Chapitre 5 – Partie A L`espace euclidien

Chapitre 5 – Partie A
L’espace euclidien ℝ𝒏
Mathématiques
Produit scalaire et norme
Définition :
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 , 𝑥. 𝑦 = 𝑥1 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 et ‖𝑥‖ = √𝑥. 𝑥 = √𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2
𝑥, 𝑦 → 𝑥. 𝑦
ℝ × ℝ𝑛 → ℝ
𝑛
Propriétés :

(𝜆𝑥 + 𝑥 ′ ). 𝑦 = 𝜆(𝑥. 𝑦) + 𝑥 ′ . 𝑦

‖𝑥. 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ × ‖𝑦‖ (Cauchy Schwarz)

𝑥. (𝜆𝑦 + 𝑦 ′ ) = 𝜆(𝑥. 𝑦) + 𝑥. 𝑦 ′

‖𝑥. 𝑦‖ = ‖𝑥‖ × ‖𝑦‖ ⇔ (𝑥, 𝑦) liée



𝑥. 𝑥 = ‖𝑥‖² (forme quadratique)
𝑥. 𝑥 ≥ 0 (forme « positive)
𝑥. 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 (forme « définie positive »)

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ (Inégalité triangulaire)
Orthonormalité : Une base (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 ) de ℝ𝑛 est orthonormale si 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = {
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
Orthogonalité
Définition : 𝑥 ⊥ 𝑦 ⇔ 𝑥. 𝑦 = 0
Propriété (Pythagore): 𝑥 ⊥ 𝑦 ⇔ ‖𝑥 + 𝑦‖² = ‖𝑥‖² + ‖𝑦‖²
Sous espace orthogonal
Définition : Si 𝐹 est un sous-espace vectoriel de ℝ𝑛 , son orthogonal est le sous-espace vectoriel 𝐹 ⊥ tel
que 𝐹 ⊥ = {𝑥 ∈ ℝ𝑛 ; ∀𝑢 ∈ 𝐹, 𝑥 ⊥ 𝑢} .
Théorème : 𝐹⨁𝐹 ⊥ = ℝ𝑛
Matrices orthogonales
Définition : Une matrice 𝑀 carrée 𝑛 × 𝑛 est orthogonale si et seulement si 𝑡𝑀𝑀 = 𝐼, c'est-à-dire si les
colonnes de 𝑀 sont les coordonnées des vecteurs d’une base orthogonale.
Propriété : Si 𝑀 est orthogonale, 𝑀 est inversible, et 𝑀−1 = 𝑡𝑀.
Théorème : L’application linéaire 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑛 est une isométrie vectorielle, c'est-à-dire
∀𝑥 ∈ ℝ𝑛 , ‖𝑓(𝑥)‖ = ‖𝑥‖, ce qui est équivalent à dire que 𝑀𝑎𝑡(𝑒)𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓 est orthogonale.
Endomorphismes et matrices symétriques
Définition : 𝐴 matrice carrée 𝑛 × 𝑛 est symétrique si 𝑡𝐴 = 𝐴, c'est-à-dire si ∀𝑖, 𝑗, 𝐴𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖 .
Si 𝑓 est un endomorphisme de ℝ𝑛 , 𝑓 symétrique ⇔ 𝑀𝑎𝑡(𝑒) 𝑓 est symétrique.
Propriété : 𝑓 est symétrique ⇔ ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 , 𝑓(𝑥). 𝑦 = 𝑥. 𝑓(𝑦).
Théorème : Un endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. Ainsi, toute
matrice symétrique est diagonalisable, et on peut choisir la matrice de changement de base orthogonale.
𝐴 symétrique ⇒ ∃𝑃 orthogonale telle que 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝑡𝑃𝐴𝑃 est diagonale