test s2

PARTIEL DE MATHEMATIQUES
Semestre 2
le mercredi 13 Juin 2012
Aucun document autorisé. Calculatrice TI Collège autorisée.
Durée : 3 heures
Formulaires des transformées de Laplace et DL fournis.
Il sera tenu le plus grand compte, lors de la correction, du soin apporté à la présentation et à la
rédaction.
Exercice 1 : 2 points
Les informations nécessaires à la bonne compréhension des constructions devront gurer sur la copie.
Tracer, sur un ou plusieurs graphiques, les courbes des fonctions f , g et h dénies respectivement
par :
• f (t) = 2 cos(2t)
• gt) = 1 + 2 sin(2t)
• h(t) = 2 cos(2t) + 2 sin(2t).
Exercice 2 : 4 points
Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM.
Les deux parties (constituées de quatre questions chacune) sont indépendantes.
Pour chaque question, il s'agit de répondre par VRAI ou FAUX sur votre copie. Aucune justication
n'est à rédiger. Pour chaque question, le principe de notation est le suivant :
0,5 point par bonne réponse ; - 0,25 point par réponse fausse ; 0 point sinon.
Si la note à l'exercice est négative, elle sera ramenée à la note 0.
Question 1
√
On rappelle que la racine
cubique, notée 3 x ou encore x 3 est dénie pour tout réel positif ou négatif
√
x et que par exemple 3 −8 = −2.
√
On considère la fonction f de variable réelle x dénie sur R par f (x) = 3 2x2 − x3 .
1
√
(a) La fonction x 7→ 3 x est dérivable sur R∗ de fonction dérivée x 7→
1
2
3x 3
.
(b) On a : f (x) > 0 ⇔ x 6 2.
1
2
(c) Le développement limité à l'ordre 2 en 0 de (1 + u) 3 est 1 + u3 + u9 + u2 ϵ(u).
(d) Le graphe de f est en-dessus de la droite d'équation y = −x + 23 au voisinage de +∞.
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Question 2
On veut déterminer le polynôme P(X) tel que ∀t ∈ R, cos(5t) = P (cos(t)).
On calculera pour cela l'expression S = (cos(t) + j sin(t))5 .
(a) On a : cos(5t) = Re(S).
(b) On a : (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 12a3 b2 + 12a2 b3 + 5ab4 + b5 .
(c) Re(S) = cos5 (t) + 10 cos3 (t) sin2 (t) − 5 cos(t) sin4 (t).
(d) P (X) = 16X 5 − 20X 3 + 5X .
Exercice 3 : 2 points
Les questions de cet exercice sont indépendantes. Calculer les intégrales suivantes :
1. I =
∫
1
xe−x dx.
0
2. J =
∫
1
√
1 − x2 dx en posant x = sin t.
0
Exercice 4 : 5 points
On considère l'équation diérentielle dénie sur [0; +∞[ par :
dv(t)
= E2 avec v(0) = −E1
dt
où τ étant une constante strictement positive.
v(t) + τ
1. (a) Montrer, par calcul,
∫ que la transformée de Laplace de la fonction constante t 7→ E2 dénie
+∞
par L[E2 ](p) =
E2 e−pt dt avec Re(p) > 0 est telle que L[E2 ](p) =
0
E2
.
p
(b) Résoudre, en utilisant la transformée de Laplace, l'équation diérentielle précédente.
−t
2. On considère désormais que : v(t) = −(E1 + E2 )e τ + E2 pour t ∈ [0; +∞[.
(a) Etudier les variations de v sur [0; +∞[.
(b) Donner l'allure de la courbe de v sur [0; +∞[.
(c) Déterminer la valeur de t telle que v(t) =
E2
.
2
(d) Déterminer, par calcul, l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe de v
au point d'abscisse 0 et de l'asymptote de la courbe de v en +∞.
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Exercice 5 : 4 points
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Donner la nature des séries dont le terme général est donné ci-dessous :
3n + 1
4n + 1
3n
(b) vn =
.
n!
(a) un =
2. Montrer que la série
3. Montrer que :
+∞ (
∑
n=1
+∞
∑
n=1
2
3
)n
+∞
∑
1
1
est convergente puis que
= 1.
n(n + 1)
n(n + 1)
n=1
= 2.
Exercice 6 : 3 points
Résoudre les équations diérentielles suivantes sur [0; +∞[ :
(E1 ) : y ′ = 3y + 6 avec y(0) = −1.
(E2 ) : x′′ (t) + 3x′ (t) + 2x(t) = t.
Question bonus : 1 point
Donner une valeur approchée à 10−3 près de ln(1, 1).
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