Département Informatique Quelques Notions Mathématiques Elémentaires Utilisées en Ingénierie

Département Informatique
Quelques Notions Mathématiques Elémentaires Utilisées en Ingénierie
1. Logarithme ......................................................................................................................................................3
1.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 3
1.2 Logarithme népérien ...................................................................................................................... 3
1.3 Logarithme décimal ....................................................................................................................... 3
1.4 Dérivation du logarithme ............................................................................................................... 3
2. Exponentielle...................................................................................................................................................4
2.1 Propriétés ....................................................................................................................................... 4
2.2 Dérivation ...................................................................................................................................... 4
3. Nombres complexes.........................................................................................................................................5
3.1 Somme de deux nombres complexes ............................................................................................. 5
3.2 Produit de deux nombres complexes.............................................................................................. 5
3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe............................................................... 5
3.4 Représentation en module et argument .......................................................................................... 6
3.5 Complexe conjugué (même partie réelle et partie imaginaire opposée) ........................................ 6
3.6 Inverse d’un nombre complexe...................................................................................................... 6
4 Fonctions trigonométriques, exponentielles complexes ...................................................................................7
4.1 Fonctions sinus et cosinus, périodiques de période 2π................................................................... 7
4.2 Exponentielles complexes.............................................................................................................. 9
5 Polynômes ......................................................................................................................................................10
5.1 Polynôme du premier degré ......................................................................................................... 10
5.2 Polynôme du deuxième degré ...................................................................................................... 10
5.3 Les racines de p2(x)...................................................................................................................... 11
5.4 Calcul des racines ........................................................................................................................ 12
5.5 Polynôme de degré n.................................................................................................................... 13
5.6 Factorisation de polynôme ........................................................................................................... 13
5.7 Développement de ( x + y ) , factorielle, combinaisons ............................................................ 13
5.8 Fractions rationnelles de polynômes ............................................................................................ 14
n
6 Dérivation d’une fonction ..............................................................................................................................15
6.1 Définition ..................................................................................................................................... 15
6.2 Dérivée et pente de la représentation graphique d’une fonction .................................................. 16
6.3 Dérivée d’un produit .................................................................................................................... 16
6.4 Dérivée de l’inverse ..................................................................................................................... 16
6.5 Dérivée d’une fonction composée................................................................................................ 17
6.6 Quelques dérivées ........................................................................................................................ 17
6.7 Développement limité au premier et au deuxième ordre.............................................................. 17
6.8 Série géométrique ........................................................................................................................ 18
7 intégrales et primitives ...................................................................................................................................19
8 Vecteurs et Matrices.......................................................................................................................................20
8.1 Produit scalaire............................................................................................................................. 20
8.2 Produit vectoriel........................................................................................................................... 21
8.3 Produit d’une matrice par un vecteur et de matrices .................................................................... 22
8.4 Produit de matrices ...................................................................................................................... 23
8.5 Matrice représentant un changement de base............................................................................... 24
8.6 Matrice de rotation d’angle θ dans un espace à deux dimensions................................................ 25
8.7 Matrice de rotation dans un espace à trois dimensions ................................................................ 26
8.8 Résolution d’un système d’équations linéaires ............................................................................ 27
1
8.9 Inverse d’une matrice................................................................................................................... 27
8.10 Matrices singulières, vecteurs propres et valeurs propres .......................................................... 28
Les lettres grecques...........................................................................................................................................29
Références Utiles...............................................................................................................................................30
INDEX...............................................................................................................................................................31
Index HTML ......................................................................................................................................................32
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2
1. Logarithme
log a ( x) (logarithme en base a : la plupart du temps en base « e » ou en base 10) ; le
logarithme est défini pour les valeurs positives de x.
1.1 Propriétés
log a ( x. y ) = log a ( x) + log a ( y )
log a ( x n ) = n. log a ( x )
log a (a) = 1 ; log a (1) = 0
x
log a ( ) = log a ( x) − log a ( y )
y
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1.2 Logarithme népérien
a = e = 2.71828 ; notation : log e ( x) ou ln(x )
2
1
1
1
e
0
0
ln ( x)
1
2
3
4
0
1
2
3
4
x
Représentation graphique du logarithme népérien ;
il tend vers − ∞ quand x tend vers 0 ; croissance lente quand x augmente
ln( x. y ) = ln( x ) + ln( y )
ln(e x ) = x
log a ( x) =
ln( x)
ln(a)
1.3 Logarithme décimal
a = 10 ; notation usuelle : log(x ) , log10 ( x)
Décibel : AdB = 20. log10 ( A)
1.4 Dérivation du logarithme :
d ln( x ) 1
=
dx
x
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3
2. Exponentielle
(Fonction réciproque du logarithme)
e = 2.718281828459045235360287471352 662497757247093699959574966967 6277240
y ( x ) = exp( x ) ou bien y ( x) = e x
e0 = 1
exp ( x)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
e
1
4
3
2
1
0
1
2
x
Représentation graphique de l’exponentielle : la fonction est positive, tend vers 0 quand x
tend vers moins l’infini et augmente indéfiniment quand x tend vers plus l’infini.
2.1 Propriétés
exp( x + y ) = exp( x ). exp( y )
Plus généralement, pour un nombre a>0
a x + y = a x .a y
ln(e x ) = x
a x = e x. ln( a )
0 0 = 1 (par convention)
2.2 Dérivation :
d exp( x)
= exp( x)
dx
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4
3. Nombres complexes
C’est une représentation d’un couple de coordonnées réelles associé à des opérations bien
définies (en particulier la multiplication)
z = x + i. y ,
où « i » est un nombre « imaginaire » pur tel que i 2 = −1 :
y=Im(z)
2
i
1
0
1
.x
1
0
1
2
= Re(z)
3
Représentation dans le plan du nombre complexe z = 2+i
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3.1 Somme de deux nombres complexes
Si z1 = x1 + i.y1 ; z 2 = x2 + i.y 2 alors :
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i.( y1 + y 2 ) ,
z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i.( y1 − y 2 ) .
3.2 Produit de deux nombres complexes
(Lorsqu’on développe le produit, on applique la règle i 2 = −1 )
z1 .z 2 = ( x1 .x2 − y1 . y 2 ) + i.( x1 . y1 + x2 . y 2 )
3.3 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe
Re( z ) = x ; Im( z ) = y
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5
3.4 Représentation en module et argument
z = ρ . exp(i.θ )
2
z = x2 + y2 = ρ 2
θ = arg(z ) (l’argument est défini entre − π et + π )
Attention en programmation à l’arc tangente pour calculer un argument : utiliser la
fonction « atan2(y,x)» et non la fonction « arc tan(y/x)» qui donne un résultat entre
− π / 2 et + π / 2
y=Im(z) = ρ.sin(θ)
2
ρ= 5
1
ρ
0
θ
tan(θ ) = 1 / 2
1
1
0
1
2
.
3
x = Re(z) = ρ.cos(θ)
Représentation (en module et argument) dans le plan du nombre complexe z = 2+i
3.5 Complexe conjugué (même partie réelle et partie imaginaire opposée)
z = x − i. y
z = ρ . exp( −i.θ )
z. z = x 2 + y 2 = ρ 2
z1 .z 2 = ρ1 .ρ 2 . exp i.(θ1 + θ 2 )
2
z = z. z = x 2 + y 2 = ρ 2
3.6 Inverse d’un nombre complexe
1 / z = (1 / ρ ). exp( −i.θ ) = z / z
2
En programmation, il peut être opportun de remplacer une division par z par le produit par
2
z / z (division par un nombre réel positif)
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6
4 Fonctions trigonométriques, exponentielles complexes
π : 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816
4.1 Fonctions sinus et cosinus, périodiques de période 2π.
y
1.2
sin(θ)
θ
0
1.2
cos(θ) 1
x
.
1.2
0
1.2
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Cosinus
1.5
1
0.5
cos( t )
0
0.5
1
1.5
.
6.28
3.14
0
3.14
6.28
3.14
6.28
t
− sin(x)
Dérivée de cos(x ) :
Sinus
1.5
1
0.5
sin( t )
0
0.5
1
1.5
.
6.28
3.14
0
t
Dérivée de sin(x) :
cos(x)
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7
Tangente (périodique de période π)
tan(t ) =
sin(t )
cos(t )
3
2
1
tan( t )
0
1
2
3
6.28
.
4.71
3.14
1.57
0
1.57
3.14
4.71
6.28
t
1 + tan 2 ( x)
Dérivée de tan(x ) :
Arc cosinus
3.14
2.62
2.09
arccos( t ) 1.57
1.05
0.52
0
.
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
t
−
Dérivée de arccos(x) :
1
1− x2
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Arc tangente
3.14
1.57
arctan( t )
0
1.57
3.14
.
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
t
Dérivée de arctan( x ) :
1
1+ x2
Attention en programmation à l’ « arc tangente » pour calculer un argument : utiliser la fonction
« atan2(y,x)» et non la fonction « atan(y/x)» qui donne un résultat entre − π / 2 et + π / 2 .
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8
4.2 Exponentielles complexes
Formule d'Euler exp(ix ) = cos( x) + i. sin( x )
1
cos( x) = [exp(ix ) + exp( −ix )]
2
1
sin( x) = [exp(ix ) − exp( −ix )]
2i
Un nombre réel négatif r a un module qui vaut |r| et un argument qui vaut π.
L’utilisation de cette représentation permet de retrouver les formules trigonométriques
comme par exemple
cos 2 a + sin 2 a = 1 ,
sin( a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b ,
cos( a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b ,
dont on déduit :
1
(cos( a + b) + cos(a − b) ) ,
2
tan a + tan b
.
tan( a + b) =
1 − tan a. tan b
cos a. cos b =
Remarque : le logarithme népérien d’un nombre complexe est
ln( z ) = ln (( ρ .e iθ ) ) = ln (ρ ) + iθ + 2ikπ
dont on peut déduire ...
i −i = e π
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9
5 Polynômes
5.1 Polynôme du premier degré
C’est la fonction « affine »
p1 ( x ) = a1 .x + a 0
5
x+ 1
0
.
5
4
0
4
x
Exemple de polynôme du premier degré p1 ( x ) = x + 1
Il s’annule pour une valeur de x, la racine :
x=−
a0
a1
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5.2 Polynôme du deuxième degré
p 2 ( x ) = a 2 .x 2 + a1 .x + a 0
5
2
x + x− 2
0
5
4
0
4
x
2
Exemple de tracé de fonction polynôme p2 ( x ) = x + x − 2
Un polynôme de degré deux dont le coefficient du terme de plus haut degré (soit a2) est
a
positif présente un seul minimum obtenu pour x = − 1 (valeur pour laquelle sa dérivée
2a 2
s’annule)
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10
5.3 Les racines de p2(x)
Ce sont les deux nombres x1 et x 2 pour lesquels p 2 ( x) s’annule
(
p2 ( x) = a 2 ( x − x1 ).( x − x2 ) = a2 . x 2 − ( x1 + x2 ).x + x1.x2
)
La deuxième écriture fait apparaître la somme et le produit des racines
5
2
x + x− 2
0
5
4
3
2
1 0
1
2
3
4
x
Sur cet exemple, le polynôme s’annule pour deux valeurs de x : -2 et 1
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11
5.4 Calcul des racines
f (x ) x1 =
1 ⎡
2
− a1 + a1 − 4a 2 a 0 ⎤
⎥⎦
2a 2 ⎢⎣
1 ⎡
2
− a1 − a1 − 4a 2 a 0 ⎤
⎢
⎥⎦
⎣
2a 2
x2 =
Ces racines peuvent être réelles ou complexes, elles sont complexes conjuguées lorsque
2
les coefficients a2 , a1 et a0 sont réels et le discriminant a1 − 4a 2 a0 est négatif
[
]
5
2
x − 2 ⋅ x+ 2
0
5
4
0
4
x
Polynômes du deuxième degré n’ayant pas de racines réelles ; le polynôme
p 2 ( x ) = x 2 − 2 x + 2 a deux racines imaginaires conjuguées : (1+ i) et (1- i)
2
1
0
1
2
.
2
1
0
1
2
Racines dans le plan complexe du polynôme p 2 ( x ) = a 2 .x 2 + a1 .x + a 0
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12
5.5 Polynôme de degré n
Le polynôme
p n ( x ) = a n .x n + a n −1 .x n −1 + L + a 2 .x 2 + a1 .x + a 0
a n racines : si les racines sont simples, il s’annule en exactement n points dans le plan
complexe ; si les coefficients ak du polynôme sont réels, les racines complexes se
présentent par pairse : le complexe conjugué d’une racine est lui aussi racine.
Il existe des méthodes numériques de calcul des racines d’un polynôme
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5.6 Factorisation de polynôme
Si r est une racine de P(x), polynôme de degré m, alors il existe un polynôme Q(x) de degré
(m-1) tel que
P(x)=(x-r).Q(x)
5.7 Développement de ( x + y ) n , factorielle, combinaisons
n
( x + y ) n = ∑ Cnk x k . y n − k
k =0
Notation :
Combinaison :
Factorielle :
⎛n⎞
n!
pour k = 0L n : C nk = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!(n − k )!
n!= 1.2.3.4.L.n ; 0!= 1 ; 1!= 1 2!= 2 ; 3!= 6 ; 4!= 24 ; 5!= 120 ,…
Construction récurrente du « triangle de Pascal »
C n0 = C nn = 1 ;
pour k=1…n-1 : C nk = C nk−−11 + C nk−1 .
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13
5.8 Fractions rationnelles de polynômes
B( z )
A( z )
(Nous supposerons que le coefficient du terme de plus haut degré p du dénominateur A(z) ,
soit ap,vaut 1). Si le degré du numérateur est inférieur au degré p du dénominateur, et si les
p racines du dénominateurs (que nous appellerons z1, z2, …, zp) sont distinctes, il est
B( z )
sous la forme d’une somme de fractions rationnelles de degré 1
possible d’écrire
A( z )
cp
ck
c
c2
B( z )
= 1 +
+L+
+L+
A( z ) z − z1 z − z 2
z − zk
z − zp
où le coefficient ck (« résidu » des « pôles » zk de la fraction rationnelle ) est la valeur de
B( z )
.( z − z k ) calculée pour z = z k (ce calcul est possible car
A( z )
1
B( zk )
1
.( z − z k ) s’écrit ∏
, soit ck =
A( z )
∏ ( zk − zm )
m≠ k z − z m
lim z → zk
m≠k
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14
6 Dérivation d’une fonction
6.1 Définition
La dérivée de la fonction f(x)
f ' ( x) =
f ( x + Δx) − f ( x)
d
f ( x) = lim Δx → 0
Δx
dx
( lim Δx →0 : limite lorsque Δx tend vers zéro de …)
La fonction f (x) est dérivable si cette limite existe et est finie.
f (x)
f ( x + Δx)
f (x)
Δx → 0
f (x)
x
x.
.
x
x + Δx
Représentation graphique d’un calcul de dérivée : lorsque Δx tend vers 0, la droite passant
f ( x + Δx ) − f ( x )
tend vers la
par le point de coordonnées x et f(x) et dont la pente est
Δx
tangente à la courbe représentant f(x).
La dérivée donne la pente de la tangente de la représentation graphique de la fonction.
La dérivée d’une somme de fonctions est la somme des dérivées des fonctions
La dérivée seconde notée f " ( x) ou
d 2 f ( x)
dx 2
est la dérivée de la dérivée f ' ( x)
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15
6.2 Dérivée et pente de la représentation graphique d’une fonction
1.5
dérivée
négative
1
maximum
0.5
sin ( t )
0
0.5
1
1.5
dérivée
positive
.
minimum
6.28
3.14
0
3.14
6.28
t
Si f ' ( x0 ) > 0 , f (x) est croissante au voisinage de x0 (pente positive)
Si f ' ( x0 ) < 0 , f (x) est décroissante au voisinage de x0 (pente négative)
Si f ' ( x0 ) = 0 et f " ( x0 ) < 0 , f (x) est maximum en x0 (pente nulle)
Si f ' ( x0 ) = 0 et f " ( x0 ) > 0 , f (x) est minimum en x0 (pente nulle)
6.3 Dérivée d’un produit
d
[u ( x).v( x)] = v( x) d [u ( x)] + u ( x). d [v( x)]
dx
dx
dx
6.4 Dérivée de l’inverse
d ⎡ 1 ⎤
1 d
=−
[u ( x)]
⎢
⎥
dx ⎣ u ( x) ⎦
u ( x) 2 dx
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16
6.5 Dérivée d’une fonction composée
⎡d
⎤
d
d
f ( g ( x)) = ⎢ f ( y )⎥
. g ( x)
dx
⎣ dy
⎦ calculée pour y = g ( x ) dx
Exemple
d
sin( x 2 ) = cos( x 2 ).(2 x)
dx
6.6 Quelques dérivées
Monôme de degré n positif x n :
1
Fraction n = x − n (n positif):
x
exponentielle e x :
logarithme ln(x ) :
cosinus cos(x) :
sinus sin( x ) :
tangente tan(x ) :
n.x n −1
−n
ou − n.x − n −1
n +1
x
ex
1
x
− sin( x )
cos(x)
1 + tan 2 ( x)
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6.7 Développement limité au premier et au deuxième ordre
df ( x)
1 d 2 f ( x) 2
f ( x + Δx) = f ( x) +
Δx +
Δx + L
dx
2 dx 2
On a ainsi (mais les convergences peuvent être très lentes …)
Notation factorielle: n!= 1.2.3.4.L.n ; 2!= 2 ; 3!= 6 ; 4!= 24 ; 5!= 120 ,…
x2 x3 x4
ln(1 + x) = x −
−
+
+L
2
3
4
x3 x5 x7
sin( x) = x −
−
+
+L
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos( x) = 1 −
+
+
+L
2! 4! 6!
ex = 1+ x +
x2
x3
x4
+
+
+L
2!
3!
4!
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17
6.8 Série géométrique
Pour x ≠ 1
Si x < 1 ,
1 + x + x 2 + x 3 + L + x n − 2 + x n −1 =
∞
∑x
m=0
m
=
1− xn
1− x
1
1− x
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18
7 intégrales et primitives
2
f(x)
0.75
a
0.5
b
.
x
0
125
250
375
500
Intégrale : calcul de la surface comprise entre l’axe des abscisses et la fonction
b
I = ∫ a f ( x)dx
Primitive F(x) : la fonction qui a pour dérivée f(x) ;
F ( x ) = ∫ f ( x) dx + C
Elle est définie à une constante près ; l’intégrale I est la différence entre les valeurs prises
par la primitive
I = F (b) − F (a )
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Primitive de x n ; pour n > 0 :
Primitive de
1
; pour n > 1 :
xn
Primitive de
1
:
x
Primitive de e x :
1 n +1
x +C
n +1
−
1
1
+C
n − 1 x n −1
ln( x) + C
ex + C
Primitive de cos(x) :
sin( x) + C
Primitive de sin( x ) :
− cos( x) + C
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19
8 Vecteurs et Matrices
Un vecteur représente les coordonnées d’un point dans un espace ; ici, nous considérons
surtout les espaces à deux et trois dimensions (le plan et l’espace usuel) : les vecteurs
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎛ x⎞
colonnes de type v = ⎜⎜ ⎟⎟ et du type w = ⎜ y ⎟ ; le transposé d’un vecteur colonne est un
⎝ y⎠
⎜z⎟
⎝ ⎠
T
⎛ x⎞
vecteur ligne v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ( x, y )
⎝ y⎠
T
la norme euclidienne d’un vecteur est sa longueur, par exemple dans les espaces à 2 ou 3
dimensions v =
x2 + y2 , w = x2 + y 2 + z 2
8.1 Produit scalaire de deux vecteurs de même dimension
⎛a⎞
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
u = ⎜b⎟ ; v = ⎜ y⎟ :
⎜c⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
(u , v ) = u T .v = ( a b c ) ⎜ y ⎟ = a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z
⎝z⎠
v
θ
u
Le résultat est un scalaire parfois noté < u , v >= u . v . cos(θ )
Si les deux vecteurs sont orthogonaux, l’angle θ vaut π/2 et le produit scalaire est nul.
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20
8.2 Produit vectoriel dans un espace à trois dimensions
⎛a ⎞
⎜b⎟ ×
⎜ ⎟
⎝c ⎠
⎛ x ⎞ ⎛ b ⋅ z − c⋅ y ⎞
⎜y⎟ = ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ c ⋅ x − a ⋅ z ⎟.
⎝ z ⎠ ⎝ a⋅ y − b ⋅ x ⎠
Le résultat est un vecteur orthogonal aux deux vecteurs dont on calcule le produit vectoriel
et dont l’amplitude vaut
(v × w) = v . w . sin(θ ) .
Si les deux vecteurs sont colinéaires l’angle θ est nul et le produit vectoriel est nul.
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21
8.3 Produit d’une matrice par un vecteur et de matrices
Une matrice est un tableau de nombres qui est associée aux opérations linéaires sur les
vecteurs : le produit d’une matrice par un vecteur est la transformation linéaire des
coordonnées du vecteur ;
La matrice M a autant de colonnes que le vecteur v a de composantes
⎛a b c ⎞ ⎛ x⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
M.v = ⎜ d f g ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ =
⎝ h k m⎠ ⎝ z ⎠
⎛ a⋅ x + b ⋅ y + c⋅ z ⎞
⎜ d⋅ x + f ⋅ y + g⋅ z ⎟
⎜
⎟
⎝ h⋅ x + k⋅ y + m⋅ z ⎠.
Matrice identité (souvent nommée I ) : composée de « uns » sur la « diagonale
principale » et des zéros ailleurs, par exemple la matrice identité de dimension 3x3 est
⎛1 0 0⎞
I = ⎜ 0 1 0 ⎟.
⎜
⎟
⎝0 0 1⎠
Le produit de la matrice I par un vecteur v donne comme résultat le vecteur v
Matrice transposée : on l’obtient en échangeant les numéros d’indice de ligne et de
colonne
⎛a b c ⎞
⎛a d h⎞
T
⎜
⎟
M= d f g , M = ⎜ b f k ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ h k m⎠
⎝ c g m⎠
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22
8.4 Produit de matrices
⎛a b c ⎞ ⎛A B C⎞
⎜ d f g ⎟ ⋅⎜ D F G ⎟ ⎛⎜ a⋅ A + b⋅ D + c⋅ H
⎜
⎟⎜
⎟ = ⎜ d⋅ A + f ⋅ D + g⋅ H
⎝ h k m⎠ ⎝ H K M ⎠ ⎝ h⋅ A + k⋅ D + m⋅ H
⎞
⎟
⎟
h ⋅ B + k⋅ F + m⋅ K h ⋅ C + k⋅ G + m⋅ M ⎠.
a⋅ B + b ⋅ F + c⋅ K a⋅ C + b ⋅ G + c⋅ M
d⋅ B + f ⋅ F + g⋅ K d⋅ C + f ⋅ G + g⋅ M
Si A est une matrice de P lignes et Q colonnes, et B une patrice de Q lignes et R colonnes,
les éléments C p ,r de la matrice produit C = A.B qui a P lignes et R colonnes s’obtiennent à
partir d’un ligne de A et d’une colonne de B en calculant le produit scalaire
Q
C p ,r = ∑ A p ,q .Bq ,r .
q =1
(L’indice p est le numéro de ligne et l’indice r est le numéro de colonne de l’élément C p ,r )
Attention : le produit de matrices n’est pas commutatif sauf dans des cas particuliers !
transposée d’un produit
( A.B )T
= B T AT
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23
8.5 Matrice représentant un changement de base
⎛ x⎞
Soit un vecteur w représenté par ses coordonnées ⎜⎜ ⎟⎟ ; pour le représenter dans une autre
y
⎝ ⎠
⎛a⎞
⎛c⎞
base constituée de deux vecteurs u et v de composantes u = ⎜⎜ ⎟⎟ , v = ⎜⎜ ⎟⎟ , on écrit
⎝b⎠
⎝d ⎠
⎛c⎞
⎛a⎞
⎛ x⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = α .u + β .v = α .⎜⎜ ⎟⎟ + β .⎜⎜ ⎟⎟
⎝d ⎠
⎝b⎠
⎝ y⎠
la représentation dans la nouvelle base (u, v) est
−1
⎛α ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ x ⎞
⎟⎟ .⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝β ⎠ ⎝b d ⎠ ⎝ y⎠
⎛ x ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛α ⎞
⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ y⎠ ⎝b d ⎠ ⎝β ⎠
y
v
d
y
b
w
β
α
u
x
x
a
c
représentation d’un changement de base
si dans la base initiale, une opération est représentée par une matrice M et si on appelle P la
⎛a c ⎞
⎟⎟ de base, dans le repère (u,v) l’opération sera représentée
b
d
⎠
⎝
matrice de changement ⎜⎜
par la matrice R
R = P −1.M .P
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24
8.6 Matrice de rotation d’angle θ dans un espace à deux dimensions
Pour exprimer une rotation d’un angle θ autour de l’origine d’un point de coordonnées (x,
y) on effectue le produit matrice x vecteur
Représentation matricielle
y
⎛ cos( θ) sin( θ) ⎞ ⎛ x ⎞
⎜
⎟ ⋅⎜ ⎟
⎝ −sin( θ) cos( θ) ⎠ ⎝ y ⎠
θ
x
La matrice inverse ( représentant la rotation inverse) est donnée par sa transposée.
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25
8.7 Matrice de rotation dans un espace à trois dimensions
On peut la décomposer en une rotation d’un angle ϕ autour de l’axe y (ordonnées) suivie
d’une rotation d’angle q autour de l’axe z (axe vertical)
Représentation matricielle
z
ϕ
y
⎛x ⎞
⎛ cos ( ϕ ) 0 sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟
⎜ 0
1
0 ⎟ ⎜ y0 ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ −sin ( ϕ ) 0 cos ( ϕ ) ⎠ ⎜ z0 ⎟
⎝ ⎠
x
Première rotation autour de l’axe y
z
⎛x ⎞
⎛ cos ( θ ) sin ( θ ) 0 ⎞ ⎜ 1 ⎟
⎜ − sin ( θ ) cos ( θ ) 0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎜
⎟⎜ 1 ⎟
0
1 ⎠⎜ z ⎟
⎝ 0
⎝ 1⎠
θ
y
x
Deuxième rotation autour de l’axe z
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Représentation matricielle de la combinaison de des deux opérations : la deuxième rotation
se traduit par une multiplication sur le résultat de la première ce qui correspond à une
multiplication à gauche de la première matrice par la deuxième :
⎡
⎛ x ⎞⎤
⎛ cos ( θ) sin ( θ) 0 ⎞ ⎢⎛ cos ( ϕ ) 0 sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟⎥
⎜ −sin ( θ) cos ( θ) 0 ⎟ ⎢⎜ 0
1
0 ⎟ ⎜ y 0 ⎟⎥
⎜
⎟ ⎢⎜
⎟ ⎜ ⎟⎥
1 ⎠ ⎢⎝ −sin ( ϕ ) 0 cos ( ϕ ) ⎠ ⎜ z ⎟⎥
0
⎝ 0
⎣
⎝ 0 ⎠⎦
ce qui correspond au produit
⎛x ⎞
⎛ cos ( θ) ⋅ cos ( ϕ ) sin ( θ) cos ( θ) ⋅ sin ( ϕ ) ⎞ ⎜ 0 ⎟
⎜ −sin ( θ) ⋅ cos ( ϕ ) cos ( θ) −sin ( θ) ⋅ sin ( ϕ ) ⎟ ⎜ y ⎟
⎜
⎟⎜ 0 ⎟
(
)
(
)
−
sin
ϕ
0
cos
ϕ
⎝
⎠ ⎜ z0 ⎟
⎝ ⎠
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26
8.8 Résolution d’un système d’équations linéaires
Cas d’une matrice 2x2
Résolution de
⎛ a b ⎞⎛ x ⎞ = ⎛ z ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ c d ⎠⎝ y ⎠ ⎝ t ⎠
La solution est
⎛a b⎞
⎜
⎟
⎝c d⎠
⎡ ( d⋅ z − b ⋅ t) ⎤
⎛ z ⎞ ⎢ ( a⋅ d − b ⋅ c) ⎥⎥
⋅⎜ ⎟ = ⎢
⎝ t ⎠ ⎢ ( −c⋅ z + a⋅ t) ⎥
⎣ ( a⋅ d − b ⋅ c) ⎦
−1
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8.9 Inverse d’une matrice
L’inverse de la matrice M est la matrice M -1 telle que :
où I est la matrice identité.
M .M −1 = M −1.M = I
Inverse d’un produit de matrices : le produit des inverses mais calculé dans l’ordre inverse
( A.B )−1 = B −1. A −1
Cas d’une matrice 2x2 :
−1
1
⎛a b⎞ =
⎛ d −b ⎞
⋅⎜
⎜
⎟
⎟
( a⋅ d − b ⋅ c) ⎝ −c a ⎠
⎝c d⎠
a
Le dénominateur ( a⋅ d − b⋅ c) est le déterminant de la matrice. Si les deux vecteurs ⎛⎜ ⎞⎟ et
⎝c⎠
b
⎛ ⎞ sont colinéaires, ce déterminant est nul et la la matrice n’est pas inversible.
⎜ ⎟
⎝d⎠
Cas d’une matrice 3x3 :
⎛⎛ a b c ⎞⎞
Le déterminant de la matrice det ⎜ ⎜ d f g ⎟ ⎟ ou encore
⎜⎜
⎟⎟
⎝⎝ h k m⎠⎠
⎛a b c ⎞
⎜ d f g ⎟ est égal à
⎜
⎟
⎝ h k m⎠
a⋅ f ⋅ m − a⋅ g ⋅ k − d ⋅ b ⋅ m + d ⋅ c⋅ k + h ⋅ b ⋅ g − h ⋅ c⋅ f
Si un vecteur ligne (ou un vecteur colonne) de la matrice est une combinaison linéaire
d’autres vecteurs lignes (d’autres vecteurs colonnes), le déterminant de la matrice est nul.
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27
8.10 Matrices singulières, vecteurs propres et valeurs propres
Une matrice est singulière si son déterminant est nul : dans ce cas il n’est pas possible de
trouver la solution du système d’équations associé
Vecteur propres et valeurs propres
Si une matrice M est carrée de dimension nxn, il existe en général n vecteurs à n
composantes (nommés vecteurs propres v1 , v2 , L , vn ) et n scalaires (réels cou complexes)
nommés valeurs propres λ1 , λ 2 ,L, λn tels que
M .vk = vk .λk
Les valeurs propres sont les racines du déterminant de la matrice ( M − I .λ ) qui vérifient
ainsi
M − I .λ = 0
a b⎞
Par exemple dans le cas d’une matrice de dimensions 2x2 ⎛⎜
⎟, les deux valeurs propres
⎝c d⎠
a−λ
b ⎞
sont les racines de ⎛⎜
⎟ =0, c'est-à-dire de l’équation du deuxième degré
⎝ c d−λ⎠
2
λ − ( a + d )λ + ad − bc =0
⎛a b c ⎞
Et dans le cas d’une matrice de dimension 3x3, ⎜ d f g ⎟, les valeurs propres sont les trois
⎜
⎟
⎝ h k m⎠
racines de
c ⎞
⎛a − λ b
⎜ d f − λ g ⎟ =0
⎜
⎟
k m− λ⎠
⎝ h
C'est-à-dire de l’équation polynômiale du troisième degré
2
a⋅ f ⋅ m − a⋅ g ⋅ k − d ⋅ b ⋅ m + d⋅ c⋅ k + h ⋅ b ⋅ g − h ⋅ c⋅ f + ( g ⋅ k + d ⋅ b − a⋅ f − a⋅ m − f ⋅ m + h ⋅ c) ⋅ λ + ( a + f + m) ⋅ λ − λ
3
Les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative près ; quand une valeur
propre λ de la matrice M est connue, on calcule le vecteur propre associé en résolvant un
système linéaire d’équations. Par exemple dans le cas d’une matrice de dimension 2x2
⎛a b ⎞
⎜⎜
⎟⎟ le vecteur propre associée à la valeur propre λ (déjà calculée) est proportionnel
⎝c d ⎠
⎛ b ⎞
⎟⎟
au vecteur ⎜⎜
⎝λ − a⎠
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28
=0
Les lettres grecques
Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alphabet_grec
Lettre
Lettre
capitale minuscule Français
Α
α
alpha
β (var. ϐ)
Β
bêta
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ (var. ς)
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
gamma
delta
epsilon
dzêta
êta
thêta
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
rhô
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
oméga
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29
Références Utiles
On trouve une multitude de sites où ces notions sont détaillées et développées ; par
exemple, vous trouverez des informations intéressantes sur les sites suivants (octobre
2009)
Un site bien fait et plus complet que le présent résumé :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/index.html
Site sur les notations mathématiques
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_(mathematiques)
« Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences physiques et dans la
Technique ».(extraits de la norme internationale iso 31-11 :1992)
http://aalem.free.fr/maths/mathematiques.pdf
Pour le vocabulaire anglais
on pourra consulter le site
http://www.mathwords.com/
et, à ce sujet, plusieurs références sur la page
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/writing/writing.html
Les commentaires sont bienvenus ; contacts : [email protected]
[email protected]
[email protected]
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document
30
INDEX
Arc cosinus, 8
Arc tangente, 8
argument, 6
base, 24
changement de base, 24
combinaisons, 13
complexes, 5
composantes, 24
conjugué, 6
Cosinus, 7
croissante, 16
décroissante, 16
dérivable, 15
Dérivation, 15
dérivée, 15
dérivée seconde, 15
deuxième degré, 10
Développement limité, 17
Euler, 9
Exponentielle, 4
exponentielles complexes, 7
Exponentielles complexes, 9
factorielle, 13
Factorisation, 13
formules trigonométriques, 9
Fractions rationnelles, 14
grecques, 29
imaginaire, 5
Intégrale, 19
intégrales, 19
Inverse, 27
Inverse d’un nombre complexe, 6
inverse d’un produit de matrices, 27
logarithme, 3
Logarithme décimal, 3
Logarithme népérien, 3
Matrice identité, 22
Matrices singulières, 28
maximum, 16
minimum, 16
module, 6
Nombres complexes, 5
norme, 20
norme euclidienne, 20
partie imaginaire, 5
Partie réelle, 5
Pascal, 13
pôles, 14
Polynômes, 10
premier degré, 10
Primitive, 19
primitives, 19
Produit de matrices, 23
Produit scalaire, 20
Produit vectoriel, 21
racines, 11
Références, 30
résidu, 14
Résolution, 27
rotation, 25, 26
Série géométrique, 18
Sinus, 7
Tangente, 8
transposé, 20
transposée d’un produit, 23
trigonométriques, 7
valeurs propres, 28
vecteur, 20
Vecteur propres, 28
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31
Index HTML
Arc cosinus
Arc tangente
argument
base
changement de base
combinaisons
complexes
composantes
conjugué
Cosinus
croissante
décroissante
dérivable
Dérivation
dérivée
dérivée seconde
deuxième degré
Développement limité
Euler
Exponentielle
exponentielles complexes
Exponentielles complexes
factorielle
factorisation
formules trigonométriques
Fractions rationnelles
grecques
imaginaire
Intégrale
Inverse d’une matrice
Inverse d’un nombre
complexe
inverse d’un produit
de matrices
logarithme
Logarithme décimal
Logarithme népérien
Matrice identité
Matrices singulières
module
maximum
minimum
Nombres complexes
norme
norme euclidienne
partie imaginaire
Partie réelle
Pascal
pôles
Polynômes
premier degré
Primitive
primitives
Produit de matrices
Produit scalaire
Produit vectoriel
racines
Références
résidu
Résolution
rotation
rotation
Série géométrique
Sinus
Tangente
transposé (vecteur)
transposée (matrice)
transposée d’un produit
trigonométriques
valeurs propres
vecteur
Vecteur propres
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