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Centrale Physique MP 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Armengaud (ENS Ulm) ; il a été relu par
Stéphane Plat (Centrale Paris) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Ce problème traite des méthodes astronautiques classiques, actuellement utilisées
ou envisagées. Il ne comporte pas de difficulté majeure, excepté sa longueur. Il faut
faire attention, car les parties ne sont pas tout à fait indépendantes les unes des
autres. La mécanique newtonienne et la gravitation sont bien sûr largement utilisées
(il ne faut pas négliger cette partie du cours de Sup pendant les révisions).
• La première partie traite d’un modèle instructif sur la propulsion par réaction.
• La deuxième partie traite du lancement des fusées.
• Les troisième et quatrième parties traitent d’autres moyens de propulsion : moteur ionique et voile solaire. Elles font appel à l’électromagnétisme et peuvent
donc servir de parachute à ceux qui bloqueraient dans les problèmes de mécanique.
• Les cinquième et sixième parties traitent de navigation dans l’espace. En particulier, il est important de remarquer dès l’indispensable première lecture de
l’énoncé que le plus gros de la cinquième partie est constitué de questions de
cours.
• La dernière partie, enfin, traite de la rentrée atmosphérique.
Étant donné le grand nombre de questions très proches du cours et de questions
qualitatives ouvertes, très à la mode actuellement, la rédaction est un élément important pour ce genre de problème. Néanmoins, la longueur du sujet fait qu’il faut surtout
être efficace et rapide, pour en faire un maximum dans le temps imposé. Signalons
enfin que ce problème est excellent pour qui veut réviser ses bases de mécanique et
de gravitation de première année.
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Indications
Partie I
I.A Le système à définir doit être fermé.
I.C Raisonner par récurrence en s’inspirant des résultats obtenus dans les questions I.A et I.B.
→.
I.F Exprimer la masse m du système après le k e jet, et calculer m −
a
k
k
k
Partie II
II.A Prendre comme système fermé la fusée avec les gaz qu’elle contient exactement à l’instant t. Faire ensuite le calcul au premier ordre en dt.
II.C Utiliser la conservation de la masse et la question précédente pour calculer
me /mf .
II.F Faire attention au signe du résultat.
II.I.2 Éliminer le temps du système précédent.
Partie III
III.A Utiliser la formule donnant T obtenue à la question II.A.
III.B La puissance Pe min est obtenue en utilisant la formule Pe min = Ut i pour
la puissance fournie par une tension Ut qui crée un courant i. Il faut donc
d’abord calculer l’intensité du courant créé par les ions éjectés.
III.C.1 Attention aux signes de la tension accélératrice et de la vitesse.
III.C.8 Faire bien attention aux données fournies et à celles qui ne le sont pas.
Partie IV
IV.E Prendre garde à la notation φe , différente de la question IV.C.
→
−
→
IV.F Pour passer de ∆−
p à T , il faut à nouveau calculer le flux φ de photons
traversant la surface S. φ est maintenant fonction de θ.
Partie V
V.C Utiliser la version gravitationnelle du théorème de Gauss.
V.I Donner ne signifie pas démontrer : ne perdez pas de temps bêtement !
V.J Utiliser les quantités conservées pendant le mouvement pour obtenir des
équations sur les paramètres de l’ellipse.
Partie VI
VI.B.2 Montrer d’abord que le point initial (juste après la décélération) est un point
particulier de l’ellipse que l’on cherche à décrire.
Partie VII
VII.E Chercher l’extremum du terme à l’intérieur de l’exponentielle dans la formule
donnée.
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I.
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Principe de la « propulsion par réaction »
I.A On considère le système fermé (de masse constante) :
S1 = {chariot + opérateur + les n sacs}
Les seules forces extérieures s’exerçant sur S1 sont le poids du système et la
réaction des roues. Comme on néglige les actions dissipatives, donc le frottement
des roues sur le sol, la réaction des roues est verticale, comme le poids. On en déduit
d’après le théorème du centre d’inertie projeté sur l’axe Ox, en raisonnant uniquement
au moment du lancer :
−→
−
→
Px (S1 ) = Cte
soit
−
→
−
→
−
→
Px (S1 )avant = Px (sac éjecté)après + Px (chariot et sacs restants)après
Juste avant le lancer, la quantité de mouvement de S1 est nulle. Juste après le lancer,
−
le sac a une quantité de mouvement dont la composante selon l’axe Ox vaut −m u →
ex .
On a donc :
−
→ −
→
−
−m u →
e + (n − 1) m V = 0
x
d’où
−
→
V1 =
1
u −
→
ex
n−1
I.B On considère un nouveau système :
S2 = S1 − {sac éjecté}
De même qu’à la question précédente, la quantité de mouvement de S2 se conserve
suivant Ox :
−
→
−
→
Px (S2 )avant = Px (S2 )après
La loi de composition des vitesses donne
−
→
−
→ →
Vx (sac éjecté) = V1 + −
u
donc
et
−
→
−
→
−
→ →
(n − 1) m V1 = (n − 2) m V2 + m (V1 + −
u)
−
→
−
→ →
(n − 2) V2 = (n − 2) V1 − −
u
En utilisant le résultat de la question I.A, on obtient donc
−
→
1
1
→
−
V2 = −
+
u
n−1 n−2
I.C La formule proposée à la question précédente se généralise facilement par ré→
−
currence. Supposons que la vitesse Vk−1 s’écrit sous la forme :
→
−
1
1
→
−
Vk−1 = −
+ ···+
u
n−1
n − (k − 1)
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On considère le système
Sk = {chariot + opérateur + les (n − k + 1) sacs restants}
et on écrit la conservation de son impulsion :
→
−
−
→
→
−
→
(n − k + 1) m Vk−1 = (n − k) m Vk + m ( Vk−1 + −
u)
−
→
−
→
→
−
(n − k) Vk = (n − k) Vk−1 − u
→
−
−
→ −
→
u
Vk = Vk−1 −
n−k
→
−
En remplaçant Vk−1 par son expression, on obtient donc la forme voulue et on a
finalement montré par récurrence que
−
→
1
1
→
−
Vk = −
+ ···+
u
n−1
n−k
I.D Sur une durée T incluant le k e jet, l’accélération moyenne du chariot s’écrit
−
→ −
→
Vk − Vk−1
−
→
ak =
T
Par conséquent,
−
→=
a
k
→
−−
u
(n − k) T
I.E Sur une durée moyenne T, il y a un sac de sable qui est propulsé hors du
chariot par l’opérateur. On a donc m = Dm T et l’on en tire immédiatement, d’après
la question précédente :
−
→
−
→ = −Dm u
a
k
m (n − k)
I.F La masse du système Sk+1 après le k e jet s’écrit mk = m (n − k) et, d’après la
→
→=−
question précédente, on peut donc écrire m −
a
Π , avec :
k
k
−
→
→
Π = −Dm −
u
→
−
La poussée Π représente la force moyenne apparente qui s’exerce sur le chariot et
son contenu pendant une durée T incluant le k e jet. Elle est bien orientée suivant les
x croissants, ce qui permet de vérifier le signe dans la formule.
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