Les nombres complexes-partie 1

[ Les nombres complexes \
Partie 1
Table des matières
Les nombres complexes
I Un nouvel ensemble de nombres
• L’équation x + 1 = 0 n’admet pas de solution dans N, on a donc construit un ensemble appelé Z qui
contient N et dans lequel cette équation admet −1 comme solution.
• L’équation 3x − 2 = 0 n’admet pas de solution dans D, on a donc construit un ensemble appelé Q qui
2
contient D dans lequel cette équation admet comme solution.
3
• L’équation x 2 = 2 n’admet pas de solution
dans
p
p Q, on a donc construit un ensemble appelé R qui contient
Q dans lequel cette équation admet - 2 et − 2 comme solutions.
• L’équation x 2 = −1 n’admet pas de solution dans R , il faut donc construire un nouvel ensemble.
Un peu d’histoire
En Italie : Dès le XVIe siècle, les algébristes italiens, dont Tartaglia (1500-1557)Cardan(1501-1576) et Bomp
belli (1526-1573), utilisent la notation −a où a est un réel strictement positif. Ils se rendent compte que
l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nombres
qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils définissent des règles de calcul prolongeant celles définies sur
R.
En France : Au début du XVII ème siècle, D ESCARTES introduit l’appellation « nombres imaginaires ».
p
En Suisse : Au début du XVIII ème siècle, E ULER déclare que la notation −1 est absurde car elle conduit à
p
p
p
¡p ¢2
¡p ¢2 p
une contradiction : −1 = −1 par définition ; or −1 = −1 × −1 = (−1)2 = 1 = 1 en appliquant
les propriétés sur les racines carrées.
E ULER introduit donc en 1777 la notation i qui désigne le nombre vérifiant i2 = −1.
En Allemagne : Au XIXe siècle, G AUSS, les nomme les « nombres complexes ».
Sachant que i2 = −1 et en utilisant les règles de calcul définies sur R, en particulier la régle «un produit est
nul si un des facteurs est nul», résoudre les équations :
1. z 2 = −1 ; z 2 = −9 ; z 2 = −7
2. Montrer que z 2 − 2z + 2 = (z − 1)2 + 1. En déduire les solutions de l’équation z 2 − 2z + 2 = 0.
3. En utilisant une méthode analogue, résoudre l’équation z 2 − 4z + 13 = 0.
II La forme algébrique des nombres complexes
1 Nombres complexes
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme x + iy où x et y sont deux réels et i un nombre
imaginaire qui vérifie i2 = −1.
L’ensemble des nombres complexes se note C.
Remarque :
Tout réel est un complexe, on a donc R ⊂ C
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Les nombres complexes
2 Forme algébrique
Définition
◦
◦
◦
◦
◦
z = x + iy est la forme algébrique de z ;
x est la partie réelle de z on note x = Re(z) ;
y est la partie imaginaire de z on note y = Im(z) ;
z est imaginaire pur ⇐⇒ Re(z) = 0 ;
z est réel ⇐⇒ Im(z) = 0 ;
Propriété
Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme x + iy où x et y sont deux réels.
3 Égalité de deux complexes
Corollaire
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire :
½
Re(z) = Re(z ′ )
′
z=z
⇐⇒
Im(z) = Im(z ′ )
III Opérations dans C
On applique les mêmes règles de calcul sur les complexes que sur les réels. En particulier on peut ajouter,
soustraire multiplier et diviser les complexes :
1 Somme et produit
(x + iy) + (x ′ + iy ′ ) = (x + x ′ ) + i(y + y ′ )
(x + iy)(x ′ + iy ′ ) = (xx ′ − y y ′ ) + i(x y ′ + y x ′ )
Remarque :
Re(z + z ′ ) = Re(z) + Re(z ′ ) et Im(z + z ′ ) = Im(z) + Im(z ′ )
Mais Re(zz ′ ) et Re(z)Re(z ′ ) sont différents en général.
2 Quotient
Le complexe x ′ + iy ′ étant différent de 0 on a :
x + iy
(x + iy)(x ′ − iy ′ )
(xx ′ + y y ′ ) + i(x ′ y − y ′ x)
=
=
x ′ + iy ′ (x ′ + iy ′ )(x ′ − iy ′ )
x ′2 + y ′2
Remarque :
Ces formules ne sont pas à savoir, les opérations sur les complexes suivent les mêmes règles que celles sur
les réels ! Tous les calculs s’effectuent donc de manière plutôt automatique, comme sur les réels, il suffit de
remplacer i2 par −1.
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IV Les propriétés utiles pour résoudre les équations
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
Exemple : Résoudre dans C l’équation iz + 5 − 2i = 3z + i
On pose z = x + iy avec x et y deux réels, l’équation s’écrit donc :
Propriété
a et b étant deux complexes, c étant un complexe non nul,
a =b
⇐⇒
a +c = b +c
a =b
⇐⇒
a ×c = b ×c
Cette propriété permet de résoudre les équations dans C comme on le fait dans R
Exemple :
iz + 5 − 2i = 3z + i
iz − 3z = i − 5 + 2i
( · · · )z = · · ·
Propriété
a et b étant deux complexes,
a ×b = 0
⇐⇒
a = 0 ou b = 0
Cette propriété permet de résoudre les équations de degré supérieur à 1 dans C comme on le fait en classe
de seconde
Exemple : Résoudre dans C l’équation (2 − i)(z − 3i) = z(z − 3i)
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V Conjugué d’un complexe
1 Définition
Définition
Soit z = x + iy avec x et y deux réels.
On appelle conjugué de z et on note z le complexe x − iy
2 Propriétés
Propriété
Soient z et z ′ deux nombres complexes quelconques :
◦
z=z
(1)
◦
z + z′ = z + z′
(2)
◦
zz ′ = zz ′
(3)
◦
³z´
◦
z′
=
z
z′
pour z ′ non nul
(4)
z n = z n pour n ∈ N∗
(5)
Démonstration
◦ La propriété (1) est immédiate
◦ z = x + iy et z ′ = x ′ + iy ′ donc z + z ′ = (x + x ′ ) + i(y + y ′ )
d’où z + z ′ = (x + x ′ ) − i(y + y ′ ) = (x − iy) + (x ′ − iy ′ ) = z + z ′
◦ z = x + iy et z ′ = x ′ + iy ′ donc zz ′ = (xx ′ − y y ′ ) + i(x y ′ + x ′ y) d’où zz ′ = (xx ′ − y y ′ ) − i(x y ′ + x ′ y)
Or zz ′ = (x − iy)(x ′ − iy ′ ) = (xx ′ − y y ′ ) − i(x y ′ + x ′ y) on a donc zz ′ = zz ′
³z´
z
◦ Nous savons que ′ × z ′ = z et en utilisant la propriété (3) on obtient ′ × z ′ = z et en divisant
z
z
³z´ z
les deux membres par z ′ on trouve ′ =
z
z′
◦ On démontre la propriété (5) par récurrence : z n = z n pour n ∈ N∗
Initialisation : z 1 = z = z 1 la propriétés est vraie au rang le plus bas.
Hérédité : Supposons que pour un entier n fixé, on ait z n = z n et sous cette hypothèse prouvons que
z n+1 = z n+1 :
z n+1 = z n z
= zn z
d’après la propriété (3)
d’après l’hypothèse de récurrence
= zn z
n+1
=z
Conclusion : La propriété est vraie pour tout les entiers naturels
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Propriété
Soit z un nombre complexe
◦ z est un réel si et seulement si z = z
◦ z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z
Démonstration
La démonstration est immédiate
VI Equations du second degré à coefficients réels
Propriété
a, b et c étant trois réels, a 6= 0.
L’équation az 2 + bz + c = 0 a pour discriminant : ∆ = b 2 − 4ac
• Si ∆ > 0 alors l’équation a deux solutions réelles
p
p :
−b + ∆
−b − ∆
et z 2 =
z1 =
2a
2a
• Si ∆ = 0 alors l’équation a une solution réelle double :
−b
z0 =
2a
• Si ∆ < 0 alors l’équation a deux solutionsp
complexes conjugués :p
−b + i |∆|
−b − i |∆|
z1 =
et z 2 = z 1 =
2a
2a
Démonstration
L’équation peut s’écrire :
az 2 + bz + c = 0
c
b
z2 + z + = 0
a
a
µ
¶
b 2 b2
c
− 2 + =0
z+
2a
4a
a
¶
µ
∆
b 2
− 2 =0
z+
2a
4a
• Si ∆ Ê 0 on a ∆ =
¡p ¢2
∆ et l’équation s’écrit :
car a 6= 0
¶ Ã p !2
∆
b 2
−
z+
=0
2a
2a
Ã
p !Ã
p !
b
∆
∆
b
z+
z+
=0
−
+
2a 2a
2a 2a
L’équation admet donc deux solutions réelles (eventuellement
confondues)
:
p
p
−b − ∆
−b + ∆
z1 =
et z 2 =
2a
2a
¡ p ¢2
• Si ∆ < 0 on a ∆ = i |∆| et l’équation s’écrit :
¶ µ p ¶2
µ
i |∆|
b 2
=0
−
z+
2a
2a
p ¶µ
p ¶
µ
b
i |∆|
i |∆|
b
z+
=0
−
+
z+
2a
2a
2a
2a
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µ
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L’équation admet donc deux solutions complexes
conjugués :
p
p
−b − i |∆|
−b + i |∆|
et z 2 = z 1 =
z1 =
2a
2a
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