Repérage sur le cercle et trigonométrie - Seconde
publicité
Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Repérage sur le cercle et trigonométrie Seconde Eric Leduc Lycée Jacquard 2014/2015 Rappel du plan Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique 1 Repérage sur un cercle trigonométrique 2 Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Cercle trigonométrique Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Définition no 1: Cercle trigonométrique On munit le plan d’un repère orthonormé (O;I , J). Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on choisit une orientation : le sens direct (ou positif ou encore trigonométriquesens trigonométrique) est contraire au sens de rotation des aiguilles d’une montre ; le sens indirect (ou négatif) est le sens de rotation des aiguilles d’une montre. C −1 J O −1 + I Enroulement du cercle trigonométrique Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Propriété no 1 Pour repérer un point M du cercle trigonométrique, on enroule autour du cercle un axe orienté, gradué, d’origine le point I . On peut alors associer, au point M, un réel x, abscisse d’un point de l’axe qui vient se superposer au point M. Enroulement du cercle trigonométrique Repérage sur le cercle et trigonométrie +π +x Eric Leduc + 2π + Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique 2 +1 M(x) + O + + I + −1 π +− 2 + −2 +−π Enroulement du cercle trigonométrique Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Remarque no 1 Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Lorsqu’on enroule l’axe dans le sens direct, ce sont des points d’ abscisses positives qui se superposent à M, dans le sens indirect, ce sont des points d’abscisses négatives. Tout point sur le cercle trigonométrique se repère par plusieurs nombres réels, distants d’un multiple de 2π, selon le nombre de tours complets de l’enroulement de l’axe. Méthode Repérage sur le cercle et trigonométrie Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Méthode no 1: Lire l’abscisse associée à un point J Donner un nombre associé aux points J et A sur le cercle trigonométrique ci-contre tels que d = 90˚ et IOA d = 120˚. IOJ ≈ Eric Leduc O ≈ ≈ A + I Correction no 1 Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique d = 90˚ donc IJ mesure un quart de la longueur du cercle IOJ 2π π π dans le sens positif. = donc un nombre associé à J est . 4 2 2 d = 120˚ donc IOA IA mesure un tiers de la longueur du cercle dans le sens négatif. 2π Donc un nombre associé à A est − . 3 Tous les nombres associés à A s’écrivent sous la forme 2π − + k × 2π, k ∈ Z. 3 Méthode Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Méthode no 2: Placer un point sur un cercle Tracer un cercle trigonométrique et placer les points associés π π π aux réels π ; − ; et − . 2 3 6 Correction no 2 I Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique La longueur d’un cercle de rayon r est donnée par la formule : L = 2πr . Pour le cercle trigonométrique, cette longueur est donc de 2π, car r = 1. Le nombre π correspond à un parcours d’un demi-cercle dans le sens positif soit 180˚. π Le nombre − correspond à un parcours d’un quart de cercle 2 dans le sens négatif soit 90˚. π Le nombre correspond à un parcours d’un sixième de cercle 3 dans le sens positif soit 60˚. π Le nombre − correspond à un parcours d’un douzième de 6 cercle dans le sens négatif soit 30˚. Correction no 2 II Repérage sur le cercle et trigonométrie + Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique π J π− + 3 180˚ 60˚ −I + 30˚ O 90˚ + + π − 2 π − 6 + Rappel du plan Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique 1 Repérage sur un cercle trigonométrique 2 Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Cosinus, sinus et tangente Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Définition no 2: Sinus, cosinus et tangente On considère le cercle trigonométrique dans un repère (O;I , J). Pour tout nombre x, le cosinus et le sinus de x, notés cos x et sinx, sont les coordonnées du point M du cercle associé à x. On écrit alors M(cos x;sin x). Pour tout nombre x 6= π + k × 2π 2 (avec k entier relatif), la tangente du nombre x est sinx . définie par : tanx = cos x +x M(x) + J sin x +1 I cos x O Propriétés Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Propriété no 2 Pour tout nombre réel x : (cos x)2 + (sinx)2 = 1 −1 É cos x É 1 −1 É sinx É 1 Démonstration de la propriété no 2 Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Dans les conditions de la définition, comme le repère est orthonormé, on peut qutiliser la formule suivante : OM = q (xM − xO )2 + (yM − yO )2 soit OM = (cos x − 0)2 + (sinx − 0)2 d’où OM 2 = (cos x)2 + (sin x)2 . Or, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc (cos x)2 + (sinx)2 = 1 Notation Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Notation no 1 Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Pour simplifier l’écriture, on peut utiliser (cos x)2 = cos2 x et (sinx)2 = sin2 x. Remarque Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Remarque no 2 i Pour x un nombre de 0; πh , l’angle 2 est un angle aigu. À partir de IOM la figure ci-contre, dans le triangle OME rectangle en E , on a : = OE = OE = cos x d’où cos EOM OM cosx = cos IOM. = ME = ME = OF = sinx sin EOM OM d’où sinx = sin IOM. π J F M I O E permettant de placer le 2 dans une point M est aussi une mesure de l’angle IOM nouvelle unité de mesure, le radian. Le réel x compris entre 0 et Valeurs remarquables Repérage sur le cercle et trigonométrie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique Propriété no 3: Valeurs remarquables angle IOM réel x cosx cos IOM sin x sin IOM 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 0 π π π π p6 p4 3 1 p2 3 2 2 1 0 3 2 1 2 2 2 p 2 2 0 1 Visualisation des valeurs remarquables Repérage sur le cercle et trigonométrie Le graphique ci-dessous permet de visualiser les valeurs remarquables résumées du tableau. Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonométrique Coordonnées d’un point du cercle trigonométrique p 1+ J M 3 p2 2 2 ¡π¢ 3 P ¡π¢ 4 N 1 2 ¡π¢ 6 60˚ 45˚ 30˚ O 1 2 p 2 2 p 3 2 + 1 I
