TD5 : Algèbre linéaire Lycée Lakanal, Sup PCSI B Le but de ce TD est d’apprendre à manipuler les matrices, et à résoudre des problèmes simples d’algèbre linéaire, avec Maple. Les commandes utilisées font partie de la librairie linalg. Il est fortement conseillé de se référer à l’aide sur linalg. Comme pour les matrices, on définit un vecteur soit par une liste, soit avec la commande vector. Attention : Maple affiche en ligne les vecteurs, alors que ce sont des vecteurs colonnes. Commandes de base sur les vecteurs : ————————————————————— αu u+v u.v t u Exercice 1 : Manipulation de matrices. On peut a b définir la matrice A = de deux manières c d différentes : alpha ∗ u (mult. par un scalaire) evalm(u + v) dotprod(u, v) (produit scalaire) transpose(u) Définir les vecteurs et la matrice : 1 2 1 0 −3 4 u= , v= , A= 2 1 7 >A:=[[a,b],[c,d]]; ou bien : >with(linalg): >A:=matrix([[a,b],[c,d]]); 2 3 5 6 8 9 Calculer u.v, Au, A3 (u − v). ————————————————————— Pour afficher la matrice, utiliser print ou evalm. Pour Exercice 3 : Soit E un espace vectoriel de dimenobtenir l’élément b, on tape A[1, 2]. sion 4 et soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) une base de E. On définit Les opérations de base sur les matrices sont : l’endomorphisme ϕ de E par : αA evalm(alpha ∗ A) (mult. par un scalaire) ϕ(e1 ) = −2e2 + 2e3 − 5e4 A + B evalm(A + B) ϕ(e2 ) = −3e1 + 2e3 − 6e4 AB evalm(A&*B) (produit de matrices) ϕ(e3 ) = −e1 + 3e3 − e4 k k A evalm(A ) ϕ(e4 ) = e1 + 2e2 − e3 + 6e4 det(A) det(A) −1 A inverse(A) Soit ψ l’endomorphisme de E défini par : ψ = 2Id − ϕ. t A transpose(A) Définir les matrices : 1 2 A= 2 4 1) Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs w1 = e1 − e2 , w2 = e2 + e4 , w3 = e3 . B= 0 1 −1 5 a) Quelle est la dimension de F ? (indication : pour déterminer une relation de et calculer leur somme, leur produit. Calculer t A. dépendance entre des vecteurs, il suffit de calculer le Que fait la commande augment(A,B) ? noyau de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes. Calculer le déterminant de A et de B (chercher la Utiliser les commandes augment et kernel ) commande dans linalg). En déduire que la matrice A est non inversible, et que la matrice B est inversible. b) Montrer que : ∀u ∈ F ψ(u) ∈ F . Calculer le noyau de A. Calculer B −1 . 2) Soient u1 = 2e1 − e2 − e3 + e4 , u2 = −ψ(u1 ), ————————————————————— u3 = −ψ(u2 ). Exercice 2 : Manipulation de vecteurs 1 a) Calculer ψ(u3 ). b) Déterminer des réels a, b, c tels u4 = e1 + ae2 + be3 + ce4 vérifie u4 = −ψ(u4 ). que c) Montrer que (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E. Ecrire dans cette base la matrice de ψ, puis celle de ϕ. Quel est le rang de ϕ ? ————————————————————— Exercice 4 : Résolution de systèmes linéaires Elle s’effectue à l’aide de la commande linsolve (voir l’aide). Résoudre les systèmes d’équations : x+y+z = 0 x+y = 1 3x − y − 2z = 2 2x + 2y = 2 x − 2y + 4z = 3 Que signifie le symbole _t1 ? Résoudre et discuter sur C le x − ay + a2 z ax − a2 y + az ax + y − a3 z système : = = = a 1 1 ————————————————————— Exercice 5 : Calcul d’une puissance nième de matrice. Considérons IR3 muni de sa base canonique, et soit l’endomorphisme ϕ ayant pour matrice dans cette base : 0 1 2 A = 2 0 −1 2 −1 0 Diagonaliser ϕ revient à exprimer cet endomorphisme dans une autre base de IR3 , de sorte que dans cette nouvelle base la matrice de ϕ soit diagonale. 1) Déterminer des vecteurs v1 , v2 , v3 tels que : Av1 = v1 , Av2 = 2v2 , Av3 = −3v3 2) Montrer que (v1 , v2 , v3 ) est une base de IR3 . 3) Définir la matrice de passage P de la base canonique à la base (v1 , v2 , v3 ). 4) Calculer P −1 AP . Que remarquez vous ? 5) Application : calculer An , n ∈ IN. 2