LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 29 Thème 16: La croissance d’une fonction Introduction : Dans ce chapitre, nous allons utiliser des renseignements fournis par la dérivée d’une fonction afin de dégager le comportement de la fonction sur un intervalle déterminé. Nous nous efforcerons en particulier de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante et d’en calculer les points dont la 2ème coordonnée est maximum ou minimum. 16.1 La croissance d’une fonction Définition : Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble de définition. La fonction f est dite croissante sur I si elle prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque x croît. Elle est dite décroissante sur I si elle prend des valeurs de plus en plus petites lorsque x croît. Modèle 1 : Considérons la fonction représentée ci-dessous : Le tableau de signes, le tableau de croissance: a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est croissante. b) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est décroissante. Nous coderons ceci sous la forme d’un tableau de croissance : Ce dernier tableau ne doit pas être confondu avec le tableau de signes de la fonction f : 3C – JtJ 2015 30 THÈME 16 Exercice 16.1: On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous. 4 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 a) b) Dans chacun des cas : 1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. 2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f. Modèle 2 : Considérons la fonction représentée ci-dessous : Le tableau de signes, le tableau de croissance: a) Déterminer graphiquement l’ED de f. b) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. c) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f. 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION Exercice 16.2: 31 On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous. a) b) Dans chacun des cas : 1) Déterminer l’ED de f. 2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f. 3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f. Définition : • Une fonction définie sur un intervalle [a ; b] admet un maximum local en un point c si pour tout voisin x de c, f (x) < f (c) • Elle admet un minimum local en c’ si pour tout voisin x de c’, f (x) > f (c’) Maximum local Minimum local Modèle 3 : Considérons la fonction représentée ci-dessous : 4 Les extremums locaux d’une fonction: 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 Déterminer graphiquement les coordonnées des minimums et maximums locaux de f. 3C – JtJ 2015 32 THÈME 16 Exercice 16.3: On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous : 6 4 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 a) b) Dans chacun des cas : 1) Déterminer graphiquement les zéros de f. 2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f. 3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est croissante. Exercice 16.4: Un appareil de mesure a permis de relever la température de 6 heures à 24 heures pendant une même journée. La courbe cidessous représente la température f (t) relevée en fonction de l’heure t. a) Quelle est la température à 8 heures ? b) Déterminer f (8) ? c) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de 4°C. d) Résoudre graphiquement f (t) = 4 . e) Quelles sont les températures maximales et minimales ? f) Sur quelle plage horaire, la température augmente-t-elle ? g) Aux environs de quelle heure, la température a-t-elle le plus augmenté ? h) À quoi correspond, dans cet exemple, la dérivée de la fonction f (t) représentée ? i) Résoudre graphiquement f ′ (t) > 0. 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 33 16.2 Relation entre croissance et dérivée Considérons la courbe suivante : On constate: • En tout point de [ a ; b [, la pente de la tangente est positive. Donc f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ [ a ; b [. • En tout point de ] b ; c [, la pente de la tangente est négative. Donc f ′(x) < 0 pour tout x ∈ ] b ; c [. • En tout point de ] c ; d ], la pente de la tangente est positive. Donc f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ ] c ; d ]. Ce résultat se généralise en un théorème sur tout intervalle I : Théorème : f est croissante sur I ⇔ f ’(x) > 0 pour tout x ∈ I f est décroissante sur I ⇔ f ’(x) < 0 pour tout x ∈ I Déterminons maintenant une condition sur f ′(x) = 0 pour chercher les extremums (minimums ou maximums) à l’aide des 3 exemples suivants: a c b De même, si c est un minimum, f ′(c) = 0 , f ′( x) < 0 avant c et f ′( x) > 0 après c. a c b a c 3C – JtJ 2015 On constate que si c est un maximum, f ′(c) = 0 , f ′( x) > 0 avant c et f ′( x) < 0 après c. b MAIS la seule condition f ′(c) = 0 n’implique pas que l’on ait un extremum, en effet, ce 3ème exemple admet une pente de tangente nulle en c sans que l’on ait un extremum. On constate que cet exemple diffère également des 2 autres, car le signe de f ′( x) est le même à gauche et à droite de c. 34 THÈME 16 Théorème : Soit f une fonction dérivable sur [a ; b]. Les extremums locaux de f sur [a ; b] sont: • les points où la dérivée s’annule et change de signe ; • les bords de l’intervalle a et b. y a b x Remarque : Parmi tous les minimums locaux, nous appellerons minimum absolu, le plus petit des minimums de f sur [a ; b]. Idem pour le maximum absolu. Exercice 16.5: Soit la fonction f (x) = x 3 − 4 x 2 + 4 x représentée ci-dessous : a) Résoudre graphiquement f (x) = 0 , f ′(x) = 0 . b) Résoudre graphiquement f (x) > 0 , f ′(x) > 0 . c) Résoudre graphiquement f (x) < 0 , f ′ (x) < 0 . d) Sur l’intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les min et max locaux. e) Sur l’intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les min et max absolus. f) Déterminer le tableau de croissance de f. www.javmath.ch 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 35 16.3 Étude de la croissance d’une fonction grâce à la dérivée 3 2 Modèle 4 : Étudier la croissance de f (x) = 2x + 4x – 8x + 7. L’étude de la croissance: Exercice 16.6: Étudier la croissance des fonctions suivantes: a) f (x) = -x2 + 3x – 2 b) f (x) = x3 – 8x2 + 5x – 1 c) f (x) = x4 – 8x2 + 1 d) f (x) = x3(x – 1) e) f (x) = (x2 – 10x)4 f) f (x) = 2x + 2x − 3 g) f (x) = x+5 Exercice 16.7: 3C – JtJ 2015 h) f (x) = 2 4 x ( x −1) 2 x+2 La fonction N(t) = −t 4 + 8t 2 + 10 (0 ≤ t ≤ 3), dans laquelle t est le temps en semaines depuis le début d’une épidémie, représente le nombre de milliers de personnes atteintes d’un certain virus. Déterminer l’intervalle de temps durant lequel le nombre de malades augmente. 36 THÈME 16 Exercice 16.8: Une campagne publicitaire génère le profit P(x) = 4 x 3 − 48x 2 + 144 x dans lequel x représente les frais de publicité, (0 ≤ x ≤ 4). Sur quel intervalle de x, le profit décroît-il ? Exercice 16.9: La taille d’un enfant (en cm) de moins de 10 ans peut être 182,88x + 508 modélisée par la fonction t(x) = où x représente x + 10 son âge (en année). 1ère partie : a) Calculer t(5) et donner sa signification concrète. b) Calculer t ′ (x) . 2ème partie : t(x + Δx) − t(x) (lorsque Δx → 0), Δx montrer que l’unité de t ′ (x) correspond à des cm/année. c) En se rappelant que t'(x) = d) En déduire à quoi correspond concrètement t ′ (x) . e) Calculer la vitesse de croissance d’un enfant de 5 ans. Exercice 16.10: Un centre de ski a observé que sa clientèle C lors de la xème journée 6000x de la saison est donnée par la fonction C(x) = 2 . x + 6400 a) Combien y a-t-il de clients durant la 20ème journée ? Est-il exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la 21ème journée ? b) Combien y a-t-il de clients durant la 100ème journée ? Est-il exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la 101ème journée ? c) Sur quel intervalle, la clientèle est-elle croissante ? d) Après combien de jours, le centre de ski admettra-t-il un maximum de clients ? e) Lequel de ces 2 graphes représente la fonction C(x) ? 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 37 Modèle 5 : Sur l’intervalle [-3 ; 3], étudier les extremums locaux et absolus de 3 2 f (x) = 2x + 3x – 12x – 6 Exercice 16.11: Trouver les coordonnées des extremums absolus de f sur I a) f (x) = -x2 + 3x – 2 I = [0 ; 2] b) f (x) = x2 + 6x – 1 I = [-6 ; -2] c) f (x) = 2x + Exercice 16.12: 4 x I = [1 ; 10] 7 2 x + 30x + 100 (0 ≤ x ≤ 8) 2 modélise la population de moustiques sur une certaine surface durant le mois d’août où x représente le nombre de centimètres d’eau tombée durant ce mois. La fonction P(x) = − x 3 + a) Déterminer l’intervalle de chute de pluie pour lequel cette population augmente et celui pour lequel elle décroît. b) Esquisser la courbe P(x) après avoir déterminé la population maximum de moustique. 3C – JtJ 2015 38 THÈME 16 Exercice 16.13: Supposons que certains astronomes utilisent la fonction d(t) = t 3 − 48t + 200 (t ≥ 0) pour représenter la distance en milliers de kilomètres d’un météore à la terre à l’instant t en mois. a) Déterminer d ′ (t) , puis effectuer le tableau de croissance. b) À partir de quel instant, le météore va-t-il s’éloigner de la terre ? c) Quelle sera la distance la plus proche entre la terre et le météore ? Modèle 6 : Soit f (x) = (x – 2)(x + 2)3 Étudier et exploiter le signe de la fonction, la croissance afin de tracer une bonne esquisse de f (x). 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION Exercice 16.14: Étudier et exploiter le signe de la fonction, la croissance afin de tracer une bonne esquisse de f (x). a) f (x) = (3x + 1)2 (2 − x) Exercice 16.15: 39 b) f (x) = (x + 2)2 x −1 t représente la fraction (1 + t) 3 de la population lausannoise qui contactera le virus d’une grippe t mois après son apparition. Supposons que la fonction f (t) = a) Déterminer l’ED de f. b) Déterminer le tableau de signes de f. c) Déterminer f ′(t) puis donner le tableau de croissance de f. d) Trouver l’instant auquel l’épidémie est maximale. e) Calculer la portion maximale de la population lausannoise qui sera contaminée par ce virus. f) Esquisser le graphe de f. Exercice 16.16: Les agents du ministère de l’Environnement observent un feu de forêt qui se propage en longeant un cours d’eau. On a calculé que la distance (mesurée en km) parcourue par le feu s’exprime en fonction du temps t (exprimé en jours), selon la fonction : f (t) = 1ère partie : 4t 2 + 1 . 3t + 2 a) Déterminer l’ED de f. b) Déterminer le tableau de signes de f. c) Déterminer la distance parcourue par le feu après 5 jours. 2ère partie : d) Calculer f ′(t) , et donner son unité de mesure. e) Donner la signification concrète de f ′(t) . f) Trouver la vitesse de propagation du feu durant le 5ème jour. 3C – JtJ 2015 40 THÈME 16 16.4 Le sommet de la parabole donnée par sa fonction f (x) = ax2 + bx + c Le sommet d’une parabole va correspondre à un extremum de la fonction du 2ème degré. Utilisons la dérivée pour en obtenir ses coordonnées. Deux cas peuvent se présenter: si a < 0 si a > 0 alors le sommet est un maximum absolu. alors le sommet est un minimum absolu. Déterminons alors les coordonnées de ce sommet 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 41 Ainsi les coordonnées du sommet de la parabole ⎛ −b −Δ ⎞ y = ax2 + bx + c sont S ⎜ ; ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠ Modèle 7 : Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole y = -4x2 + 8x – 9 Exercice 16.17: Soit la fonction f (x) = x 2 + 2x − 8 . a) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole à l’aide de la formule ci-dessus. b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de f (x) avec l’axe x. c) Déterminer l’équation de l’axe de symétrie de la parabole. d) À partir de la réponse précédente, retrouver les coordonnées du sommet S de la parabole (⇒ 2ème méthode). Exercice 16.18: La compagnie MALBARRÉE lance sur le marché un nouveau cadenas. Une étude de la demande et de ses coûts de production lui a permis d’établir son profit mensuel P en fonction du prix de vente x : P(x) = -210x2 + 4620x – 13650. a) Quel sera son profit mensuel si le prix de vente est de 8.b) Quel doit être le prix de vente pour que le profit soit nul ? c) Quel prix de vente la compagnie doit-elle fixer si elle veut obtenir un profit maximal ? d) Esquisser le graphe de P(x). e) 20.- pour un cadenas, cela vous paraît-il une bonne idée ? f) Sur quel intervalle le profit va-t-il augmenter ? Exercice 16.19: 3C – JtJ 2015 Si une société de jouets vend x articles par jour, alors le prix de x vente de chaque article est de p(x) = 10 − . 10 a) À quoi correspond la fonction r(x) = x ⋅ p(x) ? b) Pour quelle valeur de x la fonction r(x) sera-t-elle maximale ? c) Pour quelle valeur de x la fonction r(x) sera-t-elle positive ? 42 THÈME 16 Exercice 16.20: Vous avez monté une petite entreprise où vous fabriquez des sacs à main en cuir. En considérant vos frais fixes ainsi que vos frais variables, vous avez calculé qu’il vous en coûtait 1 C(x) = x 2 +10x + 6300 Frs pour fabriquer x sacs à main. 28 a) Si vous pouvez supporter financièrement des coûts de production totaux de 6694.-, combien de sacs allez-vous fabriquer ? b) Que valent les coûts de production totaux pour 20 sacs à main ? c) Que valent les coûts de production unitaire pour 20 sacs à main ? d) On considère la fonction Cu définie par : C(x) Cu (x) = x À quoi correspond-elle concrètement ? e) Combien de sacs à main devez-vous fabriquer si vous désirez obtenir un coût de production unitaire minimal ? f) Vous allez vendre ces sacs à main 70.- pièce. Exprimer alors le profit P(x) en fonction du nombre x de sacs à main vendu. g) Déterminer le nombre de sacs à fabriquer afin que le profit soit maximum. 3C – JtJ 2015 LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 3C – JtJ 2015 43 44 THÈME 16 3C – JtJ 2015