L`essentiel sur la mécanique Mécanique newtonienne Le référentiel

L’essentiel sur la mécanique
1. Mécanique newtonienne
1.1. Le référentiel
1.1.1. Le référentiel galiléen
Définition :
Un référentiel est dit galiléen si, dans ce référentiel, tout corps isolé ou pseudo-isolé persévère dans son état de
repos (s’il était initialement immobile) ou de mouvement rectiligne et uniforme (1ère loi de Newton).
Pour décrire le mouvement d’un objet, il faut connaitre deux informations :
-
sa trajectoire : elle nous informe sur la position de l’objet au cours du temps ;
sa vitesse : elle nous informe sur la rapidité avec laquelle l’objet se déplace (sur la trajectoire parcourue).
1.1.2. Les référentiels usuels
Il existe des référentiels particuliers et « pratiques » :

Le référentiel terrestre : c'est le référentiel constitué par la Terre (ou par tout ce qui est fixe par rapport à la
Terre). Il est considéré comme galiléen si l’étude du système ne dépasse pas quelques minutes (pour négliger le
mouvement de rotation propre de la Terre).
 On choisira ce référentiel pour étudier le mouvement d’un objet sur la Terre ou au voisinage de celle-ci.

Le référentiel du laboratoire : c'est un référentiel lié à la Terre. Il est considéré comme galiléen dans les mêmes
conditions que le référentiel terrestre.

Le référentiel géocentrique : c'est le référentiel constitué par un corps solide fictif, de même dimensions et de
même centre que la Terre mais ne tournant pas sur lui-même comme la Terre. Il est considéré comme galiléen si
l’étude du système ne dépasse pas quelques heures (pour négliger le mouvement de révolution de la Terre
autour du Soleil).
 On préfère ce référentiel (mieux adapté que le référentiel terrestre) pour étudier le mouvement de la Lune ou des
satellites.

Le référentiel héliocentrique : c’est un référentiel constitué par le centre du Soleil et des étoiles fixes. Il est
considéré comme galiléen.
 On utilise ce référentiel pour étudier le mouvement des planètes.
1.2. Les forces usuelles
Rappel : Un solide qui n’est soumis à aucune force est dit « isolé », un solide soumis à un ensemble de forces qui se
compensent est dit « pseudo-isolé ».
 La force de gravitation
L’interaction gravitationnelle entre deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives mA et mB, séparés d’une
distance d, est modélisée par des forces d’attraction gravitationnelles, FA/B et FB/A , dont les caractéristiques sont :
d
A
mA
FA/B = FB/A
m × mB
=G A
d²
FB/A
FA/B
B
mB
mA et mB = masses respectives de A et B (en kg)
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (constante de gravitation)
d = distance entre A et B (en m)
FA/B et FB/A (en N)
 FA/B et FB/A ont donc même direction, même valeur mais sont de sens opposé.
 Le poids

On identifiera le poids P d’un corps à la force d’attraction gravitationnelle FTerre/corps exercée par la Terre sur ce
corps :
FTerre/corps P  m  g

L’intensité de la pesanteur terrestre dépend de la masse de l’astre et de la distance, h (altitude), entre le lieu
considéré et le centre de l’astre :
gT = G
MT
RT  h 
2
(h = 0 à la surface de la Terre)
 La valeur du poids d’un corps varie selon l’altitude du lieu où il se trouve.
 Force de Coulomb
Loi de Coulomb : Deux charges électriques, qA et qB, exercent l’une sur l’autre des forces d’interaction
électrostatique dont la valeur est proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de
la distance d qui les sépare.
qA et qB : charges (en C)
FA/B = FB/A = k ×
k = 9 ×109 N.m2 .C 2
d  distance entre qA et qB (en m)
qA × qB
d²
FA/B et FB/A : intensités (en N)
Caractéristiques :
Signe des charges qA et qB
FB/A
A
B
qA
qB
d
A FB/A
qA
Même signe




Répulsives
Même direction
Sens contraires
Même valeur (FA/B = FB/A)
Signe contraire




Attractives
Même direction
Sens contraires
Même valeur (FA/B = FB/A)
FA/B
FA/B B
d
qB
Forces
 Forces de contact entre solides
Lorsqu’un corps est posé sur un support, il subit une une
force appelée « réaction du support », notée R , qui se
décompose en une somme de deux forces :
-
La réaction normale R n traduisant le fait que le
corps ne s’enfonce pas dans le support ;
-
La réaction tangentielle R T , aussi appelée force de
frottement solide, traduisant la résistance du
support au mouvement du corps.
 Forces exercées par les fluides (liquide ou gaz)
-
La poussée d’Archimède, notée  , verticale et orientée vers le haut, dont la valeur (intensité) est :
  ρVg
-
ρ  masse volumique du fluide (en g.L1 )

V  volume occupé par le corps immergé (en L)
g  intensité de la pesanteur (g  9,81 m.s 2 )

La force de frottement fluide, notée f , traduisant la résistance du fluide au mouvement du corps : c’est
une forces de contact qui s’opposent au déplacement de l’objet.
 Tension d’un fil
Il s’agit d’une force exercée par un fil inextensible, on la note T , sa direction est celle du fil et elle est orientée de
l’extrémité en contact avec le système vers l’extrémité opposée du fil.
1.3. Les différents types de mouvements
1.3.1. Le mouvement rectiligne
 Un mouvement est rectiligne si la trajectoire du solide est une droite.
1.3.2. Le mouvement circulaire
 Un mouvement est circulaire si la trajectoire du solide est un cercle.
Remarques :
-
Le mouvement circulaire non uniforme :
Dans le cas d’un mouvement circulaire, à chaque instant, l’accélération peut se
décomposer en deux vecteurs :
a  an  a
-
a n : accélération normale, centripète ;
a T : accélération tangentielle, tangente à la trajectoire et orientée
dans le sens du mouvement.
Dans le repère local (A ; u n , u τ ), est appelé repère de Frenet, on montre que
les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération sont :

v2
a

 n
r
a
dv
a 
  dt
vn  0
v
v  v
-
(r = rayon de la trajectoire, en m)
Le mouvement circulaire uniforme (MCU) :
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est constante donc :
a  an 
v2
R
1.4. Les lois de Newton
1ère loi de Newton
Énoncé : dans un référentiel galiléen , lorsqu'un solide est isolé ou pseudo-isolé, son centre d'inertie G est :


soit au repos, si G est initialement immobile ;
soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Si vG  0 alors
F
ext
 0 et réciproquement
Autre formulation :
Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme s’il n’est soumis à aucune
action mécanique (système isolé) ou si les actions mécaniques qui s’exercent sur lui se compensent (système
pseudo-isolé) et réciproquement.
2ème loi de Newton
Énoncé : dans un référentiel galiléen , la somme des forces extérieures (ou résultante) qui s’exercent sur un
système de masse m est égale à la dérivée par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement :
 dp(t ) 

 dt  
F  
Si la masse

se conserve
 F  m  a(t )
Remarque : cette loi est aussi connue sous la dénomination « théorème du centre d'inertie » ou « relation
fondamentale de la dynamique ».
3ème loi de Newton
Énoncé : lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mécanique représentée par une force FA/B , le corps B
exerce sur A une action mécanique représentée par une force FB/A . Ces deux forces ont même direction, même
norme mais sont de sens contraire.
FA/B   FB/A
Remarque : cette loi est aussi connue sous la dénomination « principe de l'action et de la réaction ».
2. Dynamique newtonienne
Pour étudier un problème de mécanique, il faut effectuer un « rituel » avant de commencer sa résolution :
-
Définir le système étudié ;
Définir dans quel référentiel le mouvement du système est étudié ;
Faire le bilan des forces extérieures qui agissent sur le système.
Ce « rituel » n’est pas systématiquement
nécessaire ou demandé dans un exercice
de Bac
 On ramène alors l’étude du mouvement système à celle de son centre d’inertie, noté, en général, G.
Remarque :
Pour étudier le mouvement du centre d’inertie G d’un solide dans un référentiel, il faut définir deux choses :
-
un repère d’espace orthonormé (ou repère cartésien) (O ; i, j , k ) (ci-contre), qui a pour origine O et
pour vecteurs unitaires (i, j , k ) : la position du solide est donnée par son vecteur position OG à un
instant t.
-
un repère de temps : le temps est compté à partir d’une origine à laquelle t = t0 = 0 s.
Dans la suite de ce résumé de cours, ce
référentiel (repère d’espace + repère de
temps) servira de référence pour les
différentes études.
 L’ensemble (repère d’espace + repère de temps) constitue un référentiel.
2.1. Énergie cinétique
Définition
On appelle énergie cinétique d’un mobile, l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement. Pour un solide en
translation (tous les points ont le même vecteur vitesse). Elle se note Ec et s’exprime en Joule (symbol : J) :
Ec = énergie cinétique (en J)
m = masse du solide (en kg)
VG = vitesse du centre d’inertie du solide (en m.s-1)
Ec 
1
mVG2
2
Théorème de l’énergie cinétique :
Définition
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un solide, entre les instants tinitial et tfinal, est égale à
la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants :
1
1
2
2
mV final
 mVinitial
=
2
2
 W(F
ext
)
2.2. Énergie potentielle de psesanteur
Définition
L’énergie potentielle de pesanteur est l’énergie que possède un solide lorsqu’il est en mouvement. Elle se note EPP
(ou EP) et s’exprime, dans le système internationale d’unité, en joule (symbole : J). Pour un solide en mouvement de
translation, son expression est donnée par :
m  masse du solide en mouvement (en kg)
EPP  m g z  Cte
g  intensité de pesanteur (9,81 N.kg 1 pour la Terre)
z  altitude du solide (en m)
EPP  énergie potentielle de pesanteur du solide (en J)
 « Cte » est une constante (Cte  ℝ) prise par convention égale à 0 lorsque z = 0 m  EP = 0 pour z = 0 m.
Remarque : La variation de l’énergie potentielle de pesanteur Epp est toujours donnée par la relation :
Epp = EppB  EppA = mg  (zB – zA) = – WAB( P ) ( §2.12.2)
2.3. Énergie potentielle élastique
Définition
L’énergie potentielle élastique est l’énergie que possède un ressort du fait de sa déformation. Elle se note EPE et
s’exprime, dans le système internationale d’unité, en joule (symbole : J) :
1
EPE  k x 2
2
k  constante de raideur du ressort (en N.m1 )
x  élongation (en m)
EPE  énergie potentielle élastique du ressort (en J)
2.4. Énergie mécanique
Définition
On appelle énergie mécanique d’un solide en interaction avec la Terre, la somme de son énergie cinétique et de son
énergie potentielle, elle se note Em et s’exprime en Joule (symbole : J) :
EM = EC + E P =
1
mv² + mg  z
2
2.5. Le vecteur position
Lorsque l’étude du mouvement d’un solide est réduite à celle de son centre d’inertie G, le vecteur position a pour
coordonnées, dans le repère définie précédemment :
 xG (t ) 


OG  yG (t ) 
 z (t ) 
 G 
 x(t ) 


ou OG y (t )


 z (t ) 


Que l’on peut aussi écrire : OG  x(t ) i  y (t ) j  z (t ) k
et OG  OG 
x(t )²  y(t )²  z (t )²
 Les équations donnant x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations horaires du centre d’inertie G du système.
2.6. Le vecteur vitesse
2.6.1. Vitesse moyenne
Le vecteur vitesse moyenne v(ti ) à un instant ti est défini par :
v(ti ) 
OG(ti 1 )  OG(ti 1 ) G(ti 1 )G(ti 1 )
OG(ti )

 v(ti ) 
t
ti 1  ti 1
ti 1  ti 1
Le vecteur vitesse v(ti ) d’un point mobile à un instant t est caractérisée par :
-
Sa direction : la tangente à la trajectoire au point considéré ;
Son sens : celui du mouvement à l’instant ti ;
-
Sa valeur :
G(ti 1 ) G(ti 1 )
, qui s’exprime en mètre par seconde (m.s–1).
ti 1  ti 1
2.6.2. Vitesse instantanée
 Lorsque t tend vers zéro (durée infinitésimale) dans l’expression ci-dessus, la vitesse moyenne v (t ) tend vers
une vitesse limite appelée vitesse instantanée qui est la vitesse moyenne entre deux positions infiniment proches.
On montre que c’est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, à l’instant t :
v(t ) 
d OG(t )
dt
Les coordonnées du vecteur vitesse instantanée v (t ) dans le repère (O ; i, j , k ) sont :
dx(t )

vx (t )  dt

dy (t )

v(t ) v y (t ) 
dt

dz (t )

vz (t )  dt

Que l’on peut aussi écrire : v(t ) 
2.7. Le vecteur accélération
2.8. Accélération moyenne
dx(t )
dy (t )
dz (t )
i
j
k et v(t )  v(t ) 
dt
dt
dt
 vx (t )  ²   vy (t )  ²   vz (t )  ²
Le vecteur accélération moyenne a(ti ) à un instant ti est défini par :
a(ti ) 
v(ti 1 )  v(ti 1 )
v(ti )
 a (ti ) 
t
ti 1  ti 1
Le vecteur accélération a(ti ) d’un point mobile à un instant t est
caractérisée par :
-
Sa direction : identique à celle du vecteur v(ti ) au point considéré ;
-
Son sens : identique à celle du vecteur v(ti ) à l’instant ti ;
-
Sa norme (valeur) :
v(ti 1 )  v(ti 1 )
qui s’exprime en m.s–2.
ti 1  ti 1
2.9. Accélération instantanée
Lorsque t tend vers zéro (durée infinitésimale) dans l’expression précédente, l’accélération moyenne a (t ) tend
vers une accélération limite appelée accélération instantanée qui est l’accélération moyenne entre deux positions
infiniment proches.
On montre que c’est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, à l’instant t :
a (t ) 
d v(t ) d ²OG(t )

dt
dt ²
Les coordonnées du vecteur accélération instantanée a (t ) dans le repère (O ; i, j , k ) sont :
dvx (t )

ax (t )  dt

dv y (t )

a (t ) a y (t ) 
dt

dvz (t )

az (t )  dt

Que l’on peut aussi écrire : a(t ) 
dv y (t )
d ² x(t )
d ² y (t )
d ² z (t )
dvx (t )
dv (t )
i
j
k
i
j z
k ou a(t ) 
dt ²
dt ²
dt ²
dt
dt
dt
..
..
..
ou a(t )  x(t ) i  y(t ) j  z (t ) k
et a(t )  a(t ) 
 ax (t )  ²   ay (t )  ²   az (t ) ²
2.10. Les équations horaires d’un mouvement
2.10.1. Le mouvement de chute libre
x
x
i
i
y
O
G
y
O
G
j
j
k
k
g0
g0
v0
z
z
Chute sans vitesse initiale
Chute avec vitesse initiale
Système : la balle
Référentiel : référentiel terrestre
Bilan des forces extérieures :
-
En considérant que seule agit l’action mécanique exercée
par la Terre sur Intégration
la balle (on néglige l’action mécanique de Intégration
l’air ou force de frottements).
P  m  g0
La 2ème loi de Newton permet d’écrire :
m  g 0  m  aG  aG  g 0
Les équations horaires du mouvement sont :
Vitesse initiale nulle
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0
Vitesse initiale non nulle
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0
Intégration

Intégration

 vx (t )  0

vG  v y (t )  0

 vz (t )  g 0t
Intégration


 x(t )  0

OG  y (t )  0

1
 z (t )  g 0t ²

2

 x(t )  0
 vx (t )  0
Intégration


vG  v y (t )  0
 OG  y (t )  0


1
 vz (t )  g 0t  v0
 z (t )  g 0t ²  v 0 t

2
 Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
Démonstration :
En projetant cette relation dans le repère (O, i , j , k ) , on a :
 g0 x  0

g0  g0 y  0

 g0 z  g0

 ax  0

aG  a y  0

 az  g 0

 vx (t )  C1

vG  v y (t )  C2

 vz (t )  g 0t  C3


 x(t )  C1t  C4

OG  y (t )  C2t  C5

1
 z (t )  g 0t ²  C3t  C6

2
Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales (à t = 0 s) qui sont :
Chute sans vitesse initiale
Chute libre avec vitesse initiale
C1  0
C4  0
C5  0
C6  0
C2  0
C3  0
2.10.2. Le mouvement parabolique
C1  0
C4  0
C5  0
C6  0
C2  0
C3  v0
Intégration
Intégration
Système : la balle
Référentiel : référentiel terrestre
Bilan des forces extérieures :
-
P  m  g0
En considérant que seule agit l’action mécanique exercée
par la Terre sur la balle (on néglige l’action mécanique de
l’air ou force de frottements).
La 2ème loi de Newton permet d’écrire : m  g0  m  aG  aG  g0
Les équations horaires du mouvement sont :
 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )  g 0

 vx (t )  v0 cos 

vG  v y (t )  0

 vz (t )  g 0t  v0 sin 


 x(t )  (v0 cos  )t

OG  y (t )  0

1
 z (t )   g 0t ²  (v0 sin  )t

2

avec   v0 ; i
Démonstration :
En projetant cette relation dans le repère (O, i , j , k ) , on a :
 g0 x  0

g0  g0 y  0

 g 0 z  g 0

 ax  0

aG  a y  0

 a z  g 0

 vx (t )  C1

vG  v y (t )  C2

 vz (t )  g 0t  C3


 x(t )  C1t  C4

OG  y (t )  C2t  C5

1
 z (t )   g 0t ²  C3t  C6

2
Les constantes C1, C2, C3, C4, C5 et C6 sont déterminées à partir des conditions initiales (à t = 0 s) qui sont :
C1  v0 cos  ; C2  0 ; C3  v0 sin  ; C4  0 ; C5  0 ; C6  0
 Équation de la trajectoire
t
g
1
x
x ²  (tan  ) x
 z ( x)   2 0
2 v0 cos ²
v0 cos 
 Le mouvement du projectile est une parabole de sommet S.
 Portée du projectile : OP
Intégration
Intégration
v 02
g0
1
(OP)²  tan  (OP)  OP = sin 2
La portée est définie par z = 0  0  
g0
2 v02 cos ²

 Flèche (altitude maximale atteinte) : S
S est tel que : x 
v 2 sin²
g
1
OP v02
x ²  (tan  ) x  z S = 0

sin 2  z ( x)   2 0
2g 0
2 v0 cos ²
2
2g 0
 Portée maximale
OP 
v02


sin 2 est maximale si sin 2 est maximal  sin 2  1  2      45
2
4
g0
 OPmax =
v 02
g0
et zSmax =
v 02
4g 0
2.10.3. Particule chargée dans un champ électrostatique
Référentiel : référentiel du laboratoire
Système : particule ponctuelle de charge q et de masse m
Bilan des forces : F  q  E
Intégration
Intégration
On se place dans un repère d'espace orthonormé (O ; i , j , k )
associé à une repère de temps
La 2ème loi de Newton permet d’écrire :
q  E  m a(t )

a(t ) 
q
E
m
 Équations horaires du mouvement :

 ax (t )  0

aG  a y (t )  0

 az (t )   q  E

m


 vx (t )  v0 cos 

vG  v y (t )  0

 vz (t )   q  E t  v0 sin 

m

 x(t )  (v0 cos  )t

 OG  y (t )  0

1 qE
 z (t )  
t ²  (v0 sin  )t
2 m

Démonstration : l’étude est similaire à celle du mouvement parabolique
 Équation de la trajectoire
t
1
qE
x
x ²  (tan  ) x
 z ( x)  
2 m  v02  cos ²
v0 cos 
2.11. Mouvements dans l’espace
2.11.1. Quantité de mouvement
Définition
À un solide, de masse m, animée d’une vitesse v (très inférieure à la célérité de la lumière) on associe une grandeur
appelée quantité de mouvement. Elle se note p et s’exprime en kilogramme mètre par seconde (symbole : kg.m.s–1) :
p  mv
m  masse du système (en kg)

1
v  vitesse de déplacement du système (en m.s )
p  quantité de mouvement du système (en kg.m.s 1 )

Conservation de la quantité de mouvement
Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est une quantité qui se
conserve (constante en fonction du temps) :
F  0
dp
 0  p  constante
dt

2.11.2. Mouvement des planètes et des satellites
Pour étudier le mouvement d’une planète (ou d’un satellite), de masse m, autour du Soleil (par exemple), de masse
MS, on se place dans le référentiel héliocentrique considéré comme galiléen.
Système : particule ponctuelle de charge q et de masse m
Référentiel : référentiel héliocentrique (ici)
Bilan des forces :
La planète n’est soumise qu’à une seule force, la force d’attraction
-
du Soleil F .
On prend un repère de Frenet ( O’, u n , u τ ), associé à une repère de temps.
 On suppose que la trajectoire de la planète est un cercle de centre O et de
rayon d (ci-contre).
La 2ème loi de Newton permet d’écrire :
G
M
m  MS
N  m  a  a  G  2S N
2
d
d
Comme la force de gravitation est dirigée vers le centre du Soleil, l’accélération est normale et donc l’accélération
tangentielle est nulle :

v2
a

 n
d
a
a  dv  0
  dt
(le mouvement de la planète ou du satellite est un mouvement circulaire uniforme)
 Vitesse de la planète ou du satellite
D’après ce qui précède, on en déduit :
v2
d
 G
MS
d
2
 v  G
MS
d
 Période de révolution d’une planète ou d’un satellite
v
2πd
T

T  2π
d3
G  MS
( T = période de révolution de la planète autour du Soleil)
Cas des satellites géostationnaires :
Pour être géostationnaire, un satellite doit, dans le référentiel géocentrique, satisfaire à plusieurs conditions :
-
il doit décrire un cercle dans un plan perpendiculaire à l’axe des pôles qui contient l’équateur terrestre ;
-
le sens du mouvement doit être le même que celui de la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles ;
-
la période de révolution doit être égale à la période de rotation propre de la Terre (1 jour sidéral) :
T = 1 jour sidéral = 23 h 56 min = 86160 s
 Altitude d’un satellite géostationnaire :
T  2π
(R T  h)3
G  MT
 h
3
G  MT  T2
4π 2
 RT
A.N. : h = 3,58  104 km  36 000 km
 Vitesse d’un satellite géostationnaire :
v  G
A.N. : v 
6, 67 1011  5, 98 1024
6,37 106  3,58 107
MT
(R T  h)2
= 3,08  103 m.s–1 = 11088 km.h–1
2.11.3. Les lois de Kepler
1ère loi de Képler
(ou loi des orbites)
Énoncé : Dans un référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est une ellipse (ci-contre) et le centre du
Soleil occupe un des foyers. L’orbite de la planète est elliptique.
2ème loi de Képler (ou loi des aires)
Énoncé : Le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.
2ème loi de Képler (ou loi des aires)
Énoncé :
T2
a3
T  période de révolution de la planète (en s)

a  demi-grand axe de son orbite elliptique(en m)
 constante
Remarques :
-
D’après la deuxième loi de Kepler, la vitesse d’une planète n’est pas constante : elle augmente lorsqu’elle se
rapproche du Soleil et diminue lorsqu’elle s’en éloigne ;
-
La constante de la troisième loi de Kepler ne dépend que de l’astre attracteur :
G  6,67 1011 m3 .kg 1.s 2

Mastre  masse de l'astre attracteur (en kg)
T2
4π 2

a3 G  Mastre
2.12. Travail d’une force
2.12.1. Définitions
Définition
Le travail WAB( F ) d’une force F , lors d’un déplacement rectiligne de son point d’application du point A vers le point
B, est égal au produit scalaire de la force F par le vecteur déplacement AB :
WAB( F ) = F  AB = F  AB  cos 
= F  AB cos
 = angle entre les vecteurs F et AB
WAB ( F ) = travail (en J)
F = intensité de la force F (en N)
AB = déplacement (en m)
 Travail moteur - Travail résistant
Le travail est une grandeur algébrique ( qui a un signe) :
WAB( F ) = F  AB cos
F = intensité de la force > 0
AB = distance parcourue > 0
cos  est tel que : 1 < cos  < 1
Si  < 90° (angle aigu) alors la force F favorise le déplacement :
 WAB( F ) > 0, le travail est dit moteur
Si  = 90° (angle droit) alors la force F s’oppose au déplacement :
F

AB
 WAB( F ) = 0, le travail est dit nul
Si 90° <   180° (angle obtus) alors la force F s’oppose au déplacement :
 WAB( F ) < 0, le travail est dit résistif ou résistant
 Forces conservatives ou non conservatives
(2)
F
Mi
M1
F est une force constante sur
toute la durée du parcours
Mi+1
(1)
F
A
Mn
B
Lorsqu’une force est constante, son travail entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi. On dit que la
force est conservative.
(1)
(2)
WAB
(F)  WAB
(F)  F  AB
Remarques :
-
Pour un solide en translation rectiligne, la somme des travaux des forces appliquées au solide est égale au
travail de leur résultante :
n
W
1
-
n
Ai Bi (Fi )   Fiext  AB  F  AB
1
Si le solide est en translation rectiligne uniforme alors la résultante des forces est nulle (1ère loi de newton)
donc la somme des travaux des forces est nulle.
2.12.2. Travail du poids
zB
g
Référentiel : référentiel du laboratoire
Système : balle de masse m
Bilan des forces :
-
P  m  g0
En considérant que seule agit l’action mécanique
exercée par la Terre sur la balle (on néglige l’action
mécanique de l’air ou force de frottements).
zA
On se place dans un repère d'espace orthonormé (O ; i , j , k ) associé à une repère de temps
WAB( P ) = P  AB
Dans le repère orthonormé (O, x, y) on a :
 xB  xA 
0 



 et
AB  yB  yA   WAB( P ) = mg (zA – zB)
P 0

 mg 
z z 


 B A 

Si zA > zB, le mobile descend et WAB( P ) > 0 : le poids effectue un travail moteur.
Si zA < zB, le mobile s'élève et WAB( P ) < 0 : le poids effectue un travail résistant.
2.12.3. Cas d’une force électrique
Une particule de charge électrique q se déplace dans un champ électrostatique uniforme E :
Système : charge de valeur q
Référentiel : référentiel du laboratoire
Bilan des forces :
-
Fe  q  E
Force électrique constante
donc conservative
Avec :
q = charge électrique (en C)
E = intensité du champ électrostatique (en V.m–1)
Le travail de la force électrique est donné par :
WAB( Fe ) = Fe  AB  Fe  AC  Fe  CB = Fe  AC  q  E  AC = q  E  AC
 WAB ( Fe ) = q  UAB
2.12.4. Cas d’une force de frottements
 Une force de frottements est une force non conservative.
Le travail de la force de frottements, d’intensité constante f, sur une trajectoire rectiligne est donné par :
WAB( f ) = f  AB = f  AB  cos  = – f  AB (car  = 180°)
Frottements fluides
Frottements solides
f s’oppose au déplacement du solide.
f s’oppose au déplacement du solide.
 Seule la réaction tangentielle exerce un
travail résistant.
2.12.5. Puissance d’une force
Définition
Soit une force F qui effectue un travail WAB( F ) pendant une durée t. La puissance Pmoyenne de cette force est le
quotient du travail par la durée mise pour l’effectuer :
Pmoyenne = puissance moyenne de la force F (en W)
WAB( F ) = travail de la force F sur le trajet AB (en J)
t = durée du parcourt de la force F sur le trajet AB (en s)
Pmoyenne 
WAB (F)
t
Cas d’un solide en translation rectiligne uniforme :
Si pendant un intervalle de temps dt = tB - tA très court une force F effectue, au cours d’un déplacement très court
dl , un travail dW = F  dl très petit alors la puissance avec laquelle le travail de cette force est effectué s’appelle la
puissance instantanée :
 Pinstantanée 
2.13.
dWdl (F) F  dl
dl

 F  Fv
dt
dt
dt
Les oscillateurs mécaniques
Définitions
- Un oscillateur mécanique est un système animé d’un mouvement périodique de part et d’autre d’une position
d’équilibre ;
- Si le système oscillant est abandonnée à lui-même, les oscillations sont dites libres ;
- La durée d’une oscillation (un aller-retour) est appelée période propre de l’oscillation et souvent notée T0 ;
- Pour décrire le mouvement d’un oscillateur autour de sa position d’équilibre, on étudie l’évolution temporelle
de son élongation et l’amplitude est la valeur maximale de l’élongation.
2.13.1. Le pendule simple
Un pendule pesant est un objet en oscillation dans un plan vertical sous l’effet
de la pesanteur. On le modélise par un pendule simple (ci-contre) qui est un
système ponctuel G, de masse m, accroché à un fil de longueur ℓ.
 À l’équilibre, le fil est vertical et la position du pendule est repérée par
l’écart (ou l’élongation) angulaire.
Système : la masse m qui oscille
Référentiel : référentiel du laboratoire
Bilan des forces :
-
poids P ;
-
tension du fil T
La poussée d’Archimède est négligée
- frottements de l’air f
Pour de petites oscillations (amplitude  des oscillations inférieure à 20°), la période propre T0 d’un pendule simple
de longueur ℓ est :
T0  2π
g
 g  valeur du champ de pesanteur ( 9,81 N.kg 1 )

  longueur du fil (en m)
T  période propre du pendule (en s)
 0
Remarques :
-
Le tension du fil T est perpendiculaire à la direction du mouvement, son travail est donc nul (W( T ) = 0) ;
-
Pour des petites oscillations ( < 20°), la période propre T0 d’un pendule simple est indépendante de l’amplitude
 (on parle d’isochronisme des petites oscillations) et ne dépend pas de sa masse m ;
-
L’amplitude correspond à l’élongation maximale.
2.13.2. Le pendule élastique
Un pendule élastique est composé d’un objet de masse m accroché à
l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k.
À l’équilibre, le ressort n’est ni allongé, ni étiré. La position de l’objet est
repérée par l’élongation x du ressort.
Lorsque le ressort subit une déformation (ci-dessus), il exerce une force, appelée force de rappel, qui tend à le
ramener dans sa position d’équilibre :
F  k  
   0  x  allongement ou raccourcissement du ressort (en m)

1
k  constante de raideur du ressort (en N.m )
F  force de rappel (en N)

La période propre T0 d’un pendule élastique (ressort) de constante de raideur k et auquel est accrochée, à son
extrémité, une masse m est :
m
T0  2π
k
m  masse accrochée au ressort (en kg)

1
k  constante de raideur du ressort (en N.m )
T  période propre du pendule (en s)
 0
2.13.3. Transferts d’énergie
2.13.3.1.
Oscillations non amorties
Évolution des énergies potentielle, cinétique et mécanique au cours du temps :
En l’absence de frottement, l’énergie mécanique
garde une valeur constante, elle se conserve.
L’énergie potentielle (de pesanteur ou élastique)
est intégralement transférée en énergie cinétique
et inversement.
Em = EC + EP = cste
 L’oscillateur est dit non amorti.
Remarque : pour un pendule élastique vertical, il faut tenir compte de la contribution de pesanteur à l’énergie
potentielle.
EP = EPE + EPP
2.13.3.2.
Oscillations amorties
Évolution des énergies au cours du temps :
En présence de frottements, l’énergie mécanique
diminue à chaque oscillation. Il y a transfert partiel de
l’énergie potentielle en énergie cinétique ; une partie
de l’énergie est dissipée, du fait des frottements, sous
forme d’énergie thermique au milieu extérieur (dont la
température s’élève).
 L’oscillateur est dit amorti.
Lorsqu’un oscillateur mécanique subit un faible amortissement, son mouvement est toujours oscillatoire mais
l’amplitude des ses oscillations diminue au cours du temps :
Aucun amortissement
Faible amortissement
Très fort amortissement
Régime périodique
Régime pseudo-périodique
(T = pseudo-période)
Régime apériodique
Le travail des forces de frottement étant résistant, (WAB( f ) < 0) alors, d’après le théorème de l’énergie cinétique,
Em(A B) = WAB( f ) < 0 donc l’énergie mécanique diminue.
2.13.4. La mesure du temps
« La seconde est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition
entre les deux niveaux de l’état fondamental de l’atome de césium 133. »
Le temps atomique international (TAI) est établi en effectuant la moyenne des informations provenant de plusieurs
centaines d’horloges atomiques réparties en différents endroits du globe. C’est l’échelle de temps la plus précise
jamais réalisée.
L’horloge atomique de référence est celle au césium :
Schéma de principe d’une horloge atomique au césium
Horloge atomique embarquée dans un GPS