Sommes et produits téléscopiques

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Olympiades Suisses de Mathématiques
Sommes et produits téléscopiques
Actualisé: 6 février 2017
vers. 1.0.0
Souvent on peut transformer une somme ou un produit pour leur donner une structure simple.
Une somme de la forme
n
X
F (k + 1) − F (k)
k=1
est appelée somme téléscopique. évidemment la majorité des termes s’annule et la somme vaut
F (n + 1) − F (1). De même un produit de la forme
n
Y
F (k + 1)
k=1
F (k)
est un produit téléscopique. Sa valeur est F (n + 1)/F (1). La difficulté majeure dans ces cas-là
est la transformation de l’expression donnée dans la forme souhaitée. Voici quelques exemples.
P
Exemple 1. Calculer la somme nk=1 k · k!.
Solution. On a k · k! = (k + 1 − 1)k! = (k + 1)! − k!. La somme vaut donc
n
X
(k + 1)! − k! = (n + 1)! − 1.
k=1
Exemple 2. Montrer que pour tout N naturel on a
N Y
n=2
1
1− 2
n
1
> .
2
Solution. Il faut factoriser. On trouve
Y
N N
N N
Y
Y
1
n−1 Y n+1
1
1
1− 2
=
1−
1+
=
n
n
n
n n=2 n
n=2
n=2
n=2
=
1 N +1
N +1
1
·
=
> .
N
2
2N
2
Il faut voir que le produit de départ n’est pas un produit téléscopique. Ce n’est qu’en divisant
le produit en deux parties qu’on arrive à le calculer.
Une fraction polynomiale dont le dénominateur est le produit de deux polynômes peut toujours
s’écrire comme somme (ou différence) de deux fractions plus simples. Cette observation aide à
trouver des sommes téléscopiques comme l’exemple suivant nous montre.
1
Exemple 3. Calculer la somme
n
X
k=1
4k
.
+1
4k 4
Solution. Le dénominateur nous fait penser à l’identité de Sophie Germain :
4a4 + b4 = (2a2 + 2ab + b2 )(2a2 − 2ab + b2 ).
Avec ça on obtient
n
X
k=1
n
X
4k
(2k 2 + 2k + 1) − (2k 2 − 2k + 1)
=
4k 4 + 1
(2k 2 + 2k + 1)(2k 2 − 2k + 1)
k=1
n X
1
1
=
− 2
2 − 2k + 1
2k
2k + 2k + 1
k=1
n X
1
1
−
=
2k 2 − 2k + 1 2(k + 1)2 − 2(k + 1) + 1
k=1
= 1−
2n2
1
.
+ 2n + 1
Certaines sommes et produits qui contiennent des expressions trigonométriques peuvent également être calculées à l’aide de cette méthode. évidemment pour cela il faut connaître les
théorèmes d’addition et les formules somme/produit.
Exemple 4. Trouver la valeur de
n
X
cos kx.
k=1
Solution. Si x = 2mπ pour m ∈ Z, alors la somme vaut n. Si x n’est pas de cette forme, alors on
multiplie la somme avec 2 sin x/2 (c’est 6= 0 par hypothèse !) et avec la formule produit/somme
pour un produit de sin et cos on obtient
n
X
n X
x
1
1
2 sin cos kx =
sin k +
x − sin k −
x
2
2
2
k=1
k=1
1
1
= sin n +
x − sin x.
2
2
La somme de départ vaut alors
sin(n + 21 )x 1
− .
2 sin(x/2)
2
Exercices
2
1. Calculer la somme
n
X
k!(k 2 + k + 1).
k=1
2. Soit a1 , a2 , . . . , an une suite arithmétique avec différence d. Trouver la valeur de
n−1
X
k=1
3. Calculer
1999
X
s
1+
n=1
4. Calculer la somme
n
X
1
.
ak ak+1
1
1
+
.
2
k
(k + 1)2
arctan
k=1
1
.
k2 + k + 1
5. (Putnam 84) Trouver la valeur de la somme (infinie)
∞
X
k=1
6k
.
(3k − 2k )(3k+1 − 2k+1 )
6. Prouver l’inéquation
1 3 5
999
1
· · ···
<√
.
2 4 6
1000
1001
7. (USA 92) Montrer que
1
1
cos 1◦
1
+
+
.
.
.
+
=
.
cos 0◦ cos 1◦ cos 1◦ cos 2◦
cos 88◦ cos 89◦
sin 21◦
8. Calculer la somme
n
X
k=1
1
.
√
(k + 1) k + k k + 1
√
9. Montrer que
√
10. Calculer la somme
1
1
1
√ +√
√ + ... + √
√
> 24.
1+ 3
5+ 7
9997 + 9999
n
X
k2 −
k=1
k4 +
1
2
1.
4
11. Soit n un nombre naturel et a un réel tel que la fraction a/π est irrationnelle. Trouver la
valeur de la somme
1
1
1
+
+ ... +
.
cos a − cos 3a cos a − cos 5a
cos a − cos(2n + 1)a
3
12. (USA 96) Montrer que la moyenne arithmétique des nombres n sin n◦ pour n = 2, 4, 6, . . . , 180
vaut cot 1◦ .
13. (Putnam) Montrer que
∞
Y
n3 − 1
2
=
.
3+1
n
3
n=2
14. Calculer le produit
(14 + 41 )(34 + 14 ) · · · ((2n − 1)4 + 14 )
.
(24 + 41 )(44 + 14 ) · · · ((2n)4 + 41 )
15. Soit F1 = F2 = 1, F3 = 2, . . . la suite de Fibonacci. Calculer la somme
∞
X
1
.
Fn
n=0 2
16. (Shortlist 01) Soient x1 , . . . , xn des réels quelconques. Montrer que
√
x1
x2
xn
+
+ ... +
<
n.
2
2
2
2
2
1 + x1 1 + x1 + x2
1 + x1 + x2 + . . . + x2n
17. Montrer que pour tout N naturel on a
N Y
1
1 + 2n < 2.
2
n=0
18. Calculer la valeur du produit
n Y
k=1
2k π
1 − tan n
2 +1
2
.
19. (Shortlist 2015, A1) Suppose that a sequence a1 , a2 , . . . of positive real
ak+1 ≥
a2k
kak
+ (k − 1)
for every positive integer k. Prove that a1 + a2 + . . . + an ≥ n for every n ≥ 2.
Astuces
1. Voir l’exemple 1.
2. Le dénominateur de la fraction est un produit, la fraction peut s’écrire comme différence
de deux fractions plus simples. (cf. exercice 3.)
3. Simplifier la racine. Puis procéder comme à l’exercice 2.
4
4. Utiliser le théorème d’addition pour la fonction arctangente :
arctan u ± arctan v = arctan
u±v
,
1 ∓ uv
qui découle du théorème d’addition pour la fonction tangente (preuve ?).
5. Cf. exercice 3.
6. Il manque la moitié des facteurs pour un produit téléscopique. Comment les faire apparaître ? Pourquoi y-a-t-il une racine au côté droit ?
7. Utiliser l’identité
sin(a − b)
= tan a − tan b.
cos a cos b
8. Rationaliser le dénominateur. C’est-à-dire écrire avec un dénominateur plus grand et
rationnel. Puis procéder comme à l’exemple 3.
9. De nouveau la moitié des termes manque. Voir l’exercice 6.
10. Cf. exercice 3.
11. Utiliser une formule différence/produit pour les dénominateurs. Une formule comme pour
l’exercice 7 existe aussi pour la fonction cotangente. La trouver et l’utiliser.
12. Multiplier par sin 1◦ et utiliser la formule produit/différence pour simplifier la somme.
Puis se souvenir de la symétrie du cosinus.
13. Cf. exercice 2.
14. Utiliser l’identité de Sophie Germain.
15. D’abord prouver par récurrence la formule
F2m Fm−1 − F2m−1 Fm = (−1)m Fm ,
m ≥ 1.
L’appliquer à m = 2n−1 , n ≥ 2 pour transformer la somme.
16. Le côté gauche n’est pas une somme téléscopique, mais il en manque peu. Utiliser une
inégalité standard pour se débarrasser de ce problème. Considérer la racine du côté droit.
17. Cf exercice 2.
18. Utiliser la formule de doublement pour la fonction tangente.
5