Feuille n 3

Institut Galilée
L2 SPI - ATS
Algèbre 2
2010-2011
Feuille n◦3
3.1 Dans IR muni du produit scalaire usuel, appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt
à la base (e , e , e ) où e = (1, 0, 0), e = (1, 1, 0), e = (1, 1, 1).
3.2 Dans IR on considère le plan P engendré par les vecteurs (1, 1, 1) et (1, 1, 0).
3
1
2
3
1
2
3
3
Construire une base orthonormale admettant deux vecteurs dans P .
Quelles sont les coordonnées de x = (x1 , x2 , x3 ) dans cette nouvelle base ?
3.3 P.
3.4 Soit P le plan de IR3 orthogonal à (2, −3, 6). Trouver une base orthonormée de
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré ≤ 3. Pour P
et Q dans E , on pose :
Z
1
< P, Q >=
P (x)Q(x)dx
−1
1) Vérier qu'il s'agit d'un produit scalaire.
2) A l'aide de la base (1, X, X 2 , X 3 ) de E construire une base orthonormale. (Poly-
nômes de Legendre)
3.5 Étant donnés les nombres réels x, y et z , on considère les vecteurs u = (1, 1, 1, 1)
et v = (1 − x, x − y, y − z, z) de l'espace euclidien IR4 .
1) Calculer < u, v > .
2) Montrer, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que l'on a :
1 ≤ 4 (1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2
3) En se plaçant dans le cas où l'inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité, résoudre
l'équation :
3.6 1
= (1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2
4
Soient x et y deux vecteurs de l'espace euclidien E . Montrer que x et y ont même
longueur si, et seulement si, x + y et x − y sont orthogonaux.
3.7 Soit F un sous-espace de E . Soit x ∈ E .
1) Montrer qu'il existe un couple unique (y, z) de vecteurs tel que :

 x=y+z
y∈F

z⊥F
On dit que y est la projection orthogonale de x sur F , notée pF (x)
2) Montrer que pF est une application linéaire. Montrer que pF ◦ pF = pF . pF est-elle
une application orthogonale ?
3) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de pF dans la
base canonique.
4) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0.
5) Même question avec E = IR3 et F le plan x + y + z = 0.
6) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de pF dans la
base canonique.
7) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0.
8) Même question avec E = IR3 et F la droite {x = y, y = z}.
3.8 Soit F un sous-espace de E . Soit x ∈ E . x = pF (x) + y avec y⊥pF (x). On pose
sF (x) = pF (x) − y = 2pF (x) − x. sF est la symétrie orthogonale par rapport à F .
1) Montrer que sF est une application linéaire. sF est-elle une application orthogonale ?
2) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de sF dans la
base canonique.
3) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0.
4) Même question avec E = IR3 et F le plan x + y + z = 0.
5) Même question avec E = IR3 et F la droite {x = y, y = z}.
3.9 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit H le sous-espace vectoriel d'équation
x + y + z + t = 0 et soit p la projection orthogonale de IR4 sur H .
1) Pour tout vecteur u de IR4 , calculer ku − p(u)k.
2) Quelle est la matrice de p dans la base canonique de IR4 ?
3.10 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit H le sous-espace vectoriel engendré
par u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (−2, 0, 1, 1) et u3 = (0, 1, 0, 1).
1) Montrer que H est un hyperplan de IR4 . Trouver une équation de H .
2) Trouver un vecteur unitaire orthogonal à H .
3) Soit s la symétrie orthogonale de IR4 par rapport à H . Quelle est la matrice de s
dans la base canonique de IR4 ?
3.11 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit P le plan engendré par (0, 1, 1, 1) et
(1, 0, 1, 0). Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique
de IR4 ?
3.12 On munit IR3 du produit scalaire usuel. Soit P le plan engendré par v1 =
(1, −1, 2) et v2 = (1, 0, 1). Déterminer :
1) une équation de P ,
2) une base orthonormale de P ,
3) une base orthonormale de P ⊥ ,
4) la projection orthogonale de (1, 1, 1) sur P .
a b
Soit M =
une matrice orthogonale. Montrer que :
c d
1) si ad − bc = 1 M est la matrice d'une rotation
2) si ad − bc = −1 M est la matrice d'une symétrie.
3.13 3.14 1
11
1
6
On considère les vecteurs de IR3 : v1 = √ (3, 1, 1), v2 = √ (−1, 2, 1) et
1
v3 = √ (−1, −4, 7)
66
1) Calculer les produits scalaires < vi , vj >.
2) Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse :


3
−1 −1
√
√
√
 11
6
66 
 1
2
−4 
√
√
√ 


 11
6
66 
 1
1
7 
√
√
√
11
6
66
 √

3
1
− 

A =  2 √ 2 .
1
3
2 2
1) Montrer que A est orthogonale. Quel est sont déterminant ?
2) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A.
3) Quelle est la nature géométrique de A ?
3.15 3.16 Les matrices suivantes sont elles orthogonales ?
 √

3
1
 2 −
√2 


1
3
−
2 2
√ 
1
3
 √2 − 2 


3
1
2
2

√
√ 
1 − 3 −2 3
√
1
Soit A =  −√3
3
−2 
4
2 3
2
0
1) Montrer que A est la matrice d'une rotation.
2) Déterminer l'axe et la valeur absolue de l'angle de rotation.
3.17 3.18 
Mêmes questions pour :
√ 
1
1 −√2
1
2 
√1
√1
2
2 − 2
0
