par définition de r1 , s0 = r1 sincident Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
