1 Arithmétique dans N

Dénombrement
1
Arithmétique dans N
N désigne l’ensemble des entiers naturels. On en restera à une notion intuitive de ces nombres.
On connaı̂t l’ordre usuel, l’addition, le produit et leurs propriétés usuelles.
On sait par exemple que le produit de deux entiers naturels est égal à 1 si et seulement si ces deux entiers sont
égaux à 1.
On sait aussi qu’un produit de deux entiers est nul si et seulement si l’un au moins est nul. Cette propriété s’appelle
l’intégrité.
On sait aussi que toute partie non vide de N possède un plus petit élément et que toute partie non vide majorée
a un plus grand élément.
1.1
1.1.1
Multiples, diviseurs, division euclidienne
Multiples, diviseurs
Définition
Soient a, b deux entiers naturels. On dit que a est multiple de b ou que b divise a lorsqu’il existe q ∈ N tel que
a = bq.
On note alors b|a ce qui se lit “b divise a”.
q est le quotient de b par a.
Remarque : Le cas de zéro.
0 est multiple de tout entier et le seul multiple de 0 est 0 lui-même.
Propriétés
•
•
•
•
Si c|b et b|a alors c|a ; autrement dit : a est multiple de b qui est multiple de c donc a est multiple de c.
Si c|a et c|b alors c|a + b ; autrement dit : si a et b sont multiples de c alors a + b est multiple de c.
∀a ∈ N, a|a (Évident).
Si a|b et b|a alors a = b.
On traite à part le cas où a = b = 0. Sinon, lorsque a et b sont non nuls, on a p, q ∈ N tels que
a = bq et b = pa d’où a = pqa donc a(1 − pq) = 0 puis 1 = pq par intégrité et enfin p = q = 1.
Que peut-on alors dire de la relation de divisibilité?
1.1.2
Division euclidienne
Théorème
Quels que soient a ∈ N et b ∈ N∗ , il existe un unique couple (q,r) ∈ N2 tel que
a = bq + r et r < b
Démonstration
Existence :
L’ensemble des entiers k tels que kb 6 a est non vide (il contient 0) et majoré (par a) donc admet un plus grand
élément q qui vérifie qb 6 a < (q + 1)b alors r = a − bq < b.
C.Q.F.D.
Unicité :
Si a = bq + r = bq 0 + r0 avec r 6 r0 de sorte que q 0 6 q alors (q − q 0 )b = r0 − r avec 0 6 r0 − r 6 r0 < b ce qui
impose q − q 0 = 0 d’où q = q 0 puis r = r0 .
On observe que b|a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
1
1.2
1.2.1
PGCD, PPCM
PGCD
Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls. L’ensemble des diviseurs communs de a et b est une partie non
vide (elle contient 1) et majorée (par le maximum de a et b). Elle admet donc un plus grand élément.
Définition
Soient a et b deux entiers non tous les deux nuls.
On appelle PGCD (pour Plus Grand Commun Diviseur) de a et b et on note a _ b le plus grand diviseur
commun de a et b.
Remarque
Si b = 0 (et a 6= 0) alors a _ b = a.
1.2.2
Algorithme d’Euclide
Soient a et b deux entiers non nuls et r le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors l’ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l’ensemble des diviseurs communs de b et r.
En effet, on écrit a = bq + r. Tout diviseur commun de a et b divise alors r et est, de ce fait, est donc un diviseur
commun de b et r. Inversement, tout diviseur commun de b et r divise a et est donc un diviseur commun de a et
b. On en déduit la
Propriété
Soient a et b deux entiers non nuls et r le reste de la division euclidienne de a par b. On a :
a_b=b_r
Cette propriété est à la base de L’algorithme d’Euclide .
On se donne un couple (a,b) d’entiers avec a 6= 0.
On pose a0 = a et b0 = b.
Si, au rang k, on a ak et bk non nuls tels que a _ b = ak _ bk alors on pose ak+1 = bk et bk+1 le reste de
la division euclidienne de ak par bk de sorte que ak+1 _ bk+1 = ak _ bk = a _ b.
Tant qu’elle est définie, la suite (bk )k>0 est strictement décroissante d’après le théorème de la division
euclidienne. Il y a donc un rang p tel que bp = 0 ce qui oblige à arrêter.
Mais on alors a _ b = ap _ 0 = ap = bp−1 .
Ainsi, a _ b est le dernier reste non nul du processus.
Exercice 1
On garde les notations précédentes : a0 = a, b0 = b et pour tout k de 0 à p, ak = qk bk + bk+1 .
On veut montrer qu’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = a _ b.
On pose u0 = 0, v0 = 1, u1 = 1, v1 = −q0 puis, pour tout k > 1
uk+1 = uk−1 − qk uk et vk+1 = vk−1 − qk vk .
Montrer que, pour tout k de 0 à p, on a uk a + vk b = bk .
En déduire que up a + vp b = d où d = a _ b et conclure.
Exercice 2
Application du précédent
Montrer que tout diviseur commun de deux entiers divise leur PGCD.
2
1.2.3
Nombres premiers entre eux
Définition
Deux entiers a et b sont premiers entre eux lorsque a _ b = 1.
Relations de Bezout
Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe u, v entiers relatifs tels que ua+vb = 1.
Les relations ci-dessus sont appelées relations de Bezout.
Démonstration
La nécessité résulte de l’exercice précédent.
Inversement s’il existe u et v ∈ Z tels que ua + vb = 1 alors, tout diviseur commun de a et b divise aussi 1 donc
a _ b = 1.
Le théorème de Gauss
Soient a, b, c des entiers.
Si a|bc et a _ b = 1 alors a|c.
Démonstration :
Soient u, v ∈ Z tels que ua + vb = 1 alors uac + vbc = c ; or a|ac et a|bc donc a|c.
Proposition
Si a et b sont deux entiers et d leur PGCD, on peut poser a = da0 et b = db0 . Alors a0 _ b0 = 1.
En effet, si k > 1 est un diviseur commun de a0 et b0 alors kd est un diviseur commun de a et b donc kd 6 d puis
k = 1.
1.2.4
PPCM
Définition
Soient a et b deux entiers naturels. L’ensemble des multiples communs (positifs) de a et b est non vide (il contient
ab) donc il admet un plus petit élément appelé PPCM pour Plus Petit Commun Multiple de a et b et noté
a ^ b.
Exercice 3
Soient a et b deux entiers, d = a _ b, a0 et b0 tels que a = da0 et b = db0 . Montrer que a ^ b = da0 b0 .
1.3
1.3.1
Nombres premiers
Définition, infinité des nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un entier naturel p > 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et lui-même.
Quelques propriétés :
• Tout entier > 2 admet des diviseurs premiers.
En effet, si p est le plus petit diviseur > 2 de n, alors p est premier.
• Pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, ou-bien p|n ou-bien p _ n = 1.
En effet, si n et p ont un diviseur commun autre que 1, ce ne peut être que p donc p|n.
• Il existe une infinité de nombres premiers.
On montre que, pour tout nombre premier p, il existe un nombre premier q > p.
En effet p! + 1 n’est divisible par aucun entier entre 1 et p. Son plus petit diviseur premier est donc > p.
3
1.3.2
Le crible d’Eratosthène
On écrit la liste des entiers On garde 2 et on raie tous les autres multiples de 2.
Le premier nombre restant est 3 ; on le garde et on raye tous les autres multiples de 3.
Le premier nombre restant est 5 ; on le garde et on raye tous les autres multiples de 5 etc ...
Les nombres qui ne sont pas rayés sont les nombres premiers.
1.3.3
Décomposition en facteurs premiers
On admet la propriété suivante :
Proposition
Pour tout entier naturel n > 2, il existe des entiers premiers p1 < p2 < · · · < pk et des entiers strictement positifs
k
Y
ν1 , ν2 , . . . , νk tels que n =
pνi i .
i=1
L’existence peut s’établir par récurrence en utilisant le fait que n admet un diviseur premier. On pose n = n0 p
avec p premier et n0 < n. On applique la propriété à n0 et on multiplie par p.
L’unicité peut s’obtenir en utilisant le théorème de Gauss.
Remarque
On peut écrire la décomposition en facteurs premiers (DFP) de la façon suivante : On note P l’ensemble des
nombres premiers.
Pour tout n > 1, il existe une unique famille presque nulle (νp )p∈P d’entiers positifs indexée par P telle que
Y
n=
pνp .
p∈P
Comme la famille est presque nulle, c’est-à-dire que les νp sont non nuls pour un nombre fini d’indices, il n’y a
qu’un nombre fini de pνp qui sont différents de 1 et ainsi, le produit est fini.
1.3.4
Utilisation de la DFP
On a les propriétés suivantes :
Y
Y
• Si m =
pµp et n =
pνp alors m|n si et seulement si ∀p, µp 6 νp .
p∈P
p∈P
• Avec les notations précédentes, m _ n =
Y
pmin{µp ,
p∈P
2
νp }
et m ^ n =
Y
pmax{µp ,
νp }
.
p∈P
Dénombrement
2.1
2.1.1
Cardinal d’un ensemble fini
Définitions
Nous resterons ici à une notion intuitive d’ensemble fini.
Le cardinal d’un ensemble fini A est le nombre d’éléments de cet ensemble ; il est nul lorsque A = ∅.
Un ensemble à 1 élément est appelé un singleton , un ensemble à 2 éléments est une paire.
Le cardinal d’un ensemble fini A est noté |A| ou #A ou Card(A).
Remarque
Compter les éléments d’un ensemble fini non vide (de cardinal n) consiste à établir une bijection de [[1,n]] dans
cet ensemble.
C’est cette idée qui permettra de prolonger la notion de cardinal aux ensembles infinis.
2.1.2
Cardinal d’une partie, cas d’égalité
Si E est un ensemble fini et A une partie de E, alors A est finie et #A 6 #E.
On admet cette propriété très intuitive. Cependant, si on veut aller plus loin, on peut voir qu’elle est équivalente
à la suivante :
Si X est une partie non vide de [[1,n]] alors il existe p 6 n et une bijection k 7→ ik de [[1,p]] dans X.
4
Cette bijection est définie de la façon suivante : i1 est le plus petit élément de X et, si i1 < . . . < ij sont définis et
si X\{i1 , . . . ,ij } est non vide, alors ij+1 est le plus petit élément de X\{i1 , . . . ,ij }.
On admet aussi la propriété suivante :
Propriété
Soit A une partie d’un ensemble fini E.
A = E ⇔ #A = #E
Remarque : Il suffit de la prouver dans le cas de E = [[1,n]] pour n > 1. Dans cette situation, cela signifie qu’il
existe une bijection de [[1,m]] dans [[1,n]] si et seulement si m = n.
Comme la réciproque d’une bijection en est une aussi, on suppose m 6 n et on montre par récurrence sur n que
s’il existe une bijection de [[1,m]] dans [[1,n]] alors m = n.
On pourra le faire en exercice.
2.1.3
Applications entre deux ensembles finis de même cardinal
Proposition
Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal n et f : E → F une application.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est bijective.
2. f est injective.
3. f est surjective.
Démonstration :
1 ⇒ 2 et 1 ⇒ 3 sont évidents.
Pour 2 ⇒ 1, on a # Im(f ) = #E = #F d’où Im(f ) = F et f est surjective.
Pour 3 ⇒ 1, par contraposée, si f n’est pas injective, alors du fait qu’il existe deux éléments de E ayant même
image, on a # Im(f ) < #E = #F donc f n’est pas surjective.
2.2
2.2.1
Propriétés des cardinaux finis
Cardinal d’une réunion de deux ensembles disjoints ou non
Proposition
Si A et B sont des ensembles finis disjoints, alors A ∪ B est fini et |A ∪ B| = |A| + |B|.
Démonstration On se place dans le cas où |A| = m > 1 et |B| = n > 1
Si ϕ : [[1,m]] → A et ψ : [[1,n]] → B sont des bijections, alors θ : [[1,m + n]] → A ∪ B définie par θ(i) = ϕ(i) si i 6 m
et θ(i) = ψ(i − m) si i > m est une bijection (Vérifier).
Proposition
Si A et B sont deux ensembles finis, alors :
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
En effet A ∪ B est la réunion disjointe de A et B\A tandis que B est la réunion disjointe de A ∩ B et de B\A.
Il en résulte |A ∪ B| = |A| + |B\A| et |B| = |A ∩ B| + |B\A| d’où la formule.
Exercice 4
Donner une formule analogue pour une réunion de trois parties.
Une idée de généralisation?
2.2.2
Cardinal d’une réunion disjointe
Par
récurrence
sur n, on voit facilement que si A1 , . . . ,An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors
n
n
[
X
|Ai |.
Ai =
i=1
i=1
5
2.2.3
Cardinal d’un produit cartésien
On rappelle que, si A et B sont deux ensembles, le produit cartésien A × B de A par B est l’ensemble des couples
(a,b) avec a ∈ A et b ∈ B.
Proposition
Si A et B sont deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p, alors A × B est fini de cardinal np.
Démonstration :
Il suffit de poser A = {x1 , . . . ,xn } et de voir que A × B est la réunion disjointe des {xi } × B et que chacun des
{xi } × B est de cardinal n.
Corollaire
Par récurrence sur n on voit alors que si A1 , . . . ,An sont des ensembles finis, alors |A1 × · · · × An | =
n
Y
|Ai |.
i=1
Il suffit de voir que A1 × · · · × An−1 × An est en bijection avec (A1 × · · · × An−1 ) × An .
2.2.4
Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un autres
Si E et F sont deux ensembles, on note F (E,F ) ou F E l’ensemble des applications de E dans F .
Une application de E dans F peut être vue comme une famille d’éléments de F indexée par E ; autrement dit,
f : E → F s’identifie à la famille (f (x))x∈E .
Lorsque E est fini de cardinal p, E = {x1 , . . . ,xp }, les applications de E dans F s’identifient aux familles (yi )16i6p
appartenant à F n .
Il en résulte :
Proposition :
Si E et F sont deux ensembles finis de cardinaux respectifs p et n alors Card(F (E,F )) = np .
En effet, Card(F p ) = np .
2.2.5
Cardinal de P(Ω)
Définition
Soit Ω un ensemble et A une partie de Ω. On appelle fonction caractéristique de A l’application χA : Ω → {0,1}
définie par
∀x ∈ A, χA (x) = 1 si x ∈ A et χA (x) = 0 sinon.
Propriété
La correspondance A 7→ χA est une bijection de P(Ω) (ensemble des parties de Ω) dans F (Ω, {0, 1}).
Démonstration
Elle tient dans l’exercice suivant :
Exercice 5
Soit f : Ω → {0, 1}. De quelle partie de Ω, f est-elle la fonction caractéristique?
Corollaire
Si Ω est fini de cardinal n alors Card(P(Ω)) = 2n .
2.3
Dénombrement
Dans cette section, on rappelle différentes méthodes d’obtention de cardinaux.
6
2.3.1
Disjonctions des cas
L’ensemble Ω à dénombrer est décomposé en une famille de parties deux à deux distinctes A1 , . . . ,Ap alors :
p
X
#(Ω) =
#(Ai ).
i=1
2.3.2
Arbres
Dans le cas où les éléments à dénombrer sont obtenus par une succession finie de choix, on peut réaliser un arbre.
Lors de la première étape, on a n1 choix ce qui donne n1 branches.
Pour chacune de ces n1 possibilités il y a, lors de la deuxième étape, un nombre de choix dépendant de celui fait
lors de la première étape et ainsi, chacune des n1 branches se divise en un bouquet de branches secondaires et
ainsi de suite.
Le cas le plus simple est celui où, à chaque étape, le nombre de choix possible est indépendant des choix précédents.
On note alors nk le nombre de choix de l’étape k.
p
Y
Le nombre total d’objet est alors
nk .
k=1
2.4
2.4.1
Listes et combinaisons
Nombres de p-listes d’un ensemble à n éléments
Définition
Soit Ω un ensemble à n éléments et p un entier inférieur ou égal à n et strictement positif.
Une p-liste d’éléments de Ω est une application injective de [[1,p]] dans Ω.
Le nombre de p listes d’un ensemble à n éléments est noté Apn ; il s’obtient de la façon suivante :
•
•
•
•
•
•
•
Choix du premier terme de la liste : n possibilités.
Choix du deuxième terme : il reste n − 1 possibilités.
Choix du terme suivant : il reste n − 2 possibilités.
Choix du p-ème terme : il reste n − (p − 1) = n − p + 1 possibilités
Au total, on a donc Apn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − p + 1) p-listes dans un ensemble à n éléments.
2.4.2
Permutations d’un ensemble de cardinal n
Définition
Une permutation d’un ensemble Ω est une bijection de Ω dans lui-même.
D’après ce qui précède, le nombre de bijections de [[1,n]] dans un ensemble à n éléments est n(n − 1) · · · 3 × 2 × 1.
C’est ainsi qu’on définit la factorielle d’un entier ; on la note n! mais on lit “factorielle de n”.
On convient de poser 0! = 1.
Lorsque Ω est fini de cardinal n, on pose Ω = {x1 , x2 , . . . ,xn } et alors les permutations de Ω s’identifient aux
n-listes de de Ω.
Leur nombre est donc aussi n!.
n!
Apn s’exprime alors au moyen de factorielles par la formule : Apn =
(n − p)!
7
2.4.3
Nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments
n
On note
le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
p
n
Pour déterminer une expression de
, nous allons dénombrer les p-listes d’un ensemble Ω à n éléments par une
p
succession de choix.
n
• Choix d’une partie de Ω à p éléments (l’image) de la p-liste) :
possibilités .
p
• Choix d’un arrangement de cette partie c’est-à-dire d’une injection de [[1,p]] dans cette partie :
p! possibilités.
n
Apn
n
n!
p
=
.
Il en résulte : An = p!
d’où
=
p
p!
p!(n − p)!
p
Exercice
6 Écrire
n
,
2
n
,
3
n
4
2.4.4
Démonstration combinatoires des formules de Pascal et du binôme
sous forme d’un polynôme de la variable n.
1. La formule de Pascal.
Il s’agit de la relation : ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ [[0,n − 1]],
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
Exercice 7
La démontrer en utilisant l’expression avec les factorielles.
Démonstration ensembliste
Exercice 8
Soit
(a)
(b)
(c)
Ω = {x1 , . . . ,xn } un ensemble à n éléments.
Combien y a-t-il de parties de Ω à p éléments contenant l’élément xn ?
Combien y a-t-il de parties de Ω à p éléments ne contenant pas xn ?
Conclure.
n
n
2. La relation
=
k
n−k
Exercice 9
n
n
Établir l’égalité ∀n ∈ N, ∀k ∈ [[0, n]],
=
au moyen d’un argument ensembliste.
k
n−k
3. La formule du binôme.
Exercice 10
On se donne deux nombres a et b réels ou complexes.
La seule propriété utile est ab = ba qui entraı̂ne que tout produit de p termes a et de q termes b énumérés
dans n’importe quel ordre est égal à ap bq .
On développe (a + b)n = (a + b) × (a + b) × · · · × (a + b) × (a + b).
(a) Combien y a-t-il de termes distincts?
(b) On obtient un terme ak bn−k en choisissant a dans k des n facteurs et en prenant b dans les n − k
restants.
Pour k fixé, combien y a-t-il alors de termes ak bn−k ?
(c) Conclure.
8