dk - ensembles infinis

DK - ENSEMBLES INFINIS
On suppose connus les définitions et les théorèmes sur les ensembles finis.
I. Ensembles équipotents
Définition Deux ensembles E et F sont dits équipotents, s’il existe une bijection de l’un sur
l’autre, ce que l’on notera dans ce qui suit
E↔F.
Proposition 1 Dans un ensemble d’ensembles, la relation d’équipotence est une relation d’équivalence.
En prenant ϕ = IdE , qui est une bijection de E sur E, on a
E ↔E.
Si ϕ est une bijection de E sur F , alors ϕ−1 est une bijection de F sur E, donc
(E ↔ F ) ⇒ (F ↔ E) .
Si ϕ est une bijection de E sur F et ψ est une bijection de F sur G, alors ψ ◦ ϕ est une bijection de E
sur G, donc
((E ↔ F ) et (F ↔ G)) ⇒ (E ↔ G) .
Proposition 2 Si E est équipotent à F , alors P(E) est équipotent à P(F ).
Si ϕ est une bijection de E sur F , alors l’application qui à une partie A de E associe la partie ϕ(A)
de F est une bijection de P(E) sur P(F ).
Proposition 3 Si pour tout i d’un ensemble I, les ensembles Ei et Fi sont équipotents, alors le
produit cartésien ΠE des Ei est équipotent au produit cartésien ΠF des Fi .
En particulier, si E est équipotent à F , l’ensemble des suites à coefficients dans E est équipotent à
l’ensemble des suites à coefficients dans F .
DK 2
Pour tout i de I, soit ϕi une bijection de Ei sur Fi . On définit une bijection ϕ de ΠE sur ΠF en posant,
si (xi )i∈I appartient à ΠE ,
ϕ((xi )i∈I ) = (ϕi (xi ))i∈I .
Proposition 4 Si E1 est équipotent à F1 et E2 à F2 , alors l’ensemble des fonctions de E1 dans
E2 est équipotent à l’ensemble des fonctions de F1 dans F2 .
Pour tout i de {1, 2}, soit ϕi une bijection de Ei sur Fi . On définit une bijection ϕ de F (E1 , E2 ) dans
F (F1 , F2 ) en posant, si f appartient à F (E1 , E2 ),
ϕ(f ) = ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1 .
II. Caractérisation des ensembles infinis
Définitions
1) Un ensemble E est dénombrable s’il est équipotent à N.
2) Un ensemble E est infini s’il n’est pas fini
Proposition 5 Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) l’ensemble E est infini
ii) quel que soit a dans E, il existe une partie A de E dénombrable et contenant a
ii’) il existe une partie A de E dénombrable
iii) quel que soit a dans E, l’ensemble E \ {a} est équipotent à E
iii’) il existe a dans E tel que E \ {a} soit équipotent à E
iv) l’ensemble E est équipotent à une de ses parties strictes.
i) ⇒ ii)
Soit a dans E. Nous construisons par récurrence une suite (an )n≥0 d’éléments distincts de E.
Posons a0 = a, et supposons que l’on ait trouvé n éléments a0 , . . . , an−1 distincts dans E. Comme E
est infini, l’ensemble E n’est pas égal à {a0 , . . . , an−1 }, et il existe donc un élément an appartenant à
E \ {a0 , . . . , an−1 }. On construit donc ainsi une suite (an )n≥0 d’éléments distincts de E dont le premier
terme est a. Alors {an | n ∈ N} est une partie de E dénombrable et contenant a.
ii) ⇒ ii’) et iii) ⇒ iii’) sont évidents.
DK 3
ii) ⇒ iii) et ii’) ⇒ iii’)
Soit a dans E et {un | n ∈ N} une partie de E dénombrable et contenant a. Si up = a, on pose

si n = 0
 a
an =
un−1 si 1 ≤ n ≤ p .

un
si n ≥ p + 1
On construit une application bijective ϕ de E sur E \ {a} de la manière suivante :
pour tout entier n ≥ 0, on pose
ϕ(an ) = an+1 ,
et si x appartient à E \ {an | n ∈ N}, on pose
ϕ(x) = x .
iii) ⇒ iv) et iii’) ⇒ iv) sont évidents.
iv) ⇒ i) est évident, puisque un ensemble fini E n’est jamais équipotent à une de ses parties strictes
qui a moins d’éléments que E.
Remarque : il résulte de ce qui précède que si l’on retire un nombre fini d’éléments à un ensemble
infini E, on obtient un ensemble encore équipotent à E.
III. Caractérisation des ensembles équipotents
Proposition 6 Soit A et B deux ensembles non vides.
- S’il existe une application injective ϕ de A dans B, alors il existe une application surjective ψ de
B sur A.
- S’il existe une application surjective ϕ de A sur B, alors il existe une application injective ψ de B
dans A.
Soit une application injective ϕ de A dans B, et soit a un élément de A. Pour tout y de ϕ(A), il existe
un antécédent unique x de y par ϕ dans A : notons le ψ(y). Par ailleurs si y n’appartient pas à ϕ(A),
posons ψ(y) = a. Alors ψ est une application surjective de B sur A.
Soit une application surjective ϕ de A sur B. Pour tout y de B soit ψ(y) un antécédent de y. Alors
l’application ψ est une application injective de B dans A.
Théorème 1 Deux ensembles E et F sont équipotents si une des conditions suivantes est satisfaite
i) il existe une application injective de E dans F et une application injective de F dans E.
ii) il existe une application surjective de E sur F et une application surjective de F sur E.
iii) il existe une application injective de E dans F et une application surjective de E sur F .
DK 4
La propriété i) implique les deux autres compte tenu de la proposition précédente. Démontrons donc
cette propriété.
Soit ϕ une application injective de E dans F et ψ une application injective de F dans E. Si ψ est
surjective, le résultat est évident. Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors l’ensemble
A0 = ψ(F )C = E \ ψ(F ) ,
est non vide, et, pour tout n ≥ 0, posons
An = (ψ ◦ ϕ)n (A0 ) .
Donc, si n ≥ 1,
An = ψ(ϕ ◦ (ψ ◦ ϕ)n−1 (A0 )) ⊂ ψ(F ) .
Enfin notons
A=
∞
[
An .
n=0
Les ensembles An et A sont inclus dans E et ψ ◦ ϕ(A) est inclus dans A, .
Comme ψ est injective, elle définit une application bijective ψe de F sur ψ(F ), et donc ψe−1 est une
application bijective de ψ(F ) sur F .
Puisque A0 est inclus dans A, le complémentaire de A est inclus dans le complémentaire de A0 c’està-dire dans ψ(F ). On peut donc définir une application χ de E dans F en posant
ϕ(x)
si x ∈ A
.
χ(x) =
ψe−1 (x) si x ∈ AC
Etudions les propriétés de χ. On a tout d’abord
χ(A) = ϕ(A)
Donc
et χ(AC ) = ψe−1 (AC ) .
ψ(χ(A)) = ψ ◦ ϕ(A) ⊂ A ,
et
ψ(χ(AC )) = ψ(ψe−1 (AC )) = AC .
Il ne peut donc pas exister d’élément se trouvant à la fois dans χ(A) et dans χ(AC ) puisque son image
par ψ serait à la fois dans A et AC . Il en résulte que
χ(A) ∩ χ(AC ) = ∅ .
Alors, comme les restrictions de χ à A et à AC sont injectives, il en résulte que χ est injective.
Déterminons maintenant
χ(AC ) = ψe−1 (AC ) .
DK 5
En utilisant les formules concernant l’image réciproque, on a donc
χ(AC )C
= ψe−1 (AC )C
= ψe−1 (ψ(F ) \ AC )
= ψe−1 (ψ(F ) ∩ A)
!
∞
[
(ψ(F ) ∩ An )
= ψe−1
n=0
=
∞
[
n=0
avec
ψe−1 (ψ(F ) ∩ An ) ,
ψe−1 (ψ(F ) ∩ A0 ) = ψe−1 (∅) = ∅ .
Par ailleurs, si n ≥ 1, le sous-ensemble An est inclus dans ψ(F ), donc
ψe−1 (ψ(F ) ∩ An ) = ψe−1 (An )
= ψe−1 ◦ (ψ ◦ ϕ)n (A)
= ψe−1 ◦ ψ ◦ ϕ ◦ (ψ ◦ ϕ)n−1 (A)
= ϕ(An−1 ) .
Donc
χ(AC )C =
∞
[
ϕ(An−1 ) = ϕ
n=1
∞
[
An−1
n=1
!
= ϕ(A) = χ(A) .
Il en résulte donc que χ est surjective.
Notation
Soit E et F deux ensembles. S’il existe une application injective de E dans F (ou ce qui est équivalent,
une application surjective de F sur E), on notera
E≺F.
En particulier, si E ⊂ F , on a E ≺ F , puisque l’inclusion canonique est injective.
On peut traduire le théorème précédent en disant que
E≺F
et F ≺ E
implique
E↔F.
DK 6
Théorème 2 Pour tout ensemble E, on a
E ≺ P(E)
mais l’ensemble P(E) n’est pas équipotent à E.
L’application de E dans P(E) qui à x associe {x} est injective, donc
E ≺ P(E) .
Supposons qu’il existe une bijection ϕ de E sur P(E), et notons
A = {x ∈ E | x ∈
/ ϕ(x)} .
Posons
x0 = ϕ−1 (A) .
Alors
ϕ(x0 ) = A .
Donc, si x0 n’appartient pas à A = ϕ(x0 ), alors x0 devrait appartenir à A par définition de A, et si x0
appartient à A = ϕ(x0 ) alors il devrait ne pas appartenir à A, d’où une contradiction.
Proposition 7 Si E 2 est équipotent à E, alors, pour tout n ≥ 1, l’ensemble E n est équipotent à
l’ensemble E.
Cela se démontre par récurrence. Si E n est équipotent E, alors E n+1 est équipotent à E n × E donc à
E × E et finalement à E.
Proposition 8 Si E 2 est équipotent à E, alors pour tout n ≥ 1, l’ensemble P(E)n est équipotent
à l’ensemble P(E).
Le résultat est évident si E est vide, car P(E) est alors un singleton, donc P(E)n également. Supposons donc E non vide. Si E 2 est équipotent à E alors E est infini, car, pour un ensemble fini, les
ensembles E et E 2 n’ont pas le même nombre d’éléments. L’application qui à (A, B) dans (P(E)\{∅})2
associe A × B dans P(E 2 ) est injective. Mais puisque E 2 est équipotent à E, alors P(E 2 ) est équipotent à P(E). D’autre part, puisque P(E) est infini, l’ensemble P(E) \ {∅} est équipotent à P(E)
donc
(P(E) \ {∅})2 ↔ P(E)2 ≺ P(E 2 ) ↔ P(E) .
Par ailleurs, l’application qui à A associe (A, {∅}) est une application injective de P(E) dans P(E)2 ,
donc
P(E) ≺ P(E)2 .
DK 7
On en déduit que
P(E) ↔ P(E)2 .
Alors, d’après la proposition 7 appliquée à P(E), on obtient que P(E)n est équipotent à P(E).
IV. Une relation d’ordre
Proposition 9 Soit H un ensemble d’ensemble et H˙ l’ensemble des classes d’équivalences pour
˙ sur H˙ , en posant
la relation d’équipotence. On définit une relation d’ordre noté ≺
˙ Ḟ ) ⇐⇒ E ≺ F .
(Ė ≺
Montrons tout d’abord que la définition ne dépend pas des représentants choisis dans les classes.
Supposons que E1 ≺ E2 . Pour tout i de {1, 2}, soit ϕi une bijection de Ei sur Fi , et soit f une
application injective de E1 dans E2 , on définit une application injective de F1 dans F2 en posant
g = ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1 ,
donc F1 ≺ F2 .
On a alors, en prenant ϕ = IdE , qui est une application injective de E dans E,
E ≺E,
donc
˙ Ė .
Ė ≺
Si l’on a à la fois
˙ Ḟ et Ḟ ≺
˙ Ė ,
Ė ≺
alors il existe une application injective de E dans F et une application injective de F dans E, et d’après
le théorème 1, les ensembles E et F sont équipotents, donc
Ė = Ḟ .
Si l’on a à la fois
˙ Ḟ et Ḟ ≺
˙ Ġ ,
Ė ≺
soit ϕ une application injective de E dans F et ψ une application injective de F dans G, alors ψ ◦ ϕ
est une application injective de E dans G, donc
˙ Ḟ ) et (Ḟ ≺
˙ Ġ)) ⇒ (Ė ≺
˙ Ġ) .
(Ė ≺
Remarque : en particulier si l’on a la situation suivante :
E ↔A≺B ≺C ↔E,
DK 8
alors, en passant aux classes
˙ Ḃ ≺
˙ Ė ,
Ė ≺
d’où l’on déduit que
Ḃ = Ė ,
c’est-à-dire que E et B sont équipotents.
Proposition 10 Un ensemble E est équipotent à une partie de F si et seulement si il existe une
application injective de E dans F , ou une application surjective de F sur E.
Si E est équipotent à une partie A de F , il existe une bijection ϕ de E sur A. On peut la considérer
comme une application injective de E dans F . Il existe alors une application surjective de F sur E.
Réciproquement, s’il existe une application injective ϕ de E dans F , alors on peut la considérer comme
une application bijective de E sur ϕ(E) et E est équipotent à ϕ(E) qui est une partie de F . Par
ailleurs, s’il existe une application surjective de F sur E, alors il existe une application injective de E
sur F .
V. Les intervalles de R
Proposition 11 Tout intervalle I de R non vide, et non réduit à un point est équipotent à R.
L’ensemble R contenant l’ensemble dénombrable N est infini.
Pour les intervalles ouverts, les fonctions usuelles donnent des bijections continues :
a) si I = ] a, b [ , l’application ϕ définie par
ϕ(x) =
a+b
b−a
arctan x +
π
2
est une bijection de R sur I.
b) si I = ] a, +∞ [ l’application ϕ définie par
ϕ(x) = ex + a
est une bijection de R sur I.
c) si I = ] −∞, b [ l’application ϕ définie par
ϕ(x) = b − ex
DK 9
est une bijection de R sur I.
Les autres intervalles contiennent un intervalle ouvert et sont donc infinis. Alors ils sont équipotents à
l’intervalle ouvert de mêmes bornes obtenu en lui retirant les bornes.
VI. Les ensembles dénombrables
Proposition 12 Si E est dénombrable, toute partie de E est dénombrable ou finie.
Soit A une partie infinie de E. Elle contient une partie B dénombrable, alors
N ↔ B ≺ A ≺ E ↔ N.
d’où l’on déduit que
A ↔ N,
c’est-à-dire que A est dénombrable.
Proposition 13 Un ensemble E non vide est dénombrable ou fini si et seulement si il existe une
application injective de E dans N, ou une application surjective de N sur E.
Si E est dénombrable, il existe une application bijective de E sur N et si E est fini de cardinal n, il
existe une bijection de E sur {1, 2 . . . n} qui définit une application injective de E dans N.
Réciproquement, s’il existe une application injective ϕ de E dans N, alors E est équipotent à ϕ(E) qui
est une partie dénombrable ou finie de N d’après la proposition précédente.
Proposition 14 Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
On montre que N2 est dénombrable, en vérifiant que l’application ϕ de N2 dans N, définie par
1
ϕ(i, j) = (i + j)(i + j + 1) + i ,
2
est bijective. Pour cela considérons la suite (Un )n≥0 définie par
Un =
n
X
k=0
k=
n(n + 1)
.
2
C’est une suite strictement croissante de nombres entiers.
DK 10
Si p appartient à n, il existe un unique nombre n tel que
Un ≤ p < Un+1 .
On a alors
0 ≤ p − Un < Un+1 − Un = n + 1 ,
donc
0 ≤ p − Un ≤ n ,
et si l’on pose
i = p − Un
et j = n − i ,
i et j sont des entiers positifs et on a alors
p=
1
(i + j)(i + j + 1) + i = ϕ(i, j) ,
2
et ce couple (i, j) est l’unique couple possible, ce qui montre que l’application ϕ est bijective.
Remarque : cette bijection revient à disposer N2 sous forme de matrice infinie et à décrire ce tableau
en parcourant les diagonales : (0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), etc. . .
L’équipotence se conservant dans les produits cartésiens, on en déduit que le produit de deux ensembles
dénombrables est dénombrable.
On démontre alors par récurrence que le produit cartésien de n ensembles dénombrables est dénombrable. C’est vrai pour n = 1. Supposons la propriété vrai à l’ordre n. Si E1 , . . . , En+1 sont dénombrables, alors E1 × · · · × En est dénombrable par hypothèse de récurrence, et (E1 × · · · × En ) × En+1
est le produit de deux ensembles dénombrables, donc est dénombrable. Comme (E1 × · · · × En ) × En+1
et E1 × · · · × En × En+1 sont équipotents, cela donne la propriété à l’ordre n + 1. Donc elle est vraie
pour tout n ≥ 1.
Proposition 15 Une réunion dénombrable ou finie d’ensembles dénombrables ou finis qui contient
un ensemble dénombrable est dénombrable.
C’est le cas en particulier
1) d’une réunion dénombrables d’ensembles finis disjoints non vides,
2) si un des ensembles au moins est dénombrable.
On peut toujours, quitte à répéter une infinité de fois un des ensembles, considérer une suite dénombrable (Ei )i∈N d’ensembles de réunion E, et pour tout i ∈ N, soit ϕi une surjection de N sur Ei . On
définit une application ϕ de N2 dans E en posant
ϕ(i, j) = ϕi (j) .
Cette application est surjective, donc
E ≺ N2 ↔ N .
DK 11
Mais E contient un ensemble dénombrable, donc
N≺E.
Il en résulte que
E ↔ N,
donc que E est dénombrable.
En particulier, pour une réunion dénombrable disjointe d’ensembles finis non vides Ei , on choisit pour
tout i un élément ai de Ei . Ces éléments sont distincts puisque la réunion est disjointe. On obtient
donc une application injective ψ de N dans E en posant
ψ(i) = ai .
Il en résulte que E contient un ensemble dénombrable.
Exemples d’ensembles dénombrables
1) l’ensemble Z
On définit une bijection ϕ de Z sur N en posant
ϕ(n) =
2n
−2n − 1
si n ≥ 0
.
si n < 0
2) L’ensemble Q
L’ensemble Q contient N, donc
N ≺ Q.
On définit une application injective ϕ de Q dans Z × N en posant
ϕ(0) = (0, 1) ,
et si p = n/d est le quotient de deux nombres entiers premiers entre eux, avec d > 0,
ϕ(p) = (n, d) .
Alors
N ≺ Q ≺ Z × N ↔ N2 ↔ N .
3) Les ensembles Z[X] et N[X]
L’ensemble Zn [X] est dénombrable, car il est équipotent à Zn+1 , par l’application qui à un polynôme
a0 + · · · + an X n associe le (n + 1)−uplet (a0 , . . . , an ).
DK 12
Alors Z[X] est la réunion dénombrable des ensembles Zn [X], et il contient Z0 [X] = Z qui est dénombrable, donc Z[X] est dénombrable.
Même démonstration pour N[X].
4) L’ensemble des nombres algébriques
Tout d’abord, l’ensemble I des polynômes non constants à coefficients entiers est inclus dans Z[X] qui
est dénombrable et contient {X − a | a ∈ Z} qui est dénombrable. Donc I est dénombrable.
Ensuite, à tout polynôme P de I, on associe l’ensemble AP de ses racines. Alors l’ensemble des nombres
algébriques A est réunion dénombrable d’ensembles finis non vides
[
A=
AP ,
P ∈I
et il contient N donc il est dénombrable.
5) L’ensemble Pf (N) des parties finies de N
L’application de N dans Pf (N) qui à n associe {n} est injective, donc
N ≺ Pf (N) ,
et Pf (N) est infini. Alors
Pf (N) ↔ Pf (N) \ {∅} .
L’application ϕ qui à une partie finie non vide A = {a0 , . . . , an } où a0 < a1 · · · < an , associe le
polynôme
ϕ(A) = a0 + · · · + an X n ,
est une application injective de l’ensemble des parties finies non vides dans Z[X]. Donc
Pf (N) \ {∅} ≺ N[X] ↔ N .
6) L’ensemble Sc (Z) des suites convergentes (ou stationnaires) de nombres entiers
L’ensemble S00 (Z) des suites de nombres entiers, nulles à partir d’un certain rang est équipotent à
Z[X], donc dénombrable.
Comme
S00 (Z) ⊂ Sc (Z) ,
on a
N ↔ S00 (Z) ≺ Sc (Z) .
L’application ϕ qui à une suite u de Sc (Z) qui converge vers a associe le couple (u − a, a) est une
application injective à valeurs dans S00 (Z) × Z, qui est dénombrable comme produit d’ensembles
dénombrables, donc
Sc (Z) ≺ S00 (Z) × Z ↔ N .
DK 13
VII. Les ensembles équipotents à R
Prérequis : soit N un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout nombre réel a il existe un entier p ≥ 0, une
suite {a−p , . . . , a0 , . . . , an , . . .) de nombres entiers, où les nombres an appartiennent à {0, . . . , N − 1},
a−p n’est pas nul si p ≥ 1, et les nombres an ne sont pas tous égaux à N − 1 à partir d’un certain rang,
tels que
∞
X
an N −n ,
a=
n=−p
et ceci de manière unique.
Cette somme est appelée, décomposition de a en base N .
Les nombres de l’intervalle [ 0, 1 [ sont exactement ceux pour lesquels p = 0 et a0 = 0.
Les nombres entiers sont les nombres tels que an = 0 si n > 0.
Remarque : on a
∞
X
(N − 1)N −n = N −q+1 .
n=q
Proposition 16 L’ensemble R n’est pas dénombrable.
Supposons par l’absurde que R soit dénombrable. Il existerait donc une suite de nombres réels telle
que
R = {an | n ≥ 1} .
Si l’on écrit les nombres an en base 10, soit αn la n−ième décimale de an , et soit βn un nombre entier
compris entre 0 et 8, distinct de αn . Alors, quel que soit n ≥ 1, le nombre réel
a=
∞
X
βn 10−n ,
n=1
diffère de an par sa n−ième décimale et n’appartient donc pas à {an | n ≥ 1}, d’où une contradiction.
Remarque : l’ensemble P(N) n’est pas dénombrable, puisque P(E) et E ne sont pas équipotents.
On verra plus loin qu’en fait P(N) et R sont équipotents. Nous allons donner une liste de résultats
qui nous permettrons de montrer cela.
Proposition 17 L’ensemble Rn est équipotent à R.
DK 14
On démontre cette propriété pour n = 2, le cas général s’en déduit par récurrence.
Tout d’abord l’application ϕ de R dans R2 qui à x associe (x, 0) est injective.
Soit maintenant (x, y) dans R2 , si l’on écrit ces nombres en base 10
x=
∞
X
an 10−n
et y =
∞
X
bn 10−n ,
n=−q
n=−p
on associe à (x, y) le nombre
ψ(x, y) =
∞
X
an 10−2n +
∞
X
bn 10−2n−1 ,
n=−q
n=−p
et l’application ψ est une application injective de R2 dans R. Ces deux ensembles sont donc équipotents.
Corollaire 1 Pour toute partie A non vide, dénombrable ou finie, l’ensemble R×A est équipotent
à R.
Si a appartient à A, l’application ϕ définie par
ϕ(x) = (x, a) ,
est une application injective de R dans R × A, donc
R ≺ R × A,
Si φ est une application injective de A dans N, alors l’application ψ définie par
ψ(x, a) = (x, φ(a)) ,
est une application injective de R × A dans R2 , donc
R × A ≺ R2 ↔ R .
Proposition 18 Une réunion dénombrable d’ensembles équipotents à R est équipotente à R.
Soit (Ei )i≥0 une suite d’ensembles équipotents à R, et E sa réunion. Soit ϕi une bijection de R sur Ei .
On définit une application ϕ de R × N dans E, en posant
ϕ(x, i) = ϕi (x) .
DK 15
Cette application est surjective, donc
E ≺ R ×N ↔ R.
Mais comme E contient E1 , on a
R ↔ E1 ≺ E .
Exemples d’ensembles équipotents à R
1) L’ensemble S ({0, . . . , N − 1})
Si a =
∞
X
an N −n est la décomposition en base N d’un nombre de l’intervalle [ 0, 1 [ , l’application ϕ
n=1
définie par
ϕ(a) = (an )n≥1 ,
est une application injective de [ 0, 1 [ dans S ({0, . . . , N − 1}).
Si (an )n≥0 est un élément de S ({0, . . . , N − 1}), l’application ψ définie par
ψ((an )n≥1 ) =
∞
X
an (N + 1)−n ,
n=1
est une application injective de S ({0, . . . , N − 1}) dans [ 0, 1 [ . (On a augmenté la base pour autoriser
les suites dont tous les termes valent N − 1 à partir d’un certain rang).
Il en résulte que S ({0, . . . , N − 1}) est équipotent à [ 0, 1 [ donc à R.
2) L’ensemble S (N)
Soit a = (an )n≥0 une suite de nombres entiers. Si l’on écrit
an =
pn
X
ank N k ,
k=0
on associe à a la suite ϕ(a) de S ({0, . . . , N }) définie par
ϕ(a) = (a00 , . . . , a0p0 , N, a10 , . . . , a1p1 , N, . . .) .
C’est une application injective de S (N) dans S ({0, . . . , N }). Donc
S (N) ≺ S ({0, . . . , N }) ↔ R .
Mais puisque S ({0, . . . , N }) est inclus dans S (N), on a également
R ↔ S ({0, . . . , N }) ≺ S (N) .
DK 16
3) L’ensemble S (R)
Comme R est équipotent à [ 0, 1 [ , l’ensemble S (R) est équipotent à S ( [ 0, 1 [ ). A tout élément
a = (an )n≥0 de S ( [ 0, 1 [ ), on associe une application ϕ(a) de N2 dans {0, . . . , 9}, où ϕ(a)(i, j) est
la j−ème décimale du nombre ai . L’application ϕ est une application injective de S ( [ 0, 1 [ ) dans
F (N2 , {0, . . . , 9}). Mais comme N2 est équipotent à N, l’ensemble F (N2 , {0, . . . , 9}) est équipotent à
F (N, {0, . . . , 9}) = S ({0, . . . , 9}) donc à R. Alors
S (R) ↔ S ( [ 0, 1 [ ) ≺ F (N2 , {0, . . . , 9}) ↔ R .
Par ailleurs, puisque S (N) est inclus dans S (R), on a
R ↔ S (N) ≺ S (R) .
Donc
S (R) ↔ R .
4) L’ensemble des suites croissantes à coefficients dans N
L’application qui à une suite à coefficients dans N associe la suite des sommes partielles est une application bijective.
5) L’ensemble P(N)
L’application qui à une partie de N associe sa fonction caractéristique est une application bijective de
P(N) sur l’ensemble S ({0, 1}), donc P(N) est équipotent à S ({0, 1}) donc à R.
6) Les ensembles R[X] et C[X]
L’application qui à un polynôme associe la suite de ses coefficients est injective, donc
R[X] ≺ S (R) ↔ R ,
et par ailleurs R[X] contient R0 [X] = R.
Même résultat avec C puisque C ↔ R2 ↔ R.
Proposition 19 Soit Π un produit cartésien dénombrable d’ensembles non vides équipotents à
une partie de R. Si Π contient une partie équipotente à R alors il est équipotent à R.
C’est le cas en particulier, si les ensembles ne sont pas tous réduits à un point, ou si un des ensembles
est équipotent à R.
Si (Ei )i∈N est une suite d’ensembles, et si ϕi est une application injective de Ei dans R, on définit une
application injective ϕ du produit cartésien Π des Ei à valeurs dans S (R) en posant
ϕ((ai )i∈N ) = (ϕi (ai ))i∈N ,
DK 17
donc
Π ≺ S (R) ↔ R .
Si l’on a
R ≺ Π,
on obtient donc
Π ↔ R.
Lorsque chaque ensemble Ei contient au moins deux éléments distincts ai et bi on définit une application
injective de S ({0, 1}) dans Π en associant à toute suite (un ) de S ({0, 1}), l’élément (vn ) de Π défini
par
an si un = 0
vn =
bn si un = 1
Donc
R ↔ S ({0, 1}) ≺ Π ,
et Π contient une partie équipotente à R.
VIII. Les ensembles équipotents à P(R)
Proposition 20 Quel que soit l’ensemble A, l’ensemble des suites de fonctions de R dans A est
équipotent à l’ensemble des fonctions de R dans A.
Les ensembles F (N, F (R, A)) et F (N × R, A) sont canoniquement isomorphes. Par ailleurs, puisque
N × R est équipotent à R, les ensembles F (N × R, A) et F (R, A) sont équipotents.
Exemples d’ensembles équipotents à P(R)
1) L’ensemble P(R)n
C’est une conséquence de la proposition 8, puisque R2 est équipotent à R.
2) L’ensemble des fonctions de R dans A, où A est un ensemble fini contenant au moins
deux éléments
Posons Ep = {0, . . . , p − 1}. L’application qui à une partie de R associe sa fonction caractéristique est
une bijection de P(R) sur F (R, E2 ).
Comme
F (R, E2n ) = F (R, E2 )n ↔ P(R)n ↔ P(R) ,
le résultat est vrai pour tout ensemble fini A dont le cardinal est une puissance de 2. Soit n et p tels
que 2 ≤ p ≤ 2n , alors on a les injections suivantes
F (R, E2 ) → F (R, Ep ) → F (R, E2n ) ,
DK 18
et donc tous ces ensembles sont équipotents à P(R). La proposition en découle.
3) L’ensemble des fonctions de R dans R
Si f est une fonction de R dans [ 0, 1 [ , et si x est un réel, notons (fi (x))i≥0 la suite des décimales de
f (x). Soit ϕ l’application de F (R, [ 0, 1 [ ) dans F (N, F (R, {0, . . . , 9})) qui à f associe (fi )i≥0 . C’est
une application injective et d’après la proposition 20,
F (R, [ 0, 1 [ ) ≺ F (N, F (R, {0, . . . , 9})) ↔ F (R, {0, . . . , 9}) ↔ P(R) .
Par ailleurs on a l’injection
F (R, {0, 1}) → F (R, [ 0, 1 [ ) ,
donc
P(R) ↔ F (R, {0, 1}) ≺ F (R, [ 0, 1 [ ) .
Il en résulte que F (R, [ 0, 1 [ ) et P(R) sont équipotents.
Enfin, puisque [ 0, 1 [ et R sont équipotents, il en est de même de F (R, [ 0, 1 [ ) et de F (R, R).
Finalement F (R, R) et P(R) sont équipotents.
4) L’ensemble des fonctions de R dans A, où A est un sous-ensemble de R contenant au
moins deux éléments
Si a et b sont deux éléments distincts de A, on a les injections
F (R, {a, b}) → F (R, A) → F (R, R) .
et ces trois ensembles sont équipotents à P(R).
5) L’ensemble des suites de parties de R
Comme R est équipotent à l’ensemble S ({0, 1}) = {0, 1}N des suites de nombres entiers à coefficients
dans {0, 1}, on a
P(R) ↔ F (R, R) ↔ F (R, {0, 1}N ) ↔ F (R, {0, 1})N = P(R)N = S (P(R)) .